Το χέρι του Καραγκιόζη και το κρεμασμένο σχοινί

Όχι, δεν πρόκειται για παράσταση Καραγκιόζη! Ή μάλλον, θα μπορούσε να είναι και αυτό...

Πρόκειται για μια αληθινή "χριστουγεννιάτικη ιστορία" που ξετυλίχτηκε τα φετεινά Χριστούγεννα, κατά την προσπάθειά μου να "ζωντανέψω" τον Καραγκιόζη. Και πιστέψτε με, πέρασα πολλά μέχρι να το καταφέρω!

Μα για κοιτάξτε τον: είναι πραγματικά ολοζώντανος! Μετακινείται, κινεί το κορμί του, τα πόδια του, το χέρι του!

Αχ αυτό το χέρι του... Ένα σπονδυλωτό από τέσσερα κομμάτια που έπρεπε να υπακούσει στους νόμους της βαρύτητας! (εφαρμόζοντας μικρές κινήσεις θα το δείτε να διπλώνει στις αρθρώσεις του)

Αλλά, ας δούμε την περιπέτειά μου βήμα-βήμα:

• Από το σχοινοπολύγωνο στη σχοινοειδή καμπύλη
• Η δυσκολία των εξισώσεων
• Η εναλλακτική της Γραφοστατικής
• Δικαιώνοντας τον Γαλιλαίο
• Απίστευτες εφαρμογές!
• Ποίηση και κάλαντα
• Επίλογος: Ο Καραγκιόζης Αϊ-Βασίλης, του Κώστα Κωνσταντίνου
• Για περισσότερη μελέτη

Από το σχοινοπολύγωνο στη σχοινοειδή καμπύλη

Φανταστείτε ότι σε ένα σχοινί κρεμάμε διάφορα βάρη. Τότε, αυτό θα πάρει μια πολυγωνική μορφή που ονομάζεται σχοινοπολύγωνο (πρώτη εικόνα).

Αν τώρα προσθέσουμε, ομοιόμορφα σε όλο το μήκος του σχοινιού, αρκετά ίσα βάρη, το σχοινί θα καμπυλωθεί, παίρνοντας ένα σχήμα που θυμίζει κρεμασμένη αλυσίδα (δεύτερη εικόνα).

Η καμπύλη που σχηματίζει ένα κρεμασμένο σχοινί ή μια κρεμασμένη αλυσίδα, υπό την επίδραση του βάρους τους, λέγεται σχοινοειδής ή αλυσοειδής.

Προέλευση εικόνων: Interactive Graphic Statics (eat-a-bug)

Κατάλογος με τα σημεία ανάπτυξης
Αρχή της σελίδας

Η δυσκολία των εξισώσεων

Ποια είναι όμως η εξίσωση της σχοινοειδούς καμπύλης; Το θέμα δεν ήταν καθόλου απλό. Ο Γαλιλαίος, που ασχολήθηκε, διατύπωσε την εικασία πως πρόκειται για παραβολή. Η εικασία όμως αυτή καταρρίφθηκε σχετικά σύντομα, αλλά πέρασε πάνω από ένας αιώνας για τον εντοπισμό της σωστής καμπύλης από τους Christian Huygens, Gottfried Wilhelm και Johann Bernoulli. Αυτοί απέδειξαν, ο ένας ανεξάρτητα από τον άλλον, πως πρόκειται για το υπερβολικό συνημίτονο:

Ανακαλύψτε πειραματικά τη διαφορά παραβολής και σκοινοειδούς καμπύλης (caternary) με μια εφαρμογή που θα βρείτε στον παρακάτω σύνδεσμο (κλικ στην εικόνα).

Το να έχεις την σωστή εξίσωση είναι σημαντικό. Φαινομενικά, ήταν αυτό ακριβώς που χρειαζόμουνα: Είχα δύο σταθερά σημεία από όπου θα περνούσε η καμπύλη (τα άκρα στον ώμο και την παλάμη του Καραγκιόζη) και το μήκος της καμπύλης μεταξύ αυτών των σημείων (μήκος του χεριού), οπότε, θα μπορούσα να υπολόγισω - έστω και δύσκολα - την σωστή παράμετρο α, αλλά και την κατάλληλη μετατόπιση οριζόντια και κάθετα της αρχικής καμπύλης.

Όμως υπάρχει πρόβλημα: Αν τα σημεία παλάμη-ώμος ταυτιστούν, τότε η σχοινοειδής παύει να υπάρχει γιατί δεν προσδιορίζεται. Έτσι, θα έπαυαν να υπάρχουν και τα χέρια του Καραγιόζη. Ακόμα, είναι εμφανές ότι το χέρι του Καραγκιόζη είναι μάλλον ένα σχοινοπολύγωνο και όχι μια σχοινοειδής καμπύλη.

Σκέφτηκα λοιπόν ότι μου έλλειπε η κατανόηση του φυσικού φαινομένου. Στο άρθρο Equation of catenary via calculus of variations τίθεται μια πολύ απλή αρχή: Το κέντρο βάρους τείνει να έχει την χαμηλότερη δυνατή θέση. Η αρχή αυτή μπορεί εύκολα να εφαρμοστεί και σε τεθλασμένη γραμμή (το χέρι του Καραγκιόζη) και να οδηγήσει σε συνάρτηση που θα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε. Στην πράξη όμως, η συνάρτηση που προέκυπτε ήταν αρκετά πολύπλοκη για να αξίζει να ασχοληθεί κάποιος μαζί της.

Είχα πλέον σηκώσει τα χέρια ψηλά, όταν εντελώς αναπάντεχα, η λύση δόθηκε από τον κλάδο της Γραφοστατικής...

Κατάλογος με τα σημεία ανάπτυξης
Αρχή της σελίδας

H εναλλακτική της Γραφοστατικής

Η παρακάτω εικόνα από το Geometry of Structural Form εμφανίζει αριστερά την πραγματική μορφή ενός σχοινοπολυγώνου, όταν σε σχοινί εφαρμοστούν οι πράσινες δυνάμεις. Η εικόνα στο κέντρο είναι το αντίστοιχο δυναμοπολύγωνο.

Πώς όμως συνδέονται το σχοινοπολύγωνο και το δυναμοπολύγωνο; Απλώς υπακούουν στους εξής νόμους:

• Ας ξεκινήσουμε από την τρίτη εικόνα. Αν ενώσουμε τα άκρα του σχοινοπολυγώνου (σχοινιού) και τους φορείς των δυνάμεων με ένα εξωτερικό σημείο (χαμηλά), προκύπτει γράφημα που το δυϊκό του έχει την ίδια τοπολογία με το δυναμοπολύγωνο.
• Δημιουργείται έτσι μια αντιστοιχία πλευρών στα δύο πολύγωνα (αυτές που διασταυρώνονται στην 3η εικόνα), οι οποίες είναι παράλληλες (1η και 2η εικόνα).
• Τα διαστήματα στην κατακόρυφη γραμμή του δυναμοπολυγώνου είναι ανάλογα (όχι ίσα απαραιτήτως) με τις δυνάμεις που εφαρμόζονται στο σχοινί (σχοινοπολύγωνο).

Επομένως, αν έχουμε το δυναμοπολύγωνο, μπορούμε να σχεδιάσουμε και το σχοινοπολύγωνο. Αυτήν την απλή ιδέα εφάρμοσα στο χέρι του Καραγκιόζη.

Παρακάτω είναι η "δυναμική" έκδοση σχοινοπολυγώνου - δυναμοπολυγώνου, όπου μπορείτε να πειραματιστείτε με την σχέση τους, κινώντας τα μπλε σημεία.

Κατάλογος με τα σημεία ανάπτυξης
Αρχή της σελίδας

Δικαιώνοντας τον Γαλιλαίο

Ας χρησιμοποιήσουμε τώρα την μέθοδο της γραφοστατικής για να σχεδιάσουμε ένα σχοινί στο οποίο έχουν κρεμαστεί διάφορα σώματα, σε ίσες οριζόντιες αποστάσεις. Τι σχήμα θα έχει;

Πειραματιστείτε με την επόμενη εφαρμογή, όπου μπορείτε να επιλέξετε το πλήθος των σωμάτων καθώς και το βάρος τους.

Τώρα, ας κάνουμε το εξής πείραμα:

1. Στη γραμμή εισαγωγής γράψτε y=x^2 ή y=0.5*x^2 ή... για να σχεδιαστεί μια τυχαία παραβολή.
2. Τραβήξτε την με το βελάκι επιλογής ώστε η κορυφή της να πέσει ακριβώς επάνω στην κορυφή του σχοινοπολυγώνου.
3. Μετακινήστε τον πρώτο δρομέα "απόσταση των Α, Β" και προσπαθήστε να εφαρμόσετε το σχοινοπολύγωνο στην παραβολή. Τι παρατηρείτε;
4. Επαναλάβετε το παραπάνω πείραμα για διαφορετικά πλήθη σωμάτων, βάρη και παραβολές.

Θα αναρωτιέστε ασφαλώς πώς έγινε ένα τόσο μεγάλο "λάθος": Η μέθοδος της Γραφοστατικής σχεδίασε παραβολή και όχι το υπερβολικό συνημίτονο. Γιατί;

Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα με την μέθοδο. Απλώς, με την παραπάνω ανάρτηση των σωμάτων δεν παίρνουμε σχοινοειδή καμπύλη, αλλά παραβολή (δικαιώνεται επομένως ο Γαλιλαίος). Φταίει ότι τα σώματα δεν είναι ισοκατανεμημένα στο μήκος του σχοινιού (παρατηρήστε ότι προς το μέσο του σχοινιού τα σώματα είναι το ένα πιο κοντά στο άλλο, απ' ότι στα άκρα του).

Μάλιστα, ακριβώς επειδή το βάρος ενός σχοινιού κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλο του το μήκος, το σχήμα που παίρνει όταν αυτό κρεμαστεί από τα άκρα του (σχοινοειδής καμπύλη), εξαρτάται μόνο από το μήκος του και τις σχετικές θέσεις των άκρων του και ΟΧΙ από την πυκνότητά του. Αν έχουμε δηλαδή ένα χοντρό και ένα λεπτό σχοινί με το ίδιο μήκος και τα άκρα τους είναι στην ίδια θέση, αυτά θα έχουν το ίδιο σχήμα όταν κρεμαστούν!!!

Κατάλογος με τα σημεία ανάπτυξης
Αρχή της σελίδας

Απίστευτες εφαρμογές!

Η σχοινοειδής καμπύλη χρησιμοποιείται από τους πολιτικούς μηχανικούς για τον σχεδιασμό κρεμαστών γεφυρών και αψίδων:

Αριστερά η γέφυρα Golden Gate, δεξιά η αψίδα Gateway στο Μισούρι, ΗΠΑ
Προέλευση εικόνων: Xan Lee Web, Catenary

Δείτε όμως και μια εντυπωσιακή της ιδιότητα που μάς αποκαλύπτει το ακόλουθο πείραμα, δημοσιευμένο στο Catenary Demonstration Experiment, Fun with hyperbolic cosine:

Αριστερά φαίνεται ένα τεντωμένο, χοντρό σχοινί, που κατά μήκος του έχουν προσαρμόσει, σε ίσες αποστάσεις, κάποια λεπτότερα σχοινιά που ενώνονται σε ένα σημείο και κόβονται. Στην δεύτερη εικόνα, το χοντρό σχοινί κρέμεται από τα άκρα του και αυτό που παρατηρούμε είναι ότι τα κομμένα σχοινιά που κρέμονται από αυτό, έχουν τα ελεύθερα άκρα τους στην ίδια ευθεία.

Μπορείτε να φανταστείτε ένα όχημα με τετράγωνους τροχούς, που η πορεία του να είναι ομαλή στο οδόστρωμα; Παρόλο που ακούγεται παράλογο, αυτό μπορεί να συμβεί, αν το οδόστρωμα αποτελείται από τις σωστές ανεστραμμένες σχοινοειδείς καμπύλες. Για να πειστείτε, δείτε τις επόμενες εικόνες που προέρχονται από το Riding on Square Wheels (του Ivars Peterson):

Κι ας μην ξεχνάμε τις εικόνες που μας χαρίζει η φύση...

Κατάλογος με τα σημεία ανάπτυξης
Αρχή της σελίδας

Ποίηση και κάλαντα

Το άρθρο αυτό είναι αφιερωμένο στον πατέρα μου. Θα μπορούσα να του είχα αφιερώσει πάρα πολλά άρθρα γιατί είναι εκείνος που μου ενέπνευσε την αγάπη για τα Μαθηματικά και την Αστρονομία. Ακόμα και τώρα ασχολείται με αυτά με εντυπωσιακό ενδιαφέρον.

Όμως θαυμάζω τον πατέρα μου για την γενικότερη παιδεία που έχει. Ένα χάρισμά του είναι να γράφει ωραία ποιήματα, που δυστυχώς δεν "κληρονόμησα", αν και κατά καιρούς έχω κάνει κάποιες προσπάθειες.

Αυτή τη φορά, μού χάρισε τα κάλαντα του Καραγκιόζη, αλλά και τη γνώση του για τα είδη της ποίησης - εκτός της μοντέρνας. Τη μοιράζομαι μαζί σας:

Κάθε ποίημα πρέπει να έχει μέτρο και ρυθμό. Τα μέτρα είναι δύο ειδών: δισύλλαβα και τρισύλλαβα. Ανάλογα με τον τονισμό τα διακρίνουμε:

-- Τα δισύλλαβα σε ιαμβικά και τροχαϊκά.

    Παράδειγμα τροχαϊκού (τονίζεται η πρώτη συλλαβή):
          Σέ γνω – ρίζω α – πό την – κόψη – τού σπα – θιού την – τρό με – ρή.

    Παράδειγμα ιαμβικού (τονίζεται η δεύτερη συλλαβή):
          Με τού – Μαγιού – τις μύ – ρωδιές – τα κόκ – κινά – κερά – σια
          Για δέ – στε πώς – χορεύ – ουνέ – της Κρή – της τά – κορά – σια

-- Τα τρισύλλαβα

    Όταν τονίζονται στην πρώτη συλλαβή λέγονται δακτυλικά. Τέτοια είναι τα έπη του Όμηρου:
          Άνδρα μοι – ένεπε – μούσα, πο – λύτροπον, – ώς μαλα – πόλλα

    Όταν τονίζεται η τρίτη συλλαβή λέγονται αναπαιστικά. Παράδειγμα:
          Στων Ψαρών – την ολό –μαυρη ρά – χη
          περπατώ – ντας η Δό – ξα μονά – χη

Τα κάλαντα και τα δημοτικά τραγούδια είναι κυρίως ιαμβικά.

Ένα μέτρο μπορεί να είναι ελλειπές. Επίσης, για να καλύψουμε τις ανάγκες του μέτρου, πολλές φορές δημιουργούμε συνιζήσεις, όπου δυο συλλαβές ακούγονται ως μία.

Η ομοιοκαταληξία είναι επιθυμητή, αλλά όχι απαραίτητη.

Κατάλογος με τα σημεία ανάπτυξης
Αρχή της σελίδας

Επίλογος: Ο Καραγκιόζης Αϊ-Βασίλης

του Κώστα Κωνσταντίνου

Επειδή οι μέρες είναι γιορτινές, θα κλείσω με το άρθρο "Ο Καραγκιόζης Αϊ-Βασίλης" του Κώστα Κωσταντίνου, Φιλολόγου στο Πειραματικό Λύκειο Ηρακλείου, το οποίο είχε δημοσιεύσει στην εφημερίδα Πατρίδα το 2006.

Διάβαζα λίγο πριν από τα Χριστούγεννα (Tα Νέα, 20/12/2006) ότι «από το γιορτινό κλίμα δεν θα μπορούσε να λείπει ο Καραγκιόζης» και ότι «μεταμορφώνεται σε Άγιο Βασίλη και παρέα με καλικάντζαρους διασκεδάζει μικρά και μεγάλα παιδιά». Καλό είναι να διασκεδάζει ο κόσμος. Ομολογώ μάλιστα ότι τρέφω μεγάλο σεβασμό προς τη συμπαθητική αυτή λαϊκή φιγούρα. Από την ώρα όμως που για πολλοστή φορά άκουσα και φέτος από τα ραδιοτηλεοπτικά μέσα ότι ο υπουργός (όπως πάντα, ο κάθε υπουργός) επισκέφθηκε την αγορά και διαπίστωσε (όπως πάντα, την ίδια αγορά) «επάρκεια αγαθών», δεν μπόρεσα να αποφύγω κάποιους βασανιστικούς συνειρμούς για την αθηνοκεντρική μας, όπως πάντα, μικρότητα. Έτσι, η εκτίμησή μου προς τον καμπουροφόρο καρπαζοεισπράκτορα του παντός εκτινάχθηκε στα ύψη. Θα σας πω το γιατί. Επειδή από τη στιγμή που ούτε και φέτος κανένας δεν μου είπε εάν διαπίστωσε παράλληλα με την «επάρκεια της αγοράς» και επάρκεια τσέπης, υποθέτω ότι το πρόβλημα ανέλαβε να το λύσει είτε ο Καραγκιόζης είτε ο Αϊ-Βασίλης. Να πρωτοεκτιμήσω επομένως ποιον για την προνοητικότητά του; Εξαρτάται από το κατά που πέφτει η Βαρβάκειος, θα μου πείτε. Ελάτε τώρα. Είναι εκεί που το πνεύμα των Χριστουγέννων αναγεννάται επάνω στο τσιγκέλι του εθνικού μας χασάπη μυκώμενον. Από τη μια, ένας μεταμφιεσμένος Καραγκιόζης που προσπαθεί να πείσει και να πεισθεί ότι η πείνα ξεχνιέται με τα μάτια, από την άλλη ένας ροδαλός και κοιλιόδουλος Αϊ-Βασίλης που απλώνει τα καλούδια της αράχνης του παντού. Ο άνθρωπος ξέρει να πουλάει. (Κόκα-κόλα είναι αυτή). Κι ας τον περιμένει μάταια ο Καραγκιόζης να κατέβει από τη στενή τσιμινιέρα της καλύβας του (εμ τι το έφτιαξες και συ μια τρύπα το ριμάδι;). Δεν χωράει. Και πώς να χωρέσει ένας ευτραφής πάροινος μεθύστακας και επαγγελματίας διασκεδαστής που η παμφάγος κοινωνία μας έταξε να υπηρετεί την δανειοδίαιτη καταναλωτική μας αδηφαγία;

Δεν έχω τίποτα με τη χαρά των ανθρώπων και τη ξεγνοιασιά. Κατανοώ πλήρως την ανάγκη τόνωσης της εμπορικής κίνησης. Ζητώ όμως να ονομάζονται τα πράγματα με το όνομά τους. Και όταν εύχομαι «Καλά Χριστούγεννα» στο μυαλό μου έρχεται ένας κατατρεγμένος ιστορικός Χριστός, εχθρός του λούσου και της επίδειξης που ευαγγελίζεται την ειρήνη στις ψυχές των ανθρώπων, όχι τον πόλεμο των «διακοπών». Γιατί Χριστούγεννα δεν είναι ούτε το «χρόνια πολλά» ούτε το «καλές διακοπές». Μια ζωή τέτοια ακούω. Είτε πρόκειται για Πάσχα είτε για γιορτή γενικώς. Αυτός ο συγκρητισμός της αστικοποιημένης αφασίας υποκαθιστά την απουσία της πνευματικής αναζήτησης με την παρουσία του κερδοφόρου ετοιματζίδικου και την τυπικότητα της αποξένωσης.

Ας μην ταραζόμαστε όμως. Θα σκεφτούμε και αυτή τη χρονιά για λίγο τους φτωχούς. Αυτούς που πραγματικά γνοιάζονται δεν τους μαθαίνουμε ποτέ άλλωστε. Ο ευκαιριακός μας οβολός θα κάνει τότε τη δυστυχία της αντικατάστασης της γαλοπούλας (στο γιορτινό τραπέζι) από το κοτόπουλο (φθηνότερο γάρ, το διαλαλεί η τηλεόραση) λιγότερο δύσπεπτη. Στο κάτω-κάτω ο Καραγκιόζης όλους τους διασκεδάζει. Και ο Άγιος έχει για όλους. Φτάνει να χωρέσει από την καμινάδα. Αν υπάρχει η καμινάδα…

Δεν είναι αυτός ο Αϊ-Βασίλης που ξέρω. Λυπάμαι και ντρέπομαι. Ντρέπομαι για την εκτυφλωτική σκόνη που έχει σηκωθεί εδώ και χρόνια και αναιδώς ρίχνει κάθε τέτοιες μέρες τον μανδύα της λογικής του χαβαλέ επάνω στο Αγαθό της Χριστιανοσύνης. Η γιορτή της Ελπίδας να εξαντλείται στην ελπίδα της γιορτής, η γιορτή της Αγάπης να καταντά η αγάπη της γιορτής. Από τη μια η κενότητα του εφήμερου, από την άλλη η ρηχότητα της αλλοτρίωσης. Ελπίδα σε τι, αγάπη για τι;

Δεν είναι αυτός ο Αϊ-Βασίλης που ξέρω. Ο κάτισχνος κοινωνικός εργάτης, ο προστάτης με λόγια και με έργα των ταπεινών και καταφρονημένων. Δεν είναι ο σημερινός Αϊ-Βασίλης (ένας καρναβαλικός Διόνυσος στην πολυκοσμία του πλαστικού πουθενά) αυτός που θέλω. Ο παρηγορητής των απελπισμένων και ο πνευματικός οδοιπόρος που περιφέρει ταπεινά το μήνυμα της εσωτερικής ειρήνης των ανθρώπων. Ο χαροποιός. Αυτός που χωρίς να αρκείται στο ρέψιμο ενός μιξοβάρβαρου «χο-χο-χο» κρατάει στα χέρια του το χαρτί και καλαμάρι της γνώσης φέρνοντας το αγαθό της Παιδείας στον κόσμο μας. Όσο για τον Καραγκιόζη, δεν τον φοβάμαι. Του χρόνου πάλι στην αγορά θα περιφέρεται…

Κατάλογος με τα σημεία ανάπτυξης
Αρχή της σελίδας

Για περισσότερη μελέτη

Στα Ελληνικά:

1. : Το κρεμασμένο σχοινί, του Δημήτρη Καλυκάκη (Mαθηματικού στο Πειραματικό Λύκειο Ηρακλείου).

2. Σχοινοειδής φορέας, Στοιχεία Γραφοστατικής, σημειώσεις του Βλάση Κουμούση (Καθηγητή στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών).

3. Ο Καραγκιόζης Αϊ-Βασίλης, του Κώστα Κωνσταντίνου (Φιλολόγου στο Πειραματικό Λύκειο Ηρακλείου), Εφημερίδα "Πατρίς", Δεκέμβριος 2006.

4. Θέατρο Σκιών: Μια πρώτη προσπάθεια animation (με το λογισμικό Scratch), του Νίκου Δαπόντε (Δρ. Διδακτικής ΦΕ και ΤΠΕ-Ε).

5. Greek Shadows: Ένα ταξίδι του θεάτρου σκιών μέσα στον χώρο και τον χρόνο.

Στα Αγγλικά:

1. Dictionary / Define catenary

2. Hanging With Galileo

3. Geometry of structural form

4. InteractiveThrust for Cabri Geometry II Plus Tutorial 1: FLYING BUTTRES

5. InteractiveThrust for Cabri Geometry II Plus Tutorial 3: RANDOM / MOLDABLE ARCH

6. Catenary Demonstration Experiment, Fun with hyperbolic cosine

7. Riding on Square Wheels (Ivars Peterson)

8. Drawing a chain with maths (Scratch, Dapontes)

Κατάλογος με τα σημεία ανάπτυξης
Αρχή της σελίδας