Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΟΥ «ΠΙΝΑΚΑ» ΚΑΙ Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ:

ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ  ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ  ΣΤΟΝ  ΠΥΚΝΩΤΗ

Μια διδακτική ευκαιρία συνδυασμού θεωρίας και πράξης

 

Γ. Ζησιμόπουλος, φυσικός M.Sc.,

                                                   Υπευθ. ΕΚΦΕ Αιγίου

Εισαγωγή

 

      Τα δίπολα στοιχεία ενός απλού ηλεκτρικού κυκλώματος για τους μαθητές των Λυκείων μας έχουν συνήθως, μια στατική – σταθερή συμπεριφορά και αποτελούν εργαλεία σύνθεσης ασκήσεων, που θα λυθούν στον πίνακα και θα «πέσουν» στις εξετάσεις. Έτσι, σχεδόν κανείς δεν ασχολείται με το ότι ένα πηνίο, για παράδειγμα, μπορεί να συμπεριφέρεται σαν αγωγός σύνδεσης, σαν αντιστάτης, σαν μαγνητικό δίπολο, σαν ηλεκτρική πηγή κτλ., ανάλογα με την περίπτωση. Πολλοί  μαθητές πιστεύουν ότι οποιοδήποτε βολτόμετρο μπορεί να μετρήσει κάποια ηλεκτρική τάση, αρκεί να συνδεθεί σωστά, εφόσον αυτό αφήνεται να εννοηθεί στα περισσότερα σχολικά βιβλία.

 Όλα αυτά βέβαια είναι αναμενόμενο να συμβαίνουν, αφού μόνο στο εργαστήριο, τη στιγμή της μέτρησης, όλες οι εν δυνάμει καταστάσεις ποσοτικοποιούνται και καταρρέουν σε μια πραγματικότητα που πολλές φορές δεν είναι η αναμενόμενη και προβληματίζει. Έτσι, στα πλαίσια μιας αποτελεσματικής διδασκαλίας, ο συνδυασμός θεωρητικών και πειραματικών δεδομένων αφενός οδηγεί στην καλύτερη κατανόηση του φαινομένου και αφετέρου «δείχνει» στους μαθητές κάποια από τα στοιχεία της κουλτούρας των φυσικών επιστημών.

         Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με ένα από τα πιο συνηθισμένα στοιχεία ενός ηλεκτρικού κυκλώματος, που είναι ο πυκνωτής. Το στοιχείο αυτό με την ιδιαίτερη συμπεριφορά, έχει πολλές εφαρμογές λόγω της βασικής του ιδιότητας να αποθηκεύει ενέργεια, αλλά και λόγω της μεταβατικής του συμπεριφοράς στην περίπτωση κατά την οποία η τάση που εφαρμόζεται στους οπλισμούς του μεταβάλλεται. Έτσι η σταθερή αναλογία μεταξύ του ηλεκτρικού φορτίου q, που έχει αποθηκευτεί και βρίσκεται σε κατάσταση ηλεκτρικής ισορροπίας και της τάσης  στους οπλισμούς του, , μετατρέπεται σε  αναλογία μεταξύ του ρυθμού μεταβολής της τάσης των οπλισμών και της έντασης Ι του ρεύματος φόρτισης ή εκφόρτισης του πυκνωτή,      

.

Δηλαδή αν και το ρεύμα των ηλεκτρονίων δε διέρχεται από το χώρο μεταξύ των οπλισμών, στον υπόλοιπο βρόχο τα στοιχεία διαρρέονται από ρεύμα που η τιμή του είναι ανάλογη του ρυθμού μεταβολής της τάσης στους οπλισμούς του πυκνωτή. Στην περίπτωση που η τάση των οπλισμών σταθεροποιηθεί, το ρεύμα  μηδενίζεται και τότε λέμε ότι ο πυκνωτής έχει φορτιστεί ή εκφορτιστεί, ανάλογα.  

         Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη συμπεριφορά αυτού του συστήματος των δύο αντίθετα φορτισμένων μεταλλικών φύλλων, με την ισχυρή ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση, θα παρακολουθήσουμε το φαινόμενο της φόρτισης καθώς και το φαινόμενο της εκφόρτισης του πυκνωτή.

 

Η καταγραφή και η απεικόνιση φόρτισης – εκφόρτισης

 

         Το φαινόμενο της φόρτισης μπορεί εύκολα να καταγραφεί, αν χρησιμοποιήσουμε έναν ηλεκτρολυτικό πυκνωτή με μεγάλη χωρητικότητα, για παράδειγμα ένα πυκνωτή με στοιχεία 1000 μF, 25 volts, έναν αντιστάτη με αναγραφόμενη τιμή αντίστασης 100 kΩ, μια μπαταρία των 4,5 volts, ένα ψηφιακό πολύμετρο που θα χρησιμοποιηθεί ως βολτόμετρο, έναν απλό διακόπτη και μια δοκιμαστική πλακέτα για την τοποθέτηση των στοιχείων του κυκλώματος που θα συναρμολογήσουμε (Εικόνα 1). Φυσικά θα χρειαστούμε και ένα χρονόμετρο για να παρακολουθούμε τη χρονική εξέλιξη του φαινομένου. Στη διαδικασία που ακολουθήσαμε, χρησιμοποιήσαμε ένα ψηφιακό χρονόμετρο. Απαραίτητα είναι επίσης και τα  καλώδια με τους κατάλληλους ακροδέκτες.


 Εικόνα 1. Το διάγραμμα του πειραματικού κυκλώματος φόρτισης του πυκνωτή.

     

Αφού λοιπόν το κάθε μέλος της ομάδας καταλάβει τι ακριβώς πρέπει να κάνει, είμαστε έτοιμοι για τη λήψη των μετρήσεων. Ένας μαθητής πρέπει να παρακολουθεί το χρονόμετρο και να ανακοινώνει τα τελευταία δευτερόλεπτα του προκαθορισμένου χρονικού διαστήματος και ένας άλλος μαθητής να παρακολουθεί και να καταγράφει την ένδειξη του ψηφιακού οργάνου τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Φυσικά έχουμε προετοιμάσει και ένα πίνακα τιμών. Έτσι λοιπόν αρχίζει η λήψης και καταγραφής των μετρήσεων.

 

Οι μετρήσεις

Πίνακας 1

 

Χρόνος Τάση

s          V

0          0

10        0,44

20        0,83

30        1,16

40        1,47

50        1,74

60        1,99

70        2,21

80        2,41

90        2,58

100      2,74

110      2,88

120      3,01

130      3,13

140      3,24

150      3,34

160      3,43

170      3,5

180      3,58

190      3,63

200      3,69

210      3,74

220      3,79

230      3,83

240      3,87

250      3,9

260      3,93

270      3,97

280      3,98

290      4,01

300      4,03

310      4,06

320      4,07

330      4,08

340      4,09

350      4,11

360      4,12

370      4,13

380      4,14

390      4,15

400      4,16

410      4,17

420      4,17

430      4,17

440      4,18

450      4,19

460      4,19

470      4,2

480      4,2

490      4,2

500      4,21

510      4,21

520      4,21

530      4,21

540      4,21

570      4,22

600      4,23

630      4,23

660      4,24

690      4,24

720      4,24

750      4,24

780      4,24

810            4,24

         Οι τιμές του Πίνακα 1 είναι σχετικά εύκολο να ληφθούν από μαθητές σε μετωπικό εργαστήριο.  Έτσι έχουμε τα απαραίτητα στοιχεία για να κάνουμε την απεικόνιση της τάσης του πυκνωτή σε συνάρτηση με την αντίστοιχη χρονική στιγμή. Το διάγραμμα που ακολουθεί (Εικόνα 2) είναι αρκετό για να έχουμε εποπτεία του φαινομένου. Το  διάγραμμα αυτό μας βοηθά επίσης να


 

Εικόνα 2. Διάγραμμα τάσης – χρόνου για τις τιμές του Πίνακα 1.

 

κατανοήσουμε, ποιοτικά στην αρχή, τη χρονική πορεία του φαινομένου της φόρτισης. Πράγματι φαίνεται καθαρά ότι η τάση του πυκνωτή αυξάνεται και τελικά σταθεροποιείται. Ο ρυθμός της αύξησης είναι μεγάλος στην αρχή και μειώνεται καθώς το φαινόμενο εξελίσσεται. Πέρα όμως από την ποιοτική περιγραφή του φαινομένου μπορούμε να κάνουμε και ποσοτική περιγραφή από στοιχεία που προκύπτουν από το  διάγραμμα τάσης – χρόνου.

 

Θεωρία και πράξη: Οι χρήσιμες αποκλίσεις

 

         Πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση των συμπερασμάτων που προκύπτουν από την πειραματική καταγραφή του φαινομένου της φόρτισης του πυκνωτή, πρέπει να δώσουμε και τα αποτελέσματα της θεωρητικής μελέτης του κυκλώματος φόρτισης.

         Γνωρίζουμε, λοιπόν, ότι η εφαρμογή του 2ου κανόνα του Kirchhoff  στο βρόχο που περιλαμβάνει μία πηγή με ΗΕΔ Ε και μηδενική εσωτερική αντίσταση, έναν πυκνωτή χωρητικότητας C και έναν αντιστάτη με αντίσταση R (Εικόνα 3), μας οδηγεί στην εξίσωση :

Εικόνα 3.  Διάγραμμα του θεωρητικού κυκλώματος φόρτισης του πυκνωτή


Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης, είναι:

και μας πληροφορεί ότι:

1.      Η εξέλιξη του φαινομένου της φόρτισης είναι εκθετική .

2.      Η τελική τάση θα είναι ίδια με την τάση της πηγής.

3.      Η φυσική μονάδα χρόνου του φαινομένου είναι η χρονική διάρκεια που εκφράζεται από το γινόμενο RC.

4.      Αν ο ρυθμός της φόρτισης παρέμενε σταθερός και είχε τιμή ίση με την αρχική, τότε η φόρτιση θα ολοκληρωνόταν σε χρόνο RC.

Είμαστε λοιπόν έτοιμοι  να συγκρίνουμε τις θεωρητικές προβλέψεις με τις πειραματικές μετρήσεις (Πίνακας 2).

 

                                                                       Πίνακας 2

 

 

Απλές θεωρητικές προβλέψεις

Πειραματικές μετρήσεις

Τελική τάση του πυκνωτή

Ε = 4,67  V

V0 = 4,24 V

Σταθερά χρόνου

RC = 100 s

RολC = 90,8 s

 

         Γιατί, όμως,  η ένδειξη του βολτομέτρου για την τελική τάση του πυκνωτή είναι 4,24 V και όχι 4,67 V που ίσως περιμέναμε; Αυτό συμβαίνει  επειδή η ένδειξη του βολτομέτρου είναι το αποτέλεσμα της σύνδεσης – υπέρθεσής του στο κύκλωμα, συνεπώς πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και την ηλεκτρική του συμπεριφορά που εκφράζεται με την εσωτερική του αντίσταση RV. Το πραγματικό κύκλωμα φόρτισης είναι αυτό που φαίνεται  στο διάγραμμα κυκλώματος της Εικόνας 4. Βλέπουμε ότι πράγματι η παρουσία του βολτομέτρου καθορίζει την τελική τιμή της τάσης του πυκνωτή.


Εικόνα 4.  Διάγραμμα του πραγματικού κυκλώματος φόρτισης του πυκνωτή

 

Η τάση αυτή θα είναι  δηλαδή μικρότερη από την Ε.  Μετρώντας λοιπόν άμεσα την τιμή του αντιστάτη R με το πολύμετρο, βρίσκουμε R = 99,1  kΩ και κατά συνέπεια μπορούμε να προσδιορίσουμε την τιμή της αντίστασης του αντιστάτη RV. Είναι λοιπόν

 από την οποία προκύπτει ότι RV = 977,2  kΩ.

 

Η επαλήθευση της τιμής αυτής γίνεται εύκολα με τον προσεκτικό παραλληλισμό ενός αντιστάτη με τιμή 1 MΩ στο βολτόμετρο, οπότε η ένδειξή του υποδιπλασιάζεται.

 

 Την τιμή αυτή θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια για να υπολογίσουμε θεωρητικά, τη σταθερά χρόνου του κυκλώματος με το βολτόμετρο. Χρειάζεται όμως να έχουμε την εξίσωση της τάσης του πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου. Η εξίσωση αυτή προκύπτει από την εφαρμογή των κανόνων του Kirchhoff στο προηγούμενο κύκλωμα και είναι:

 

Επαναπροσδιορίζουμε λοιπόν τη θεωρητική τιμή της σταθεράς χρόνου του πραγματικού κυκλώματος που είναι :

Η επαλήθευση της προηγούμενης τιμής μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της κλίσης που έχει η εφαπτομένη στην καμπύλη φόρτισης (Εικόνα 2), τη στιγμή t = 0. Φέρουμε λοιπόν την εφαπτομένη και επιλέγουμε ευανάγνωστα σημεία για τον προσδιορισμό της κλίσης. Έτσι έχουμε  και                                   .

              Φυσικά ο πειραματικός προσδιορισμός της σταθεράς χρόνου του πραγματικού κυκλώματος φόρτισης από το διάγραμμα τάση – χρόνος, σε συνδυασμό με τη γνώση της εσωτερικής αντίστασης του βολτομέτρου, μπορεί να μας οδηγήσει και στον προσδιορισμό της χωρητικότητας ενός πυκνωτή.

 

         Ας υπολογίσουμε τώρα την τιμή του ρυθμού μεταβολής της τάσης του πυκνωτή τη στιγμή που η τάση είναι VC= 4 volts. Η εφαρμογή των κανόνων του  Κirchhoff, στο πραγματικό κύκλωμα, μας οδηγεί στην εξίσωση:  . Με αντικατάσταση των τιμών στην εξίσωση αυτή προκύπτει ότι .         Η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη φόρτισης (Εικόνα 2) είναι:       .

 

 

Μετά τη φόρτιση ακολουθεί … η εκφόρτιση 

 


        Με ανάλογο τρόπο, μπορούμε να καταγράψουμε την εκφόρτιση του πυκνωτή. Θα χρησιμοποιήσουμε τον πυκνωτή που χρησιμοποιήσαμε και προηγουμένως, τον ίδιο αντιστάτη και το ίδιο βολτόμετρο (Εικόνα 5). Φυσικά για να υπάρξει εκφόρτιση πρέπει να έχουμε φορτίσει τον πυκνωτή χρησιμοποιώντας μια μπαταρία. Η μπαταρία που χρησιμοποιήσαμε είχε πολική τάση V0 = 4,20 V. Το κύκλωμα είναι ένα τυπικό κύκλωμα εκφόρτισης με το βολτόμετρο συνέχεια συνδεδεμένο στον πυκνωτή.

 

 Εικόνα 5.  Διάγραμμα του κυκλώματος εκφόρτισης του πυκνωτή

 

 

Η τυπική εξίσωση της τάσης του πυκνωτή είναι     .  Συνεπώς μπορούμε να κάνουμε συγκρίσεις πειραματικών και θεωρητικών δεδομένων, αφού πρώτα πάρουμε μετρήσεις και κατασκευάσουμε το διάγραμμα τάσης – χρόνου. Πήραμε λοιπόν τις πιο κάτω μετρήσεις (Πίνακας 3) αφού το  φαινόμενο εξελίσσεται με τέτοιους ρυθμούς που είναι εύκολο να καταγραφεί, πράγμα που οφείλεται στις τιμές των στοιχείων του κυκλώματος και κατασκευάσαμε την καμπύλη εκφόρτισης του πυκνωτή (Εκόνα 6) .

 

Οι μετρήσεις

 

Πίνακας 3

 

Χρόνος Τάση

s            V

0                    4,20

10                3,85

20                3,45

30                3,12

40                2,82

50                2,54

60                2,27

70                2,06

80                1,86

90                1,69

100            1,51

110            1,37

120            1,23

130            1,12

140            1,00

150            0,90

160            0,81

170            0,73

180            0,66

190            0,60

200            0,54

210            0,49

220            0,44

230            0,40

240            0,36

250            0,32

260            0,29

270            0,26

280            0,24

290            0,21

300            0,19

310            0,18

320            0,16

330            0,14

340            0,13

350            0,12

360            0,10

370            0,09

380            0,09

390            0,08

400            0,07

410            0,06

420            0,05

430            0,05

440            0,04

450            0,04

460            0,04

470      0,03


 

 

Εικόνα 6.  Διάγραμμα τάσης – χρόνου για τις τιμές του Πίνακα 3.

Ήδη γνωρίζουμε ότι η θεωρητική τιμή της σταθεράς χρόνου του πραγματικού κυκλώματος είναι Rολ C = 90 s , όπου Rολ είναι η αντίσταση εκφόρτισης του πυκνωτή και εκφράζει τον παράλληλο συνδυασμό της εσωτερικής αντίστασης RV του βολτομέτρου και της αντίστασης R του κυκλώματος. Επίσης είναι γνωστό ότι η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη εκφόρτισης, τη στιγμή t = 0, είναι V0/RολC και εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της τάσης στην αρχή της εκφόρτισης.

 

Πράγματι όπως βλέπουμε στο διάγραμμα (Εικόνα 6) που κατασκευάστηκε από τις τιμές του Πίνακα 3, η κλίση της εφαπτομένης τη στιγμή  t = 0, είναι  . Όμως η κλίση είναι  και κατά συνέπεια RολC = 91,3 s.

 

 

Πως μπορούμε να «δούμε» τη φόρτιση - εκφόρτιση

 

         Όταν η σταθερά χρόνου των κυκλωμάτων φόρτισης – εκφόρτισης είναι πολύ μικρή, τότε η καταγραφή του φαινομένου είναι αδύνατο να γίνει με το χρονόμετρο και το βολτόμετρο. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε όργανα μεγάλης ευαισθησίας και άμεσης καταγραφής όπως είναι ο παλμογράφος. Έτσι είναι δυνατό να δούμε την καμπύλη εκφόρτισης κυκλωμάτων με σταθερές χρόνου της τάξεως του μsec, αρκεί να διαθέτουμε και μια γεννήτρια τετραγωνικών παλμών μεγάλης συχνότητας.

       Συναρμολογούμε λοιπόν το κύκλωμα της Εικόνας 7 και προσπαθούμε να σταθεροποιήσουμε στην οθόνη του παλμογράφου διπλής δέσμης τις καμπύλες της Εικόνας  8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Εικόνα 7.  Διάγραμμα κυκλώματος απεικόνισης της φόρτισης - εκφόρτισης

 

 


         

 

 

 

 

 

 

 

Τ                2Τ                                               Τ               2Τ

(α)                                                                                            (β)

 

Εικόνα 8. (α)Τάση γεννήτριας τετραγωνικών παλμών (β)Τάση πυκνωτή (οθόνη παλμογράφου).

 

Γεννήτρια τετραγωνικών παλμών                       Παλμογράφος
 
              Για να έχουμε στην οθόνη του παλμογράφου τις καμπύλες φόρτισης και εκφόρτισης του πυκνωτή, πρέπει να τροφοδοτήσουμε το κύκλωμα με τετραγωνικούς παλμούς, τέτοιας περιόδου ώστε η φόρτιση καθώς και η εκφόρτιση να ολοκληρώνεται σε χρόνο Τ/2. Δηλαδή θα πρέπει 5 RC < T/2. Για παράδειγμα, αν η συχνότητα των τετραγωνικών παλμών είναι f = 1  kHz, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε  R = 220 Ω και C = 0,18 μF.

          Όσο αυξάνουμε τη σταθερά χρόνου (ιδιαίτερα όταν 5 RC >> T/2), ο πυκνωτής δεν προλαβαίνει να φορτιστεί αλλά ούτε και να εκφορτιστεί πλήρως. Τότε παρατηρούμε να εμφανίζεται τριγωνικός παλμός στον πυκνωτή. Έχουμε λοιπόν μετατροπή του τετραγωνικού παλμού σε τριγωνικό, δηλαδή έχουμε επιτύχει την ολοκλήρωση του τετραγωνικού παλμού. Το κύκλωμα αυτό είναι γνωστό σαν κύκλωμα ολοκλήρωσης.

          Όσο μειώνουμε τη σταθερά χρόνου (ιδιαίτερα όταν 5 RC << T/2), ο πυκνωτής φορτίζεται και εκφορτίζεται πολύ γρήγορα έτσι ώστε ελάχιστα επηρεάζεται ο τετραγωνικός παλμός. Δηλαδή στον πυκνωτή εμφανίζεται και πάλι τετραγωνικός παλμός.

 

Σχόλια

 

        Για άλλη μια φορά  φαίνεται ότι το μάθημα του πίνακα από μόνο του είναι ανεπαρκές. Οι ενέργειες που περιγράφονται από τα ρήματα παρατηρώ, μετρώ, καταγράφω, ταξινομώ, συνεργάζομαι, ερμηνεύω κτλ. και που αργότερα θα πρέπει να είναι βασικό εφόδιο για τη ζωή των νέων πολιτών, δεν υλοποιούνται ! Πώς είναι δυνατό να γίνει κατανοητό το φαινόμενο της φόρτισης – εκφόρτισης, για παράδειγμα, έστω ως γνωστικό αντικείμενο από τους μαθητές χωρίς το κατάλληλο εργαστηριακό περιβάλλον;

      Είναι δυνατόν οι μαθητές μόνο με «τη διδασκαλία του πίνακα» να καταφέρουν να αναπαραστήσουν ορθά στο δικό τους νοητικό κόσμο ένα τέτοιο φαινόμενο εξελισσόμενο ταχύτατα με φυσικές μονάδες χρόνου μεγέθους πολύ διαφορετικού από το συνηθισμένο; Ποιο συγκεχυμένο νοηματικό σχήμα θα αναπτύξει ο μαθητής προτρεπόμενος να απομνημονεύσει τη φράση: «…ο πυκνωτής χρειάζεται θεωρητικά άπειρο χρόνο για να φορτιστεί, ενώ στην πράξη φορτίζεται σε ελάχιστο (;) χρόνο σχεδόν μηδέν (!)»  Αντίθετα μόνο και μόνο η απλή παρατήρηση των ενδείξεων του βολτόμετρου ή του αμπερόμετρου κατά τη διάρκεια του εν λόγω φαινόμένου, είναι ικανή να διδάξει με ιδιαίτερο και ξεχωριστό τρόπο κάθε μαθητή που την πραγματοποιεί. Επιπλέον κατά τη διάρκεια της λήψης των μετρήσεων οι μαθητές είναι αναγκασμένοι να παρατηρούν τις ενδείξεις χρονομέτρου και βολτομέτρου και συντονισμένα να καταγράφουν ζεύγη τιμών. Έτσι απλά καλλιεργείται η ικανότητα συγκέντρωσης και συνεργασίας που είναι πολύτιμα εκπαιδευτικά αγαθά.

        Κλείνοντας ας σκεφτούμε γιατί ο χρόνος κυλάει διαφορετικά στην τάξη και στο εργαστήριο. Στην τάξη η ώρα δεν περνάει με …τίποτα, ενώ στο εργαστήριο δεν καταλαβαίνουμε πως πέρασε η ώρα ! 

 

Βιβλιογραφία

 

1.      E.  Purcell:    ELECTRICITY AND MAGNETISM, Vol II. Υπεύθυνος της Ελληνικής έκδοσης,  ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ – μαθήματα φυσικής πανεπ. BERKELEY, Α. Φίλιππας, καθ. του Ε.Μ.Π. , Αθήνα 1977, σελ. 156-158.

2.      H. Young: Φυσική , τόμος Β΄ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΟΠΤΙΚΗ  ΣΥΓΧΡΟΝΗ  ΦΥΣΙΚΗ, εκδ.  Παπαζήση, Αθήνα 1994, σελ 754-757.

3.      Θ. Λ. Δεληγιάννης: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ  ΣΤΟΙΧΕΙΑ – ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ, Έκδοση – αποκλειστική διάθεση Μαρία Χατζηϊωάννου Μαιζώνος 20, Πάτρα 1992, σελ. 40-43 και 48-50.

4.      Ι. Βλάχος, Κ. Ζάχος, Π.  Κόκκοτας, Γ. Τιμοθέου,: Φυσική Γ΄ Λυκείου, εκδ. ΟΕΔΒ, Αθήνα 1995, σελ. 170-178.

5.      http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/rc/rc.html  :Προσομοίωση φόρτισης – εκφόρτισης πυκνωτή.