Irini's Math Pages

Το Α1 παρουσιάζει συμμετρίες

Αρχική >> Απίθανοι μαθητές >>

Προσκάλεσα το τμήμα μου Α1 του Πειραματικού Λυκείου να βρούν ενδιαφέρουσες εικόνες με θέμα την αξονική ή την κεντρική συμμετρία. Αυτό που ακολούθησε θα το έλεγα "βομβαρδισμό εικόνων", ...που ακόμα συνεχίζεται.

Ξεχωριστή θέση καταλαμβάνουν οι δημιουργίες των μαθητών: τα ψηφιδωτά (ομαδικές εργασίες), το σχέδιο που με πολύ κόπο δημιούργησε η Αναστασία Α. και η ζωηρή πεταλούδα της Ελένης Ι.

Πέρα από τη δημοσίευση της εργασίας αυτής στη σχολική εφημερίδα μας, έκρινα σκόπιμη τη δημοσίευσή της και στον παγκόσμιο ιστό, γιατί όπως θα διαπιστώσετε, οι νέοι μας είναι πραγματικά απίθανοι.


Η αξονική συμμετρία

Παρατηρήστε το διπλανό σχήμα με τα αρχικά του σχολείου μας (Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ηρακλείου).Η κόκκινη ευθεία λειτουργεί σαν καθρέπτης. Peiramatiko Geniko Lykeio Hrakliou
Mπορούμε ένα οποιοδήποτε σημείο Α να το καθρεπτίσουμε σε μια οποιαδήποτε ευθεία ε. Το σημείο Β (το είδωλο του Α) λέγεται το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας και παρατηρούμε ότι:
  1. Η ευθεία ε είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ.
  2. Το συμμετρικό του Β ως προς την ευθεία ε είναι το Α, γι' αυτό και τα σημεία Α και Β λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε.
reflecting point A

Αρχή της σελίδας


Σχήματα με αξονική συμμετρία

The symmetry of a butterfly

Βλέπετε την παραπάνω πεταλούδα; Παρατηρήστε ότι αν "διπλωθεί" στα δύο, τα μέρη της εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο.

Μπορεί κανείς να ανακαλύψει πολλά σχήματα που αν "διπλωθούν" θα ταυτιστεί το ένα μισό τους πάνω στο άλλο. Αύτά τα σχήματα λέγονται συμμετρικά με άξονα συμμετρίας την ευθεία της δίπλωσης.

Δείτε και τις ζωγραφιές που ετοίμασαν η Αναστασία (ανθρώπινη μορφή) και η Ελένη (πεταλούδα). Και τα δύο έχουν έναν κατακόρυφο άξονα συμμετρίας. Είναι γεγονός ότι η φύση μάς έχει κατακλύσει από τέτοιου είδους συμμετρικές μορφές.

Anastasias' drawing

Η μορφή που σχεδίασε η Αναστασία

Elenis' butterfly

Η πεταλούδα της Ελένης.

Φυσικά, υπάρχουν σχήματα που διαθέτουν πολλούς άξονες συμμετρίας, όπως ο αστερίας, το τετράγωνο, ο κύκλος κ.τ.λ..

Αρχή της σελίδας


Η κεντρική συμμετρία

Παρατηρήστε ότι το κόκκινο σημείο-σταυρός λειτουργεί σαν ένα κέντρο "αναστροφής" των γραμμάτων. Το τελικό αποτέλεσμα είναι μια εικόνα που και να "γυρίσει ανάποδα" παραμένει η ίδια. Peiramatiko Geniko Lykeio Hrakliou
Στο διπλανό σχήμα, παρουσιάζουμε μια απλή μέθοδο για την αναστροφή (περιστροφή κατά 180o) του σημείου Α γύρω από ένα τυχαίο σημείο Ο: Απλά προεκτείνουμε το ΑΟ κατά ίσο τμήμα OB. Έτσι, το Ο είναι το μέσο του ΑΒ και λέγεται κέντρο συμμετρίας, ενώ τα Α και Β λέγονται συμμετρικά ως προς το σημείο Ο. rotating point A

Αρχή της σελίδας


Σχήματα με κεντρική συμμετρία

rottating a card figure

Κοιτάξτε τη διπλανή φιγούρα. Περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο κατά 180o (γυρνά ανάποδα) και όμως το "ανάποδο" είναι ίδιο με το "ορθό".

Τέτοια σχήματα, που και να "γυρίσουν ανάποδα" παραμένουν τα ίδια, λέμε ότι παρουσιάζουν κεντρική συμμετρία (με κέντρο συμμετρίας το σημείο περιστροφής).

Το περίεργο είναι ότι στη φύση είναι σπάνιες οι μορφές που παρουσιάζουν κεντρική συμμετρία χωρίς συγχρόνως να έχουν και αξονική.

Αρχή της σελίδας


Τα ψηφιδωτά μας

Από την Παρασκευή 8 Φεβρουαρίου 2008 μέχρι και την Παρασκευή 15 Φεβρουαρίου, συγκροτήθηκαν "καλλιτεχνικά συνεργεία" όπου συμμετείχαν όλοι οι μαθητές του Α1, με σκοπό τη δημιουργία "ψηφιδωτών" συμμετρικών εικόνων.

Για το σκοπό αυτό, διατέθηκε μια ώρα από το μάθημα της Γεωμετρίας, ενώ τα περισσότερα έργα δουλεύτηκαν και ολοκληρώθηκαν στη βιβλιοθήκη του σχολείου μας κατά τη διάρκεια των διαλειμμάτων.

Τα στάδια δημιουργίας τους ήταν τα εξής:

  1. Δημιουργία προσχεδίου σε χαρτί Α4, από διάφορους "καλλιτέχνες", που αποτύπωσαν τις δικές τους χρωματικές συνθέσεις σε πλέγματα τριγωνικά/τετραγωνικά, μικρογραφίες του τελικού καμβά. (Για να δείτε κάποια από αυτά πατήστε εδώ.)
  2. Επιλογή από την ομάδα, του προσχεδίου που θα λειτουργούσε ως οδηγός για την κατασκευή του ψηφιδωτού.
  3. Συγκόλληση τριγωνικών ψηφίδων από χρωματιστά χαρτόνια στον τελικό καμβά.
kaleidoscope 1
Καλειδοσκόπιο
kaleidoscope 2
Καλειδοσκόπιο
snow flake 1
Χιονονιφάδα
card figure
Φιγούρα Τράπουλας
snowflake
Χιονονιφάδα
rotating kaleidoscope
"Περιστροφικό" Καλειδοσκόπιο

Αρχή της σελίδας


Λογοτεχνικός λόγος από ψηφίδες

Στο μάθημα της Νεοελληνικής Λογοτεχνίας, η συνάδελφος Λένα Νικολιδάκη παρακίνησε τους μαθητές του Α1 να εκφραστούν με λογοτεχνικό λόγο για τα δημιουργήματά τους. Το αποτέλεσμα με ξάφνιασε: Πώς είναι δυνατόν αυτοί οι 15χρονοι να πάλλονται από τόσο "λεπτές λογοτεχνικές χορδές"; Πραγματικά είναι ΑΠΙΘΑΝΟΙ! Ας τους απολαύσουμε!



Μαθηματικό Ποίημα (Συμμετρίες)

Στο πλαίσια του μαθήματος της γεωμετρίας, αποφασίσαμε, μετά από πρόταση της καθηγήτριάς μας, να εφαρμόσουμε στην πράξη την θεωρία που διδαχθήκαμε σχετικά με τις συμμετρίες. Όμως θεωρήσαμε πιο ενδιαφέρον να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις γνώσεις για την κατασκευή ενός καλλιτεχνικού έργου, παρά για την «παραγωγή» μιας μαθηματικής απεικόνισης.

Οι ιδέες που προέκυψαν ήταν πολλές και ιδιαίτερα πρωτότυπες. Έτσι ξεκινήσαμε την προετοιμασία των έργων, ζωγραφίζοντας κάποια προσχέδια. Τα τελικά σχέδια που επιλέχτηκαν ήταν δύο απεικονίσεις πολύχρωμων καλειδοσκοπίων, μιας ασπρόμαυρης χιονονυφάδας και ενός τραπουλόχαρτου. Και οι τέσσερις προτάσεις ήταν εξίσου δύσκολες και απαιτούσαν προσεκτική και πολύωρη δουλειά. Όμως τα καταφέραμε! Τα αποτελέσματα αυτών των προσπαθειών ήταν εξαιρετικά. Δημιουργήθηκαν 4 εντυπωσιακές εικόνες, φτιαγμένες με την τεχνική του κολλάζ έχοντας όμως ως βάση τη συμμετρία, είτε την κεντρική είτε την αξονική.

Τα «ξερά» μαθηματικά μετατράπηκαν σε ζωντανά και πολύχρωμα έργα τέχνης, μιας ίσως διαφορετικής μορφής τέχνης. Πολλοί ίσως διαφωνήσουν με τη χρήση αυτού του όρου, αλλά για μας ήταν δημιουργία, έκφραση συναισθημάτων. Ξεφύγαμε από τη συνηθισμένη απομνημόνευση και χρήση θεωρημάτων και ορισμών, δημιουργήσαμε κάτι όμορφο που έχει μέσα του χαρακτηριστικά της προσωπικότητάς μας. Είναι, θα έλεγα, ένα μαθηματικό ποίημα. Έχει κανόνες αλλά ταυτόχρονα ελευθερία έκφρασης. Μας επιτρέπει να «πούμε» οτιδήποτε θέλουμε απλά φτιάχνοντας ένα σχέδιο που ορίζεται από κάποιους κανόνες, χωρίς όμως να μας περιορίζει. Χρησιμοποιήσαμε κάτι κοινότυπο ως βάση για να φτιάξουμε κάτι απόλυτα δικό μας. Τα χρώματα αποτέλεσαν τις λέξεις στο χτίσιμο του ποιήματός μας. Το ροζ, το μωβ, το άσπρο και το μπλε χρησιμοποιήθηκαν για να καταφέρουμε να αποτυπώσουμε σκέψεις, συναισθήματα και ιδέες σε ένα συμμετρικό κολλάζ. Τα σχέδιά μας φανέρωσαν το χαρακτήρα μας.

Αλλά δεν είναι μόνο η έκφραση των συναισθημάτων μας και των ιδεών μας το μοναδικό θετικό στοιχείο αυτής της εργασίας. Είναι και το ομαδικό πνεύμα που αναπτύχθηκε. Δουλεύοντας σε ομάδες, υποχρεωθήκαμε να δουλέψουμε ομαδικά και όχι ατομικά, πράγμα που προωθεί τις σχέσεις ανάμεσα στους μαθητές.

Κλείνοντας, θεωρώ, πως αυτή ήταν μια εξαιρετική εργασία που μας έκανε τόσο να εκφραστούμε μέσα από ένα νέο τρόπο όσο και να συμφιλιωθούμε με τους γύρω μας. Εύχομαι τέτοιες δημιουργικές ιδέες να γεννιούνται με αφορμή τα σχολικά μαθήματα, έτσι ώστε οι μαθητές να ξεφεύγουν λίγο από τον τρόπο διδασκαλίας και να αποκτούν νέες εμπειρίες.

Ελισάβετ Γ.

Σημείωση: To έργο "Μαθηματικό Ποίημα" παρουσιάστηκε και στους "Μαθητικούς Ποιητικούς Περιπάτους", διασχολική λογοτεχνική εκδήλωση που έλαβε χώρα στις 2 Απριλίου 2008, στην αίθουσα "Ανδρόγεω".




Ζωντανά Χρώματα

Πολλή δουλειά
πολλή χαρά
και μια καλή παρέα
είχαν ως αποτέλεσμα
μια συμμετρία ωραία

Τα χρώματα ήταν ζωντανά
βγαλμένα από τη φύση,
γαλάζιο, ροζ και κίτρινο,
πράσινο, μπλε και μαύρο
όλα μαζί ενώθηκαν
το μάθημα να αλλάξουν.

Αρετή Α.
Μιχαέλα Α.
Μάγδα Γ.
Άννα Κ.
Αμαλία Κ.




Ένας Βασιλιάς

Κλείνεις τα μάτια και σκέφτεσαι,
φαντάζεσαι χρώματα, σχέδια ονειρεύεσαι.
Και τότε ο κανόνας, τα μαθηματικά,
η συμμετρία, τα συνδυάζεις, τα ενώνεις.
Όλα μαζί σαν θεία μελωδία συνθέτουν το όνειρο.
Ένας βασιλιάς, ένα σπαθί σε ένα χαρτί κλεισμένα.

Σταύρος Δ.




Οι κόκκινες, οι πράσινες, οι θαλασσιές ψηφίδες

Οι κόκκινες, οι πράσινες, οι θαλασσιές ψηφίδες
ενώθηκαν σε ένα χαρτί και φτιάξαν συμμετρίες.
Εμείς βάλαμε έμπνευση, τέχνη, φαντασία
και δημιουργήσαμε τέλεια συμμετρία.
Aνακαλύψαμε μοτίβα πρωτότυπα με πολυχρωμία
ιδέες αποτυπώθηκαν με τόση αφθονία.
Καλειδοσκόπια πολλά και μια χιονονιφάδα
κι ένα τραπουλόχαρτο ενώσαν την ομάδα.
Και αυτά χάρη στην κ. Περυσινάκη
που είχε ιδέες και πολύ μεράκι.

Ελισάβετ Γ.
Χριστίνα Γ.
Αρτέμης Δ.
Ελένη Ζ.




Ωραίες Νιφάδες

Νιφάδες εμπνευστήκαμε να φτιάξουμε ωραίες
και έτσι μαζευτήκαμε σε δημιουργικές παρέες.
Ροζ, μωβ, κίτρινο, γαλάζιο μπλε και μαύρο
για όλα τα γούστα της γης και κάτι παραπάνω.

Λυδία Α. - Ελένη Ι.




Με χαρά και χρώμα

Στο μάθημα της Γεωμετρίας
κάναμε τη συμμετρία
και με μεγάλη φαντασία
κάναμε καλλιτεχνία.
Εμείς και η κ. Περυσινάκη
με πολύ γέλιο και μεράκι.
Δεν δημιουργήσαμε με κανόνα
αλλά με χαρά και χρώμα.
Κόπος πολύς, κούραση πάλι
κι όμως εμείς συνεχίζουμε πάλι.

Έφη Γ. - Γιάννα Κ.




Νεογέννητη αρμονία

Μαύρο, πράσινο, ροζ, μωβ
μια συμμετρική πολυχρωμία.
Συμμετρίες ελεύθερες, απεριόριστες, χωρίς τέλος.
Νεογέννητη αρμονία,
δουλεμένες ώρες, γεμάτες έμνευση και ένταση.
Ένα αποτέλεσμα απρόσμενο, ευχάριστο...
Ένα μαθηματικό ποίημα, γεννιέται μέσα από στεγνές έννοιες
που όμως αργότερα γεμίζουν ελπίδα.

Αναστασία Α. - Αλεξάνδρα Ζ.




Ευχαρίστηση διπλή

Μέσα στην τάξη που βαριέμαι
τα μαθηματικά τώρα πια ευχαριστιέμαι
γιατί τέχνη και μάθηση μαζί
κάνανε ευχαρίστηση διπλή.
Με τα καλειδοσκόπια αγκαλιά
χρώματα βάλαμε πολλά.
Με το χειμώνα για παρέα
χιονονιφάδα φτιάξαμε ωραία.
Και η Περυσινάκη με χαρά
βοηθάει τα παιδιά.
Τέλος πρέπει να ευχηθούμε
του χρόνου να τα ξαναπούμε.

Νίκη Α. - Χρύσα Κ.




Ο Άτλας και ο Ουρανός

Ο Άτλας και ο Ουρανός
Ο Ουρανός κι ο Άτλας.
Μπλε είναι ο Ουρανός,
άσπρος είν' κ' ο Άτλας

Μιχάλης Α.
Λευτέρης Γ.
Γιώργος Κ.

Αρχή της σελίδας


Οι εικόνες που διαλέξαμε

Σχήματα με αξονική συμμετρία

(Πατήστε εδώ για να δείτε περισσότερα σχήματα)



Σχήματα με κεντρική συμμετρία

(Πατήστε εδώ για να δείτε περισσότερα σχήματα)

Αρχή της σελίδας


Συμμετρικοί προβληματισμοί

  • Ερώτηση: Γιατί ένας καθρέπτης δείχνει το δεξιά αριστερά και δε δείχνει το πάνω κάτω;
  • Απάντηση: Παρακάτω παρουσιάζουμε μια απλοϊκή - δική μας προσέγγιση. Ικανοποιηθήκαμε όμως περισσότερο από την απάντηση του κ. Κασσέτα, Φυσικού, που και αυτόν ρωτήσαμε. (Όσοι επιθυμούν, μπορούν να πλοηγηθούν και στον προσωπικό του δικτυακό τόπο: http://users.sch.gr/kassetas)

    Για να απαντήσουμε, ας δούμε τους περίφημους κατοίκους της Ητόπολης που βρίσκονται μακριά στο διάστημα χωρίς βαρυτικές επιδράσεις και που η μορφή τους παρουσιάζει διπλή αξονική συμμετρία.

    htopolitis Δίπλα βλέπετε έναν ητοπολίτη που μόλις στολίστηκε το αγαπημένο του ζαχαρωτό στο δεξί του στήθος.
    htopolitis Παρατηρώντας τον εαυτό του στον καθρέπτη, αναγνωρίζει έναν άλλο ητοπολίτη που έχει ένα ζαχαρωτό στο αριστερό μέρος. Φυσικό, αφού ο καθρέπτης κάνει το δεξιά αριστερά.
    htopolitis Μήπως όμως τελικά έγινε το πάνω κάτω; Κι αυτό θα μπορούσε να πει κανείς γιατί ο ητοπολίτης, ελεύθερος από τη βαρύτητα, (αλλά και επειδή έχει έναν οριζόντιο άξονα συμμετρίας) βλέπει συγχρόνως κάποιον που ενώ έχει το ζαχαρωτό στην δεξιά του πλευρά, το στολίστηκε "ανάποδα".

Αρχή της σελίδας

© 2007-2012 Irini Perissinaki. All Rights Reserved

Τελευταία Ενημέρωση: 15 Ιουλίου 2010
Last Update: 15 July 2010

Home Page | Subjects | Puzzles | Amazing Students | Projects | Publications | Favourites | About me

School Net Ministry of Education and Religious Affairs