Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

 

Φυσική και Μαθηματικά
 

 

 

 

 

 


                               Το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών

                           Galileo Galilei

 

 

 

5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 
για 17 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η ΜΙΑ διαφορική εξίσωση και τα ΤΡΙΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
 

 


   H διαφορική εξίσωση  

dx/dt + ax = 0    

 λύση της είναι η συνάρτηση   x = x0e-at

 

Τα ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

 

1. Ραδιενέργεια

Το εμπειρικό δεδομένο      dN/dt = - λΝ     

                N = N0e-λt

 

 

2. Εκφόρτιση πυκνωτή

Ο κανόνας του Kitchhoff    IR + q/C =0      Rdq/dt + q/C = 0 

                     dq/dt + q/CR = 0     q = q0et/RC

 

3. Άνοιγμα κυκλώματος R, L

   Ο  δεύτερος κανόνας του Kitchhoff    IR + LdI/dt = 0    

     dI/dt  + R/LI = 0       I = I0e-Rt/L

 

 

η ΜΙΑ διαφορική εξίσωση και τα ΤΕΣΣΕΡΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
 

 


H διαφορική εξίσωση

   dx/dt + ax = β

 λύση της είναι η συνάρτηση  x = xορ(1-e -at)  xορ= β/α

Τα ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

 

1. Πτώση στον αέρα

Ο δεύτερος νευτωνικός νόμος της κίνησης

 mgFαντ = ma        mgbυ = mdυ/dt    dυ/dt  + b/m  υ =  g

                         υ = υορ ( 1 – ebt/m )

 

2. Κίνηση ρευματοφόρου αγωγού σε μαγνητικό πεδίο

Ο δεύτερος νευτωνικός νόμος της κίνησης

     mgFL = ma                     FL = ΒΙL = B2L2υ/R = b υ όπου b = B2L2/R

                         mgbυ = mdυ/dt         dυ/dt  + b/m υ = g

               υ = υορ ( 1 – ebt/m )

 

3. Φόρτιση πυκνωτή

Ο δεύτερος κανόνας του Kirchhoff    IR + q/C = E      Rdq/dt + q/C = E             dq/dt + q/CR = E

                      q = E C ( 1- et/RC)

 

 

4. Αποκατάσταση ρεύματος σε κύκλωμα R, L

Ο  δεύτερος κανόνας του Kitchhoff    IR + LdI/dt = Ε     dI/dt  + R/LI = Ε

            I = E/R ( 1 - e-Rt/L )

 

η ΜΙΑ διαφορική εξίσωση και τα ΔΥΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
 

 


H διαφορική εξίσωση

 d2x/dt2+ ax = 0

 

λύση της η συνάρτηση  x=x0ημ(Öαt+φ)

 

Τα ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

 

1. Μηχανική αρμονική ταλάντωση, αμείωτη

Ο δεύτερος νευτωνικός νόμος της κίνησης

 – Dx =  ma             – Dx = md2x/dt2

             +D/m x = 0    x=x0ημωt

             ( αποδεχόμενοι ότι για t = 0 ισχύει  x= 0 και υ > 0 )   ω= ÖD/m   Τ= 2π Öm/D

 

2. Ηλεκτρομαγνητική αρμονική ταλάντωση,αμείωτη

Ο  δεύτερος κανόνας του Kitchhoff     LdI/dt + q/C = 0     d2q/dt2  + 1/LC q = 0

                  q=q0ημωt

     ( αποδεχόμενοι ότι για t = 0 ισχύει q = 0 και I > 0 )  ω= 1/ÖLC   Τ= 2π ÖLC

 

η ΜΙΑ διαφορική εξίσωση και τα ΠΕΝΤΕ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
 

 


H διαφορική εξίσωση

d2x/dt2+ αdx/dt x = 0   

 

εάν α2 -4β>0 λύση η συνάρτηση                          x=c1eρ1t-c2eρ2t

εάν α2 -4β<0 λύση η συνάρτηση        x=ceAtημΒt

 

Τα ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

 

Φθίνουσα μηχανική ταλάντωση

Ο δεύτερος νευτωνικός νόμος της κίνησης

                       -b υ –Dx =  ma           -b dx/dt  – Dx = md2x/dt2

                     d2x/dt2 + b/m dx/dt  +  D/m  x = 0

1. Με  ισχυρή απόδοση

b2 > 4 Dm             x=ceρ1t-ceρ2t              t = 0    x= 0

          Τα ρ1 και ρ2 λύσεις της           Υ2+by/m + D/m = 0

2. Με  ασθενή απόδοση

b2 < 4 Dm             x=ceAtημΒt t = 0            x= 0      c = υαρχ

A+Bi = ρ1    Α-Bi = ρ2 , όπου ρ1    ρ2               οι μιγαδικές ρίζες της Υ2+by/m + D/m = 0

 

 Φθίνουσα ηλεκτρομαγνητική ταλάντωση

Ο  δεύτερος κανόνας του Kitchhoff     LdI/dt + q/C +IR = 0

Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο     d2I/dt2   +R/L dI/dt +1/CL  I=  0

3. Με  ισχυρή απόδοση

          R2 > 4L/C             I=ceρ1t-ceρ2t              t = 0    x= 0

          Τα ρ1 και ρ2 λύσεις της           Υ2+by/m + D/m = 0

4. Με  ασθενή απόδοση

      R2 < 4L/C             I=ceAtημΒt       c = (dI/dt)αρχ

A+Bi = ρ1    Α-Bi = ρ2  , όπου ρ1   και ρ2   οι μιγαδικές ρίζες της Υ2+Ry/L + 1/CL   = 0

5. Ηλεκτρικό ρεύμα σε R, L, C  σε σειρά με σταθερή τάση

IR + LdI/dt +q/C = E    Παραγωγίζουμε ως προς  χρόνο

d2I/dt2   +R/L dI/dt +1/CL  I=  0

 

η ΜΙΑ διαφορική εξίσωση και τα ΤΡΙΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
 

 


H διαφορική εξίσωση

  d2x/dt2+ αdx/dt x = γημωt

 

Τα ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

 

1. Εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση

Ο δεύτερος νευτωνικός νόμος της κίνησης

                       F0ημωt-bυ –Dx =  ma

      d2x/dt2   +b/m dx/dt  + D/m  x =  F0ημωt

x = c1eρ1t + c2eρ2t +c3ημωt +c4συνωt

 

  2. Εξαναγκασμένη ηλεκτρομαγνητική ταλάντωση

 

Ο  δεύτερος κανόνας του Kitchhoff     LdI/dt + q/C +IR = V0ημωt

Παραγωγίζουμε ως προς t.

d2I/dt2 +   R/L dI/dt +    1/CL  I=  ωV0συνωt

 

3. Εναλλασόμενο ρεύμα σε κύκλωμα R, L, C, σε σειρά

Ο  δεύτερος κανόνας του Kitchhoff     LdI/dt + q/C +IR = V0ημωt

Παραγωγίζουμε ως προς t.

d2I/dt2 +   R/L dI/dt +    1/CL  I=  ωV0συνωt