Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Η σκοπιά της Επιστημολογίας και η σκοπιά της Διδακτικής

1. Η κατεδάφιση

2. Οι εν Ελλάδι περιπέτειες της έννοιας ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ.

Το ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ στο εσωτερικό της έννοιας ΚΥΜΑ.

3. Η έννοια ΚΑΘΕΤΗ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ. Η εμπειρία και η Γεωμετρία.

4. Το κέντρο μάζας είναι ΣΗΜΕΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ

5. Η τρυφερή ιστορία της ΕΥΘΕΙΑΣ και του ΚΥΚΛΟΥ

Ξέρεις, Σιμπλίτσιο ο filosofo geometra που θέλει να αναγνωρίσει στο συγκεκριμένο τα αποτελέσματα που έχει αποδείξει στο αφηρημένο, πρέπει να αφαιρέσει τα υλικά εμπόδια

Galileo Galilei, Διάλογος πάνω σε δύο νέα συστήματα

«Un filosofo geometra ». Αυτή την απάντηση δίνει ο δάσκαλός μας ο Γαλιλαίος σε όποιον τον ρωτάει «τι ακριβώς είσαι;». Κατά την «ανάκριση» της φύσης την οποία επιχειρεί χρησιμοποιεί ένα σωρό γεωμετρικά αντικείμενα. Μολονότι καμιά ευκλείδεια ευθεία δεν διασχίζει τη ζωή του, εντούτοις θα τη χρησιμοποιήσει ώστε μαζί με τον μετρούμενο χρόνο να οδηγηθεί στην περιγραφή της κίνησης. Με αυτόν τον τρόπο η ερευνητική διεργασία γεμίζει με ευθείες, οι οποίες, μαζί με τους κύκλους, τα σημεία και τις επιφάνειες, τονίζουν την παρουσία της «πλατωνικής» γεωμετρίας στο καινούργιο παιχνίδι. Η περιγραφή της κίνησης γίνεται ένα «τανγκό» της Γεωμετρίας με τον Χρόνο που ολοκληρώνεται πριν κάνει την εμφάνισή της στο πάρτυ η έννοια αδράνεια.

Στον δρόμο που είχε πλέον ανοιχτεί, περπάτησε -μερικές δεκαετίες αργότερα- ο Ισαάκ Νεύτων. Μία όμως συγκεκριμένη διατύπωσή του δεν έχει φωτιστεί όσο θα της άξιζε. Ας την φωτίσουμε:

Οι αρχαίοι έκαναν διάκριση ανάμεσα στη Γεωμετρία και στη Μηχανική.

Η μία ήταν ορθολογική και αφηρημένη

η άλλη είχε να κάνει με τις χειρωνακτικές τέχνες

Μέσα από το έργο του η παλιά διάκριση -από δω η Γεωμετρία από κει η Μηχανική- κατεδαφίστηκε για οικοδομηθεί η νέα Φυσική. Εξ άλλου καθώς ξεφυλλίζεις το τα 245 σχήματα των βιβλίων Ι και ΙΙ με τις παράλληλες ευθείες, με τους κύκλους, με τις ελλείψεις, με τις σφαίρες, με τα επίπεδα και με τις σχετικές αποδείξεις σου δημιουργείται η εντύπωση ότι έχεις ανοίξει ένα βιβλίο Γεωμετρίας. Το γεγονός είναι ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου και η Αναλυτική Γεωμετρία του Καρτέσιου βρίσκονται από τότε εγκατεστημένες στο εσωτερικό της Φυσικής.

Η οικοδόμηση φυσικών εννοιών όπως η κατακόρυφος, η πιέζουσα δύναμη και το μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού καθώς και η επινόηση μοντέλων όπως το υλικό σημείο και το σημειακό φορτίο πραγματοποιήθηκε μέσα από μία «συγκρυστάλλωση» Γεωμετρίας και εκλογικευμένης εμπειρίας.

Αλλά και στη σύγχρονη φυσική του δικού μας σήμερα κατά την αναζήτηση μιας Θεωρίας των Πάντων η παρουσία της έννοιας υπερσυμμετρία και του χώρου των δέκα διαστάσεων καθώς και η αντίληψη ότι τα στοιχειώδη αντικείμενα του Κόσμου μας θα μπορούσε να μην είναι σημειακά αλλά να έχουν τη μορφή μιας χορδής κάνει τη «συγκρυστάλλωση» του εμπειρικού και του γεωμετρικού στοιχείου ιδιαίτερα αισθητή.

Στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης γνωστικά αντικείμενα των ελληνικών Προγραμμάτων Σπουδών όπως η ευθύγραμμη και η κυκλική τροχιά, οι έννοιες ταχύτητα, γωνιακή ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη και ορμή, ο κανόνας του παραλληλογράμμου, το θεώρημα των ροπών, το κεκλιμένο επίπεδο οι έννοιες φωτεινή ακτίνα, γωνία προσπτώσεως, γωνία ανακλάσεως και γωνία διαθλάσεως της γεωμετρικής οπτικής, η περιγραφή των δυνάμεων Laplace και Lorentz, τα γεωμετρικά στοιχεία ενός αντιστάτη και ενός επίπεδου πυκνωτή, η ανάλυση μιας δύναμης σε συνιστώσες, το θεώρημα Steiner, οι έννοιες του πεδίου, οι έννοιες του κύματος η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων, και η έννοια κέντρο μάζας συνιστούν «συναντήσεις» του εμπειρικού δεδομένου είτε με τη Γεωμετρία του επιπέδου είτε με τη Γεωμετρία του χώρου ενώ η εξέλιξη φαινομένων όπως οι ευθύγραμμες κινήσεις και οι θερμοδυναμικές διεργασίες περιγράφεται με γραφικές παραστάσεις μέσα από ειδικά σημαινόμενα.

Η έννοια η οποία στη γλώσσα μας συνήθως αποδίδεται με τον όρο ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ έκανε την αποσαφηνισμένη εμφάνισή της στο έργο του Νεύτωνα, με τη σημασία ενός υλικού αντικειμένου με αδράνεια αλλά με διαστάσεις γεωμετρικού σημείου.

α. Isaac Newton. BODY, CORPUSCLE και PARTICLE.

Ο Νεύτων στις πρώτες σελίδες των Principia¹ το αποκαλεί body. Το ότι οι διαστάσεις του πρέπει να αγνοηθούν υποδηλώνεται από το γεγονός ότι «οι τροχιές των ποικίλων κινήσεων είναι γραμμές». Αργότερα προκειμένου να περιγράψει την έλξη ενός αμελητέων διαστάσεων αντικειμένου από σφαιρικό αντικείμενο με διαστάσεις (σελ. 193-210) το αμελητέων διαστάσεων αντικείμενο το αποκαλεί corpuscle δίνοντας έμφαση στη «γεωμετρική σημειακότητά του». Στο επόμενο section XIII (σελ. 214) θεωρεί ότι το με διαστάσεις αντικείμενο αποτελείται από particles στα οποία εμφανώς αποδίδει γεωμετρική σημειακότητα.

β. Το γαλλικό POINT MATERIEL και οι άλλοι.

Στη δική μας γλωσσική παράδοση η συγκεκριμένη έννοια αποκαλείται ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ.

Ο όρος – όπως και πολλοί άλλοι στη γλώσσα της φυσικής- έχει επικρατήσει λόγω της ιδιαίτερης επίδρασης που έχει ασκήσει -στην ελληνική γλώσσα- στο ζήτημα της διαμόρφωσης των επιστημονικών εννοιών η γαλλική γλωσσική παράδοση.

Στη γαλλική γλώσσα λέγεται POINT MATERIEL. Στην ίδια παράδοση κινούνται και οι άλλες λατινικές γλώσσες. Οι Ιταλοί το λένε PUNTO MATERIALE , οι Ισπανοί PUNTO MATERIALE, οι Πορτογάλοι PΟNTO MATERIALE, και οι Ρουμάνοι PUNCTUL MATERIAL.

Παρόμοια γλωσσική θεώρηση –της λογικής του ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ- εμφανίζεται στη σερβική - MATERIJALNA TACKA -και στη ρωσική γλώσσα, στην οποία ο όρος είναι Материальной тоуки (ματεριαλίνιο τόικα).

Η γλωσσική αυτή θεώρηση δεν υπάρχει στις άλλες γλώσσες. Οι Γερμανοί «έπλασαν» την καταλληλότερη ίσως λέξη, MASSEPUNKT, την οποία θα μπορούσαμε να την αποδώσουμε με το σημειακή μάζα. Στις Ηνωμένες Πολιτείες η έννοια εμφανίζεται είτε ως PARTICLE, είτε ως OBJECT, είτε ως POINT OBJECT.

γ. ΕΝΝΟΙΑΚΕΣ ΣΥΓΧΥΣΕΙΣ.

Πρώτη εννοιακή σύγχυση. ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ

Το ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ συγχέεται με την έννοια ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ στις συνειδήσεις κυρίως των μαθητών και όχι μόνον εκεί. Για τη σύγχυση που εμφανίζεται στους διδασκόμενους μεγάλο μέρος της ευθύνης ανήκει στη ίδια τη γλώσσα (και τα δύο αποκαλούνται ΣΗΜΕΙΑ) αλλά ένα μέρος πρέπει να αποδοθεί και σε μας τους διδάσκοντες αλλά και στους συγγραφείς σχολικών «βοηθημάτων». Και δεν είναι μόνο τα σχολικά βοηθήματα. Σε εγκεκριμένο σχολικό εγχειρίδιο διαβάζουμε:

«Έτσι η διαταραχή διαδίδεται από τη μία περιοχή του υλικού στην άλλη και όλα ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ εκτελούν διαδοχικά την ίδια κίνηση» . «Να επισημάνουμε τη διάκριση ανάμεσα στην ταχύτητα του κύματος που είναι σταθερή και στην ταχύτητα με την οποία κινούνται ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ, που δεν είναι σταθερή»

Δεύτερη εννοιακή σύγχυση. ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ και ΜΟΡΙΟ.

Η εννοιακή αυτή σύγχυση κάνει την εμφάνισή της συνήθως κατά την περιγραφή των εννοιών ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ και ΚΥΜΑ. Η έννοια ΚΥΜΑ περιγράφεται ως διεργασία διάδοσης μιας διαταραχής, η οποία θα μπορούσε να είναι ταλάντωση. Το ερώτημα είναι «Ποιος εκτελεί ταλάντωση; Ποιο είναι το υποκείμενο της κίνησης;». Ας διερευνήσουμε πώς εμφανίζεται η απάντηση στα ελληνικά διδακτικά βιβλία τα τελευταία σαράντα χρόνια:

Θεωρούμε σειράν σφαιρών, αι οποίαι συνδέονται μεταξύ των δι ελατηρίων. . . . Για να κατανοήσουμε τον μηχανισμόν θεωρουμε σειράν ΥΛΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ, α, β, γ, συνδεδεμένων μεταξύ των και ισορροπούντων επί ευθείας γραμμής (Κ. ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ, Γενική Φυσική , 1960)

Ας θεωρήσουμε ελαστικόν σώμα του οποίου τα ΥΛΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ είναι όμοια μεταξύ των. Εάν ένα ΥΛΙΚΟΝ ΣΗΜΕΙΟΝ του σώματος τούτου εκτελή αρμονικήν ταλάντωσιν, τότε η κίνησις του σημείου Α προκαλεί διατάραξιν προς τα γειτονικά προς το σημείον Α υλικά σημεία. (ΑΛΚ. ΜΑΖΗΣ, Φυσική 1960)

Σε ένα στερεό ελαστικό σώμα όλα ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ, δηλαδή ΤΑ ΜΟΡΙΑ ΤΟΥ , είναι όμοια μεταξύ τους και καθένα από αυτά συνδέεται με δυνάμεις ελαστικότητας (μοριακές δυνάμεις). Αν ένα μόριο Α του σώματος εκτελεί αρμονική ταλάντωση τότε όλα τα μόρια γύρω από το μόριο Α αναγκάζονται να εκτελέσουν ( ΑΛΚ. ΜΑΖΗΣ, Φυσική Γ΄Λυκείου , 1979)

Μεταφέρεται μηχανική ενέργεια από ΣΗΜΕΙΟ σε ΣΗΜΕΙΟ του μέσου χωρίς να γίνεται μεταφορά ύλης. Δηλαδή τα ΜΟΡΙΑ του μέσου παραμένουν στη θέση τους και ταλαντώνονται γύρω από τη θέση της ισορροπίας τους, ενώ η ενέργεια και η ορμή τους μεταφέρονται από το ένα ΜΟΡΙΟ στο άλλο (Φυσική Γ΄ Λυκείου, 1986)

Τόσο τα στερεά όσο και τα υγρά και τα αέρια σώματα μπορούν να θεωρηθούν –και είναι – συστήματα πολλών ΣΩΜΑΤΙΩΝ (ΑΤΟΜΩΝ, ΜΟΡΙΩΝ). Σε κάθε περίπτωση αν στα σωμάτια ασκηθεί παροδικά η περιοδικά κάποια δύναμη ή αυτά διεγερθούν ενεργειακά από κάποιο εξωτερικό αίτιο, είναι δυνατόν να κινηθούν λιγότερο ή περισσότερο και πέραν της αέναης θερμικής τους κίνησης, γύρω από τη θέση την οποία κατείχαν τη στιγμή της διέγερσης και μάλιστα να «παρασύρουν» σε κίνηση τα γειτονικά τους. ( Φυσική, 1995)

Αν προκληθεί μία διαταραχή σε ένα υλικό που ηρεμεί (ισορροπεί), ΤΑ ΜΟΡΙΑ του, στην περιοχή που προκλήθηκε η διαταραχή μετατοπίζονται από τις θέσεις ισορροπίας τους. Επειδή όμως ΤΑ ΜΟΡΙΑ αυτά αλληλεπιδρούν με τα γειτονικά τους . . Έτσι η διαταραχή διαδίδεται από τη μία περιοχή του υλικού στην άλλη και όλα ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ εκτελούν διαδοχικά την ίδια κίνηση. (Φυσική 2001)

Η δική μας άποψη.

Για να περιγράψουμε τη διάδοση της διαταραχής σε μηχανικό κύμα θα χρειαστεί

να ξεκινήσουμε παρουσιάζοντας με υλικά αντικείμενα² (σφαιρίδια συνδεδεμένα με ελατήρια, είτε με σπείρες ενός ελατηρίου ή «τμήματα κάποιου ελατηρίου) τα οποία, ενεργοποιούμενα, πάλλονται το ένα μετά το άλλο και στη συνέχεια

να παρουσιάσουμε τη θεωρητική προσέγγιση του ζητήματος.

Για να κατανοήσουμε όμως –πριν απ’ όλα εμείς οι διδάσκοντες- το ζήτημα θα χρειαστεί να αντικρίσουμε τα συμβαίνοντα έτσι που το βλέμμα μας να περιέχει και στοιχεία από τη ματιά ενός ΓΕΩΜΕΤΡΗ. Στον δρόμο λοιπόν που χάραξε ο Νεύτων χρησιμοποιούμε ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΝΟΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ στο οποίο θα διαδοθεί το ελαστικό κύμα.

Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο, το ελαστικό μέσο συγκροτείται από ΥΛΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ. Κάθε ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ «κατοικεί» στιγμιαία ή διαρκώς σε ένα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ σημείο του χώρου.

Ειδικά στο μοντέλο του ελαστικού μέσου ΚΑΘΕ ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ και το ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ σημείο στο οποίο κατοικεί –πριν από τη διάδοση του κύματος- είναι η θέση της ευσταθούς ισορροπίας του.

Με άλλα λόγια το ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ το θεωρούμε ως σύνολο υλικών σημείων καθένα από τα οποία «συνδέεται» με τα υπόλοιπα έτσι ώστε ΕΑΝ οποιοδήποτε ενεργοποιηθεί, οι δυνάμεις που θα ασκούνται από τα υπόλοιπα να τείνουν να το επαναφέρουν στη θέση της ευσταθούς ισορροπίας του. Το ίδιο αυτό μοντέλο του ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ το χρησιμοποιούμε και για να περιγράψουμε το κύμα στη γλώσσα των μαθηματικών.

Μία υπόθεση

Οι εννοιακές αυτές συγχύσεις – «ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΔΗΛΑΔΗ ΜΟΡΙΟ» και «ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΔΗΛΑΔΗ ΜΟΡΙΟ» - δεν εμφανίζονται σε όσους καταφεύγουν σε γερμανικές ή σε γαλλικές πηγές. Οι Γερμανοί διαθέτουν τον όρο massepunkt για το ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ και τον elementarteilchen προκειμένου για στοιχειώδη σωμάτια, ενώ οι Γάλλοι έχουν αντίστοιχα το point materiel και το particules elementaires

Ο Αλεξόπουλος –ίσως λόγω γερμανικής γλώσσας- είναι απόλυτα σαφής στην έννοια ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ.

Κατά την άποψή μας, οι σχετικές συγχύσεις οι οποίες εξακολουθούν να υφίστανται έχουν την αιτία τους στην έλλειψη σημασιακής αποσαφήνισης του αγγλικού όρου PARTICLE τον οποίον κάποιοι κάποτε μετέφρασαν ως ΜΟΡΙΟ, μολονότι στη γλώσσα της επιστήμης ο όρος ΜΟΡΙΟ είναι ο αντίστοιχος του αγγλικού MOLECULE.

Και αυτό, μολονότι το ζήτημα έχει αποσαφηνιστεί από τη δεκαετία του 60. Οι Resnick και Halliday δηλώνουν με σαφήνεια τι ακριβώς θεωρούν με τον όρο PARTICLE , ένα δηλαδή αντικείμενο –με οσοδήποτε μεγάλη ή μικρή μάζα- τις διαστάσεις του οποίου μπορούμε να αγνοήσουμε. Σε κάθε χρονική στιγμή είναι μόνιμος ή προσωρινός κάτοικος ενός ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ του ευκλείδειου χώρου Mathematically, a PARTICLE is treated as a point, an object without extent³.

Πέραν όμως αυτού τόσο η ποιοτική όσο και η μαθηματική περιγραφή της έννοιας κύμα δεν έχει ανάγκη την προσφυγή στον Μικρόκοσμο και στις οντότητες άτομο και μόριο . Ας μην ξεχνάμε ότι η γνωστή εξίσωση των κυμάτων, την οποία χρησιμοποίησε και ο Maxwell, οικοδομήθηκε πολύ πριν επικρατήσει η ατομική θεωρία.

Είναι χαρακτηριστικό ότι σε συγκεκριμένο σχολικό βοήθημα (Παλόγος κ.α. σελ. 334, εκδ. Γκρίντζαλης, 2002) ζητείται από τους μαθητές να υπολογίσουν την ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ. Τι συμβαίνει τέλος πάντων με το ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ;

Το κέντρο μάζας έχει ή δεν έχει ορμή; Έχει ή δεν έχει κινητική ενέργεια;

Εξυπηρετεί τους διδακτικούς μας στόχους το να λέμε ότι «το βάρος ασκείται στο κέντρο βάρους;»

Τι θα μπορούσαμε να προτείνουμε για τη διδασκαλία του γνωστικών αυτών αντικειμένων;

Χρειάζεται κατά την άποψή μας

α. Να προηγηθεί μία παρουσίαση με στόχο την διάκριση των εννοιών ΣΗΜΕΙΟ και ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ και τον περιορισμό της υφιστάμενης εννοιακής σύγχυσης και

β. Να ακολουθήσει μία οργανωμένη οικοδόμηση της έννοιας ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ.

α. Εννοιακή διάκριση

Η έννοια ΣΗΜΕΙΟ είναι γεωμετρική έννοια αναφερόμενη στο χώρο. Το μοναδικό στοιχείο ταυτότητας είναι η θέση του, η οποία προσδιορίζεται με τις τρεις συντεταγμένες ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Από τη σκοπιά της διδακτικής είναι προτιμότερο να το χαρακτηρίζουμε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ. Εφόσον η θέση ενός γεωμετρικού σημείου ορίζεται βάσει μιας λογικής συμφωνίας θεμελιωμένης σε φυσικούς νόμους έτσι ώστε κατά το κύλημα του χρόνου η θέση αυτή να μεταβάλλεται μπορούμε να δεχθούμε και τις έννοιες «μετακίνηση ενός γεωμετρικού σημείου», «ταχύτητα ενός γεωμετρικού σημείου» και «επιτάχυνση ενός γεωμετρικού σημείου» όχι όμως τις έννοιες ορμή, στροφορμή και κινητική ενέργεια ενός γεωμετρικού σημείου».

Η έννοια ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ είναι έννοια της φυσικής. Υποδηλώνει «αντικείμενο με συγκεκριμένη αδράνεια (άρα και μια οσοδήποτε μεγάλη ή μικρή μάζα) του οποίου τις διαστάσεις μπορούμε να αγνοήσουμε». Κάθε χρονική στιγμή «κατοικεί» σε κάποιο γεωμετρικό σημείο (η θέση του δηλαδή είναι η θέση του γεωμετρικού αυτού σημείου) και εκτός από ταχύτητα και επιτάχυνση, έχει ορμή, στροφορμή, κινητική ενέργεια και δυναμική ενέργεια. Καλύτερα να το λέμε ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ. Για ένα υλικό σημείο μπορούμε να πούμε ότι –ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς- έχει, εκτός από ταχύτητα και επιτάχυνση, και ΟΡΜΗ και ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ και ότι σε ένα τέτοιο αντικείμενο είναι δυνατόν να ασκούνται δυνάμεις, όπως και είναι δυνατόν να μεταβιβάζεται ενέργεια, ενώ αυτά δεν μπορεί να συμβαίνει για ένα γεωμετρικό σημείο.

β. Εννοιακή οικοδόμηση

Μπορούμε να θεωρήσουμε το σώμα (σύστημα) -μάζας Μ- ως ένα σύνολο υλικών σημείων μαζών m₁ , m₂, m₃ , …. m_ν, έτσι ώστε m₁ + m₂ +m₃ , …. +m_ν= Μ . Σε καθένα από αυτά, το πεδίο βαρύτητας ασκεί την αντίστοιχη δύναμη ‘’βάρος’’ . Η δύναμη ‘’ Βάρος του σώματος’’ (Μg) είναι η συνισταμένη όλων αυτών των δυνάμεων. Το ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ του σώματος είναι ένα «γεωμετρικό σημείο» από το οποίο διέρχεται ο φορέας – γεωμετρική ευθεία- της δύναμης «Βάρος του σώματος» έτσι ώστε η ροπή της ως προς οποιοδήποτε σημείο θα είναι ίση με την ολική ροπή των βαρών όλων των υλικών σημείων. Αν επιλέξουμε έναν οριζόντιο άξονα -έτσι ώστε όλες οι ροπές να είναι θετικές- θα ισχύει

m₁gx₁ + m₂gx₂ +m₃gx₃ , …. +m_νgx_ν = Μgx_ΚΒ άρα m₁x₁ + m₂x₂ +m₃x₃ , …. + m_νx_ν = Μx_ΚΒ

Η θέση του, γενικότερα, προσδιορίζεται από τις εξισώσεις

x_ΚΒ= Σm_Ix_I / Μ y_ΚΒ= Σm_Iy_I / Μ z_ΚΒ= Σm_Iz_I / Μ

Το κέντρο μάζας.

α. Το ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ‘’κέντρο μάζας⁴ ενός συστήματος ’’κινείται ΟΠΩΣ ένα ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ με μάζα ίση με τη μάζα του συστήματος στο οποίο υποθέτουμε ότι ΑΣΚΟΥΝΤΑΙ όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα .

β. Ισχύει F=ma_cm , όπου F η συνισταμένη των ασκουμένων εξωτερικών δυνάμεων, m η ολική μάζα του συστήματος και a_cm η επιτάχυνση του γεωμετρικού σημείου ‘’κέντρο μάζας’’

γ. Η ορμή του συστήματος είναι ίση με το γινόμενο της ολικής μάζας επί την ταχύτητα του κέντρου μάζας. Εάν συνεπώς σε ένα σύστημα δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις, ορμή του διατηρείται σταθερή και το γεωμετρικό σημείο ‘’κέντρο μάζας’’ μετακινείται με σταθερή ταχύτητα

Είτε πρόκειται για στερεό σώμα είτε για σύστημα σωμάτων, το οποίο βρίσκονται σε ομογενές πεδίο βαρύτητας, το γεωμετρικό σημείο κέντρο μάζας συμπίπτει με το γεωμετρικό σημείο ‘’κέντρο βάρους’’. Η θέση του συνεπώς προσδιορίζεται με τις ίδιες εξισώσεις. Εάν το σώμα (ή το σύστημα) βρεθεί σε ανομοιογενές πεδίο βαρύτητας το κέντρο βάρους θα είναι ένα άλλο γεωμετρικό σημείο. Εάν το σώμα (ή το σύστημα) βρεθεί εκτός πεδίου βαρύτητας το κέντρο βάρους δεν υπάρχει ως έννοια. Αντίθετα η θέση του κέντρου μάζας θα είναι πάντα η ίδια ανεξάρτητα από την παρουσία πεδίου βαρύτητας

α. Η έννοια ‘’επιφάνεια ενός αντικειμένου’’.

Εφόσον ένα αντικείμενο έχει σχήμα αισθητηριακά προσδιορίσιμο τα «σύνορά του» με το υπόλοιπο Σύμπαν γεννούν στη σκέψη μας εικόνες επιφάνειας. Ας μην ξεχνάμε τόσο το ότι η σκέψη μας έχει ανατραφεί με Γεωμετρία όσο και αυτό που έλεγε ο Πάμπλο Πικάσο ότι «ενίοτε βλέπουμε όχι αυτό που βλέπουμε αλλά αυτό που ξέρουμε». Οι ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ – όπως και τα ΣΗΜΕΙΑ και οι ΓΡΑΜΜΕΣ- δεν είναι φυσικά αντικείμενα και ο Νεύτων μας έχει προειδοποιήσει «να μη συγχέουμε τον γεωμετρικό χώρο με τον χώρο της αισθητηριακής εμπειρίας» ( Στη Φιλοσοφία πρέπει να κάνουμε αφαίρεση από τα αισθητηριακά δεδομένα⁵ ) . Αποδίδοντας στην πάνω πλευρά ενός τραπεζιού μία ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ και υποθέτοντες ότι σε κάθε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ μπορούμε να αποδίδουμε μία και μόνο ΚΑΘΕΤΟ συνειδητοποιούμε ότι επιχειρούμε μία σύζευξη του ΑΙΣΘΗΤΗΡΙΑΚΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΟΥ με τη ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, παίζουμε το παιχνίδι που μας έμαθε ο Νεύτων, κάνουμε ΦΥΣΙΚΗ.

β. Η πράξη του ΣΠΡΩΧΝΩ και η ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ της

Η οικοδόμηση της έννοιας ΔΥΝΑΜΗ έχει ως πρωταρχικό θεμέλιο τις εμπειρίες του ‘’τραβάω’’ και του ΄σπρώχνω’’. Από κει και πέρα βέβαια μέχρι να φθάσουμε στην έννοια την οποία μας προτείνει η Φυσική υπάρχουν δύσβατα μονοπάτια αφαίρεσης.

Η πράξη του «σπρώχνω» -και η εννοιακώς ισοδύναμη πράξη του «πιέζω»- παριστάνεται στη Φυσική με μία συγκεκριμένη ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Καθώς ένα αντικείμενο Α σπρώχνει ένα άλλο αντικείμενο Β (ΕΜΠΕΙΡΙΑ) θεωρούμε τη (γεωμετρική) επιφάνεια του Α στην περιοχή στης επαφής και περιγράφουμε το γεγονός με μία δύναμη. Η «σπρώχνουσα» αυτή δύναμη παριστάνεται με ένα διάνυσμα ΚΑΘΕΤΟ στη γεωμετρική επιφάνεια και κατευθυνόμενο προς το σώμα στο οποίο ασκείται. Αυτό ακριβώς συμβαίνει με τη λεγόμενη ΚΑΘΕΤΗ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ, με την πιέζουσα δύναμη που ασκεί ένα υγρό ή ένα αέριο στο τοίχωμα του δοχείου ή στην επιφάνεια οποιουδήποτε επισκέπτη αλλά και σε κάθε περίπτωση με δύο αντικείμενα που αλληλοσυμπιέζονται.

Πρόκειται για ΕΝΑΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΤΟΥ ΕΜΠΕΙΡΙΚΟΥ ΔΕΔΟΜΕΝΟΥ , ΓΙΑ ΜΙΑ ΑΦΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΣΕ ΚΑΙΝΟΥΡΙΕΣ ΔΟΜΕΣ ΣΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ ΣΥΜΜΕΤΕΧΕΙ ΚΑΙ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

γ. Η σκοπιά της Διδακτικής.

Από τη σκοπιά της Διδακτικής πρέπει να επισημάνουμε ότι :

α. Ο χαρακτηρισμός ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ οδηγεί ενίοτε τους διδασκόμενους σε εννοιακές συγχύσεις σχετιζόμενες με τον νόμο δράσης κα αντίδρασης. Ο όρος «κατάγεται» -και αυτός- από τον αντίστοιχο γαλλικό Réaction normale , στη λογική του οποίου κινούνται τόσο οι Ισπανοί με το Reacción normal όσο και οι Πορτογάλοι με το Reacção normal. Στο USA χρησιμοποιείται το Normal force, στη Σουηδία το αντίστοιχο Normalkraft και στη Γερμανία το Anpreßkraft. Οι Ιταλοί για την περίπτωση που πρόκειται για στήριξη ενός αντικειμένου αποκαλούν την αντίστοιχη δύναμη Reazione vincolare

β. Η κατανόηση της έννοιας κάθετη αντίδραση ως διδακτικός στόχος, δεν επιτυγχάνεται μέσα από τη διδασκαλία κάποιου συγκεκριμένου πειράματος. Μπορούμε ωστόσο να συμβάλουμε στην προσέγγισή του, έστω μερικώς, ξεκινώντας με ένα αληθινό αντικείμενο πάνω σε αληθινό τραπέζι και να ζητήσουμε από τους διδασκόμενους να σχηματοποιήσουν το γεγονός της ισορροπίας και να σημειώσουν τις δυνάμεις που ασκούνται στο αντικείμενο. Η όλη διαδικασία μέσα από λογικές διαδρομές που περιέχουν και τον νόμο της αδράνειας θα μπορούσε να οδηγήσει σε καθοδηγούμενη ανακάλυψη. Από κει και πέρα μπορούμε να γενικεύσουμε καλώντας τους διδασκόμενους να χρησιμοποιήσουν τη συγκεκριμένη αναπαράσταση και σε άλλα προβλήματα και να διαπιστώσουν ότι στην ερμηνεία ορισμένων γεγονότων αποδεικνύεται αποτελεσματική

[

Είτε ως Ιδέα-χλωρίδα του συνειδησιακού μας βυθού (όπως θα έλεγε ο Ντεκάρτ) είτε ως ιζηματογενές πέτρωμα του βυθού μας (όπως θα ισχυριζόταν ο Λοκ) η Ευθεία απετέλεσε μαζί με τον Κύκλο το βασικό δομικό υλικό το οποίο η ανθρώπινη νοησιακή δραστηριότητα έφερε ως «ορυκτό» στην επιφάνεια για να κτίσει με αυτό Γεωμετρία Ευκλείδεια μέσα σε κοινωνία ελληνόφωνη Αλεξανδρινή.

Δεκαεννέα αιώνες αργότερα ο Γαλιλαίος οικοδόμησε μία Επιστήμη για την Περιγραφή της Κίνησης πάνω στην πεποίθηση ότι το βιβλίο της Κίνησης είναι γραμμένο στη γλώσσα των κύκλων και των ευθειών. Τα δύο «χωρίς καθόλου πάχος» αόρατα πλάσματα του ανθρώπινου βυθού, το καθησυχαστικά ίσιο και το απόλυτα στρογγυλό, έγιναν οι βασικοί χαρακτήρες στο αλφάβητο της νεογέννητης τότε Κινηματικής.

Στους αιώνες που ακολούθησαν, σε όλα τα σχολεία του κόσμου, -στην Ταιβάν, στην Ισλανδία, στη Νιγηρία, στη Νέα Ζηλανδία, στο Βέλγιο- η διδασκαλία της Κινηματικής ξεκινάει με την περιγραφή της ευθύγραμμης κίνησης και ολοκληρώνεται με εκείνη της κυκλικής. Στο εσωτερικό εκατομμυρίων σχολικών αιθουσών οι δύο μορφές κίνησης συγκατοικούν, συνομιλούν, συντίθενται.

Παράλληλα η τρυφερή ιστορία της Ευθείας και του Κύκλου στο θέατρο της κοινωνικής εμπειρίας παίζεται καθημερινά-και επί αιώνες- μέσα σε σχολικές αίθουσες ως μάθημα Γεωμετρίας, με εκείνην να τον αγγίζει, να τον διασχίζει και να αφήνει κομμάτια της μέσα στο σώμα του τα οποία στο έργο λέγονται χορδές. Ο χάρακας συνεργάζεται με τον διαβήτη, έτσι ώστε τα σχεδιάσματα να μπορούν να θυμίζουν τις δύο αόρατες γραμμές τις οποίες δισεκατομμύρια άνθρωποι-μαθητές χρησιμοποίησαν για να γυμνάσουν την αφαιρετική πτυχή της σκέψης τους.

Και η συνεργασία των δύο αυτών ξεχωριστών αυτών γραμμών δεν σημάδεψε μόνο την οικοδόμηση της Κινηματικής. Διακόσια περίπου χρόνια το εγχείρημα του Γαλιλαίου, αμέσως μετά το πείραμα του Έρστεντ, όταν οι Γάλλοι φυσικοί της δεκαετίας του 1820 – ο Αμπέρ, ο Μπιό, ο Αραγκό- θέλησαν να περιγράψουν την τοπογραφία του μαγνητικού πεδίου κατέφυγαν στα δύο αυτά γεωμετρικά αρχέτυπα. Ξεκίνησαν με την τοπογραφία του μαγνητικού πεδίου ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ρευματοφόρου αγωγού ο οποίος και συνέχισαν με το μαγνητικό πεδίο ΚΥΚΛΙΚΟΥ ρευματοφόρου αγωγού. Τα δύο δηλαδή βασικά γεωμετρικά αρχέτυπα καθοδήγησαν τη σκέψη τους. Και μία από τι ς πρώτες φάνηκε ότι οι δυναμικές γραμμές στην περίπτωση που ο αγωγός είναι ευθύγραμμός έχουν σχήμα ΚΥΚΛΩΝ που «κρικώνουν» τον αγωγό, ενώ στη δεύτερη περίπτωση που η πηγή του μαγνητικού πεδίου είναι σύνολο κυκλικών αγωγών σε παράλληλα επίπεδα οι δυναμικές γραμμές είναι ΕΥΘΕΙΕΣ, το πεδίο είναι ομογενές. Ένα ξεχωριστό παιχνίδι της ευθείας και του κύκλου φαινόταν να παίζεται για μία ακόμη φορά.

Παραπομπές

1. Οι σελίδες αναφέρονται στην αγγλική βέβαια μετάφραση του Andrew Motte –1729- και στην αναθεωρημένη από τον Florian Cajori έκδοση του University of California Press, USA , 1934,

2. Οι Άγγλοι λόγου χάριν – κινούμενοι βέβαια στην παραδοσιακή γραμμή του αγγλικού εμπειρισμού- στα πέντε από τα έξι σχολικά βιβλία τα οποία ερευνήσαμε παρουσιάζουν το ζήτημα με υλικά αντικείμενα

Individual coils move back and forth (Physics, Cambridge, ENGLAND)

Each bit of the spring is only vibrating ( Keith Johnson, ENGLAND)

Each coil of the spring moves back and forth (Physics , Nuffield, ENGLAND)

Each coil moves from side to side ( Physics, Oxford, ENGLAND)

The coils vibrate in a different direction (Physics, Longman, ENGLAND)

The PARTICLES of the material do not move (Physics, Collins , ENGLAND)

3. R. Resnick – D. Halliday, Physics, 1960, ed. John Willey, p.32

4. Είναι χαρακτηριστικό ότι οι Γάλλοι το αποκαλούν Centre d' inertie το οποίο στα ελληνικά θα το αποδίδαμε ΚΕΝΤΡΟ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

5. Principia, βιβλίο Ι, ορισμός 6, Σχόλιο