Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Το φαινόμενο aρμονική ταλάντωση

στα Αναλυτικά προγράμματα

Ευρωπαϊκών χωρών .

Συμπεράσματα από τα σχολικά βιβλία.

Η εργασία που παρουσιάζω παρακάτω είναι αποτέλεσμα μιας απόπειρας η οποία γίνεται για πρώτη φορά. Το όλο εγχείρημα σχετίζεται με την αξιοποίηση μιας σειράς από σαράντα περίπου

σχολικά εγχειρίδια φυσικής τα οποία παρέμεναν – διατήρηση της μάζας και διατήρηση της ενέργειας - κυρίως ως συλλεκτικό είδος στη βιβλιοθήκη μου. Ορισμένα από αυτά τα απέκτησα σε ταξίδια στο Παρίσι, στη Λειψία, στο Λονδίνο και στη Φλωρεντία ως πελάτης αντίστοιχων βιβλιοπωλείων. Τα περισσότερα όμως προέρχονται από φίλους, όπως ο Παύλος Τζαμαλής που «βρήκε» ο FIZIKA za višse škole από τη Σερβία, ο Άγγελος Μπάτρης που «βρήκε» το PHYSICA 2000 από τη Σουηδία και το FYSIIKAN από τη Φιλανδία, η Τατιάνα που έφερε από τη Μόσχα το ФИЗИКА 9 και πρόσφατα ο Γιώργος Φασουλόπουλος που αγόρασε σε βιβλιοπωλείο της Πράγας το FYSIKA ΙΙ και μου το δάνεισε.

ΙΤΑΛΙΑ, ΣΕΡΒΙΑ και ΠΟΡΤΟΓΑΛΙΑ

1. ΙΤΑΛΙΑ ITALIA

FISICA per moduli Giuseppe Ruffo εκδ. Zannicelli, Bologna

Περιληπτικά

Το φαινόμενο διδάσκεται σε τρία διαφορετικά κεφάλαια

Α. Στο κεφάλαιο περί κινήσων μετά την ομαλή κυκλική και πριν την παραβολική

1. Ομαλή κυκλική κίνηση και η προβολή σε διάμετρο του κύκλου. Περιγραφή της κίνησης

2. Ο ορισμός της Αρμονικής Κίνησης s = r cos (ωt

4. Η εστίαση στην επιτάχυνση a = - ω²s

[

Β. Στο κεφάλαιο το αναφερόμενο στην έννοια ΔΥΝΑΜΗ,

μετά τους νόμους της κίνησης.

Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ .

5. Σώμα στο άκρο ελατηρίου . Ο νόμος του Hooke. F = -ks.

6. Το μοντέλο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. Oscillator armonico

Η περίοδος του αρμονικού ταλαντωτή

7. Το απλό εκκρεμές . Η περίοδος του εκκρεμούς.

Γ. Στο κεφάλαιο το αναφερόμενο στην έννοια ΕΝΕΡΓΕΙΑ

8. Η έννοια δυναμική ενέργεια και η θέση ευσταθούς ισορροπίας .

9. Η ελαστική δυναμική ενέργεια . Η ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή .

ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ

	Σελ. C 50 Il moto di una proiezione Consideriamo un punto P que si muove di moto circolare su una circoferenza uniforme di raggio r. Indiciamo con Q la proiezione di P sul diametro ( figura 1b) . Osserviamo che on tempi uguali il punto P percorre archi uguali, ma il punto Q percorre distanze disuguali.Infatti anche se P1P2 è uguale a P2P3, Q1Q2 è diverso da Q3Q4 . Perco il moto di Q e un moto vario. In un periodo T il punto P percorre l’ interna circoferenza. Nello stesso tempo il punto Q fa un’ oscillazione pompleta : in mezzo periodo si sposta da A verso B , poi ripassa per il centro O e torna di nuovo in A.	Η κίνηση μιας προβολής Θεωρούμε ένα σημείο Ρ σε ομαλή κυκλική κίνηση σε περιφέρεια ακτίνας r. Ενδιαφερόμαστε για το σημείο Q , την προβολή του Ρ σε μία διάμετρο. Παρατηρούμε ότι σε ίσους χρόνους το σημείο Ρ διατρέχει ίσα τόξα, αλλά το σημείο Q διατρέχει διαστήματα διαφορετικά. Πράγματι μολονότι το P1P2 είναι ίσο με το P2P3, το Q1Q2 είναι διαφορετικό από το Q3Q4 . Γι αυτό η κίνηση του Q είναι μια κίνηση μεταβολλόμενη. Σε μία περίοδο Τ το σημείο Ρ διατρέχει την περιφέρεια. Στον ίδιο χρόνο το εκτελεί μια πλήρη ταλάντωση. Σε μισή περίοδο μετακινείται από το Α προς στο Β, στη συνέχεια ξαναπερνά από το κέντρο Ο και επιστρέφει εκ νέου στο Α.
	La definizione di moto armonico l moto della proiezione su un diametro di un punto P che si muove di moto circolare uniforme si dice moto armonico. Il centro dell’ oscillazione è un punto Ο, centro de la circoferenza. L’ ampiezza del moto è la massima distanza dal centro di oscillazione . Il moto armonico è un moto periodico uguale a quello del moto circolare uniforme. Questo tipo di moto é assai importante e trova numerosi applicazioni della fisica. Per esempio, le onde sonore e le ondi luminose vengono studiare in termini di moto armonico.	Ο ΟΡΙΣΜΟΣ της αρμονικής κίνησης. Η κίνηση της προβολής ενός σημείου Ρ –που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση - σε μία διάμετρο, λέγεται αρμονική κίνηση . Το κέντρο της ταλάντωσης είναι ένα σημείο Ο, κέντρο του κύκλου . Το πλάτος της κίνησης είναι η μέγιστη απόσταση από το κέντρο της ταλάντωσης. Η αρμονική κίνηση είναι μια περιοδική κίνηση παρόμοια σε αυτό με την ομαλή κυκλική κίνηση. Αυτή η μορφή κίνησης είναι αρκετά ενδιαφέρουσα και βρίσκει πολυάριθμες εφαρμογές στη Φυσική. Για παράδειγμα τα ηχητικά κύματα και τα φωτεινά κύματα θα μελετηθούν με όρους αρμονικής κίνησης.
	Le legge oraria del moto armonico. Come si puo determinate la posizione del punto P in un instante t ? Supponiamo che, all’ instante t = 0 P e Q coincidono con il punto A, che si trova alla distanza r dal centro dello circoferenza. Al tempo generico t, il punto P ha percorso un arco è il raggio ha descritto un angolo a . La distanca di Q dal centro è uguale a OQ, cateto del triangolo rettangolo OPQ. OQ = OP cos(a). Poichè OP è il raggio di della circoferenza e OQ rapresenta lo spostamento s di Q al tempo t , possiamo scrivere : s = r cos(a) . Se il moto di P è uniforme , vale la proposizione : a/2π = t/T dove t è il tempo impiegato per descrivere l’ angolo a . Ricaviamo quindi la valore di a = 2πt/T . Poicé ω è uguale a 2π/T si ottiene a = ωt . Sostituendo nella formula dello spostimento , si trova s = r cos (ωt) Questa formula rappresenta la legge oraria del moto armonico. La rappresentazione grafica	Ο «χρονικός» νόμος της αρμονικής κίνησης Πώς μπορεί να προσδιοριστεί η θέση του σημείου Ρ σε κάποια χρονική στιγμή ; Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή t = 0 το P και το Q συμπίπτουν με το σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο του κύκλου. Σε δεδομένη χρονική στιγμή το σημείο Ρ έχει διατρέξει ένα τόξο και η ακτίνα έχει διαγράψει μία γωνία α . Η απόσταση του Q από το κέντρο του κύκλου είναι ίση με OQ, κάθετη πλευρά στο ορθογώνιο τρίγωνο OPQ. OQ = OP cos(a) . Εφόσον η ΟΡ είναι η ακτίνα του κύκλου και το OQ παριστάνει τη μετατόπιση s του Q σε χρόνο tempo t , μπορουμε να γράψουμε : s = r cos(a) . Εάν η κίνηση του Ρ είναι ομαλή ισχύει η αναλογία a/2π = t/T όπου t είναι ο χρόνος που απαιτήθηκε για να διαγραφεί η γωνία α . Θεωρούμε την τιμή α = 2πt/T . Εφόσον ω είναι ίσο με 2πt/T παίρνουμε α = ωt . Αντικαθιστώντες στη σχέση της μετατόπισης βρίσκουμε s = r cos (ωt). Η σχέση αυτή αντιπροσωπεύει τον χρονικο νόμο της αρμονικής κίνησης Η γραφική παράσταση
Σελ. D 20 L’ OSCILLATORE ARMONICO		Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ .
Nella figura 1a una pallina de massa m è attaccata all’ estremo libero di una molla , mentre l’ altro estremo è vincolato, cioè fissato s um corpo di massa molto grande, come per esempio un muto o un tavolo. Se, in assenza di attrito , allunghiamo la molla di un tratto s rispeto alla sua posizione di equilibro e poi la lasciamo libera nel punto A , la pallina oscilla tra A e B , un punto anch’ esso distante s da O , ma dalla parte opposta rispetto ad A . La pallina passa per il punto O con la velocita massima , arriva in B, si ferme e inverte il suo moto. Se l’ attrito e trascurabile , la pallina oscilla indefinivamente fra i due punti . Responsabile del moto oscillatorio e la forza di richiamo della molla , che si oppone sempre allo spostamento del suo esterno libero. La forza di richiamo e data dalla legge di Hooke : F = -ks dove k è la constante della molla e s è lo spostamento misutato a partire dal punto di equilibrio O. La forza F è direttamentr proporzionale allo spostamento s ; la sua intensità è massima nei punti A e B dove lo spostamento è nullo. Inoltre la forza si oppone sempre allo spostamento . Si puo dimostrare che il poto armonico prodotto da una forza che soddisfa queste consizioni è eun moto armonico. Perci ó il moto della pallina è un moto armonico.		Στο σχήμα 1 η μπίλια μάζας m προσδένεται στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακινητοποιημένο, έχει δηλαδή προδεθεί σε ένα σωμα πολύ μεγάλης μάζας, όπως ένας τοίχος ή ένα τραπέζι. Εφόσον, απουσία τριβής, επιμηκύνουμε το ελατήριο έτσι ώστε η μπίλια να βρεθεί σε απόσταση s σε σχέση με τη θέση ισορροπίας και στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο στο σημείο Α , η μπίλια θα παλινδρομήσει ανάμεσα σε Α και Β , σημείο που απέχει επίσης s πό το Ο αλλά βρίσκεται από την απένταντι πλευρά . Η μπίλια περνά από σημείο Ο με μέγιστη ταχύτητα, φθάνει στο σημείο Β, σταματά στιγμιαία και αλλάζει κατεύθυνση κίνησης. Εάν η τριβή είναι αμελητέα, η μπίλια ταλαντεύεται απεριόριστα ανάμεσα στις δύο θέσεις. Υπεύθυνη για την ταλάντωση είναι η δύναμη επαναφοράς του ελατηρίου η οποία αντιτίθεται πάντα προς τη μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας . Η δύναμη επαναφοράς δίνεται από τον νόμο του Hooke : F = -ks όπου k είναι η σταθερά του ελατηρίου και s η μετατόπιση μετρούμενη με αφετηρία το σημείο ισορροπίας . Η δύναμη F είναι ευθέως ανάλογη προς τη μετατόπιση s. Το δικό της μέτρο είναι μέγιστο στα σημεία Α και Β όπου η μετατόπιση είναι μέγιστη σε απόλυτη τιμή και είναι μηδέν στο σημείο Ο όπου η μετατόπιση είναι μηδέν. Επίσης η δύναμη είναι πάντα αντίθετη σε κατεύθυνση από τη μετατόπιση . Μπορεί να αποδειχθεί ότι η κίνηση που διαμορφώνεται από μια δύναμη η οποία ικανοποιεί αυτή την προυπόθεση είναι μία κίνηση αρμονική. Συνεπώς η κίνηση της μπίλιας είναι μια κίνηση αρμονική
Il periodo dell’ oscillatore armonico L’ Ocillazione di un pendolo Il periodo del pendolo.		Η περίοδος ενός αρμονικού ταλαντωτή. Η ταλάντωση ενός εκκρεμούς. Η περίοδος ενός εκκρεμούς.
Σελ. D 76 La definizione di energia elastica. Transformatzioni di energia cinetica in elastica e viceversa L’ energia meccanica di on oscilallatore armonico.		O ορισμός της ελαστικής ενέργειας . Μετασχηματισμοί της κινητικής ενέργειας σε ελαστική και αντίστροφα. Η μηχανική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή.

2. ΣΕΡΒΙΑ СРБИЈА

FIZIKA za višse škole

HARMONIJSKE OSCILACIJE ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Περιληπτικά

1. ΟΡΙΣΜΟΣ . Κάθε ταλάντωση υπό την επίδραση μιας μόνο δύναμης η οποία είναι ανάλογη προς την elongaciji

και κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας λέγεται ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.

2. ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ και ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ.

Η κίνηση της προβολής . Το πείραμα της ΣΚΙΑΣ

y = Rsinφ y = Rsinωt y =Rsin2πt/Τ y = Rsin2πft.
Βλέπουμε ότι η αρμονική ταλάντωση περιγράφεται με νόμο ημιτόνου.

3. ΤΑΧΥΤΗΤΑ, ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

v = dy / dt = ωRcosωt. a = dv / dt = - ω²Rsinωt
4. Ο ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ «σώμα – οριζόντιο ελατήριο» .

ΔΥΝΑΜΗ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ Resituciona sila Νομος του Hooke. Νόμος του Newton

Η δύναμη επαναφοράς (F_r) – ή ελαστική δύναμη - είναι η δύναμη που διατηρεί το σώμα σε αρμονική ταλάντωση.

Στην περίπτωση της κίνησης στο άκρο ελατηρίου η δύναμη που ασκείται στο ελατήριο είναι - σύμφωνα με τον νόμο του Hooke

- ανάλογη προς την μεταβολή μήκους F = ky οπότε για την αντίθετης κατεύθυνσης δύναμη επαναφοράς ισχύει F = - ky.

Για την αρμονική ταλάντωση μπορούμε να εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα . F = ma = -mω²y = - ky .

5. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ . Η έμφαση στη ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ
Ελεύθερη ειναι η ταλάντωση σε περίπτωση που το αρχικά ακίνητο σώμα ενεργοποιηθηκε και αφέθηκε να κινηθεί .

Η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ με την οποία ταλαντεύεται το σώμα είναι μια «δική του συχνότητα» ( ν_s),

η οποία δεν μεταβάλλεται στο κύλημα του χρόνου και είναι ιδια ακόμα κι αν αλλάξει το πλάτος.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ

Το κείμενο όπως είναι στο βιβλίο – με χαρακτήρες λατινικούς	Απόδοση στα ελληνικά
ΣΕΛ 32. HARMONIJSKE OSCILACIJE Oscilacije koje se dešavaju pod dejstvom samo jedne sile koja je proporcionalna elongaciji, a usmerena prema ravnotežnom položaju nazivaju se harmonijske oscilacije. Posmatraćemo ravnomerno kretanje materijalne tačke po krugu poluprečnika R (sl.24) Neka se materijalna tačka kreće suprotno skazaljci na časovniku konstantnom ugaonom brzinom ω . Njena projekcija na y-osu M΄ vrši harmonijsko oscilovanje položaja O. Amplitudina tačke M΄ jednaka je poluprečniku kruga R , a elongcija y, kao sto se sa slike vidi, predstavljena je jednačinom : y = Rsinφ (3.32) . Period kretanja materijalne tačke T , ugaona φ i broj obrtanja u jednici vremena v povezani su sledicim relacijama φ = ωt = 2π/Τ t Pa se formula (3.32) moze napisati i u obliku. y = Rsinωt y = Rsin2πt/Τ y = Rsin2πft . Vidimo da se harmonijske oscilacije opisuju sinusnim zakonom . Faza oscilovanja φ = ω t je argument trigonometrijske funkcije u jednačini harmonijskog kretanja . Njen fizički smisao u tome što ona odreduje pomeraj tačke u bilo kom trenutku. Drugim rečima, odreduje stanje oscilatornog sistema. Brzina kretanja tačke M je , kao što smo ranije rekli, promenljiva i moze se definisati kao puta (pomeraja ) po vremenu : v = dy/dt = ωRcosωt. a = dv/dt = - ω^2Rsinωt	ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Κάθε ταλάντωση υπό την επίδραση μιας μόνο δύναμης η οποία είναι ανάλογη προς την elongaciji και κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας λέγεται ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ. Ένα υλικό σημείο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R . Ας υποθέσουμε ότι κινείται με την αντίθετη φορά από εκείνη των δεικτών του ρολογιού με γωνιακή ταχύτητα ω . Η προβολή του M στον άξονα y εκτελεί αρμονική ταλάντωση περί τη θέση Ο. Το πλάτος της κίνησης του Μ είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου και για την elongacija y –απομάκρυνση – y όπως φαίνεται στο σχήμα ισχύει y = Rsinφ (3.32). Αν είναι Τ η περίοδος T της κίνησης του υλικού σημείου και ν η συχνότητα η σχέση για τη γωνία φ θα ειναι φ = ωt = 2π / Τ t . Έτσι η σχέση (3.32) μπορεί να γραφεί με τη μορφή y = Rsinωt y =Rsin2π/Τt y = Rsin2πft. Βλέπουμε ότι η αρμονική ταλάντωση περιγράφεται με νόμο ημιτόνου Η γωνία φ = ωt στην τριγωνομετρική συνάρτηση είναι η φάση της ταλάντωσης. Η φυσική της σημασία ειναι ότι περιγράφει ένα σημείο σε κάθε χρονική στιγμή. Με άλλα λόγια περιγράφει την κατάσταση του συστήματος σε κάθε στιγμή . Η ταχύτητα του σημείου Μ, όπως είπαμε προηγουμένως, είναι μεταβλητή και μπορεί να προσδιοριστεί v = dy / dt = ωRcosωt. Αντιστοιχα η επιτάχυνση a = dv / dt = - ω^2Rsinωt
RESITUCIONA SILA Za razliku od elongacije, amplitude, perioda, oscilovanja i drugih kinematičkih velicina , neophodno je kod harmonijskog kretanja proučiti i dinamičke velicine kao što su sila restitucije i energia Sila restitucije ( Fr ) ili elastična sila jeste sila koja održava prouzrokovane harmonijske oscilacije tela. Sila restitucije je sila reakcije u odnosu na sila deformacije kojom telo izvodimo iz ravnotežnog položaja . Pri tome mislimo na sistem telo-elastična opruga kada važi Hukov zakon duzinske deformacije. Sila deformacije srazmerna je elongaciji F = kydok je sila restitucije posledica deformacije pa ja pišemo u istom obliku sa znakom minus, zbog suprotnog smera dejstva: F = - ky Za harmonijske oscilacije ovu jednacitu treba izvesti na taj nacin što se sila daje proizvodom mase i ubrzanja na osnovu II Njutnovog zakona , kada je to ubrzanje on koje ima telo koje harmonijski osciluje . F = ma = -mω^2y - = - ky. Konstanta k , kako se iz prethodne jednačine vidi , zamenjuje proizvod kvadrata kružne frekvencije i mase tela , pa mozemo sledeću telaciju ; k = ω^2m.	ΔΥΝΑΜΗ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ Εκτός από τη θέση, το πλάτος, την περίοδο και άλλα στοιχεία κινηματικά, είναι αναγκαίο στην αρμονική κίνηση και στοιχεία να εξετάσουμε από τη σκοπιά της δυναμικής, όπως η δύναμη επαναφοράς . Η δύναμη επαναφοράς (Fr) – ή ελαστική δύναμη - είναι η δύναμη που διατηρεί το σώμα σε αρμονική ταλάντωση. Στην περίπτωση της κίνησης στο άκρο ελατηρίου η δύναμη επαναφοράς είναι αντίδραση της δύναμης που παραμορφώνει το ελατήριο κατευθυνόμενη από τη θέση ισορροπίας προς το σώμα. Φέρνουμε στο μυαλό μας το σύστημα ελατήριο-σώμα και εφαρμόζουμε τον νόμο του Hooke. Η δύναμη που ασκείται στο ελατήριο είναι - σύμφωνα με τον νόμο - ανάλογη προς την μεταβολή μήκους F = ky οπότε για την αντίθετης κατεύθυνσης δύναμη επαναφοράς ισχύει F = - ky. Για την αρμονική ταλάντωση μπορούμε να εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα . F = ma =-mω^2y = - ky . Η σταθερά k όπως φαίνεται από την προηγούμενη εξίσωση αντικαθιστά το γινόμενο mω^2 και στη συνέχεια θα θεωρούμε k = mω^2 .

OSCILACIJE JEDNOG TELA MOGU biti slobodne ili prinudne , zavisno od toga da li telo ostavimo samo de osciluje ili ga , pak , prinudujemo periodičnom silom da to čini. Slobodne oscilacije imamo u onim slučajevima kada telo , izvedeno iz ravnotežnog položaja , pustimo da samo osciluje . Frekvencija sa kojom telo osciluje zove se sopstvena frekvencija ( νs) , koja se tokom vremena ne menja . All se zato, menja amplituda , s obzirom da su oscilacije u takvim Slučajevima uvek amortizovane Prinudne oscilacije vrši telo u slučaju kada deluje spolja periodična sila. Tada je frekvencija oscilatora jednaka frekvenciji koju ima periodična sila i koja prinuduje telo da osciluje istom frekvencijom. Otuda i naziv prinunda frekvencija. Takve prinudne oscilacije vrši klip parne mašine usled dejstva pare na klip u cilindru. Drugi priper imano kod zvučnika , gde membrana vrši prinudne oscilacije u ritmu oscilacija electrične struje koja prolazi kroz namotaje elktromagneta. Mogu se navesti i mnogi drugi primeri

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ και ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ταλαντώσεις Η ταλάντωση ενός σώματος μπορεί να είναι ελεύθερη ή εξαναγκασμένη. Αυτό εξαρτάται από το εάν το σώμα , από τη στιγμή που ενεργοποιήθηκε, αφέθηκε να κινηθεί ελέυθερο ή επιδρούσε σε αυτό κάποια δύναμη περιοδικά . Ελεύθερη ειναι η ταλάντωση σε περίπτωση που το αρχικά ακίνητο σώμα ενεργοποιηθηκε και αφέθηκε να κινηθεί . Η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ με την οποία ταλαντεύεται το σώμα είναι μια «δική του συχνότητα» (νs), η οποία δεν μεταβάλλεται στο κύλημα του χρόνου και είναι ιδια ακόμα κι αν αλλάξει το πλάτος. Εξαναγκασμένη είναι η ταλάντωση όταν επιδρά σε αυτό άλλη εξωτερική δύναμη εκτός απο τη δύναμη επαναφοράς. Τοτε η ταλάντωση γίνεται με συχνότητα ίση με τη συχνότητα της περιοδικά ασκούμενης αυτής δύναμης, απόπου και ο όρος prinunda συχνότητα Τέτοια εξαναγκασμένη ταλάντωση εκτελεί το πιστόνι της μηχανής ατμού στο κύλινδρο. Εξαναγκασμένη ταλάντωση εκτελεί και η μεμβράνη του μικροφώνου στον ρυθμό της ταλάντωσης του ηλεκτρικού ρέυματος που διαρρέει το πηνίο.

3. ΠΟΡΤΟΓΑΛΙΑ PORTUGAL

Física para o 12o ano de Escolare

Alcina do Aido και άλλοι. Εκδ. Livraria sa da Costa , Lisboa

movimento harmónico simples ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Περιληπτικά

1. Το φαινόμενο ταλάντωση και η σύγκριση με το φαινόμενο ομαλή κυκλική κίνηση . Παραδείγματα ταλαντώσεων. Η προβολή σε διάμετρο του κύκλου. Το αντικείμενο ταλαντωτής .

2. Η αναφορά σε κέντρο μάζας του ταλαντωτή.

Το φαινόμενο ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ.

Το αντικείμενο/μοντέλο ΑΠΛΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ.

Oscillador harmónico simples

Ο ορισμός του φαινομένου με βάση τη δύναμη επαναφοράς | F_t| = k|s|

3. Ο νόμος του Newton. H διαφορική εξίσωση d²s/dt² = -k/m s .

4. Οι εξισώσεις κίνησης. Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση s = Asen(ωt + φ)

ικανοποιεί την εξίσωση d²s/dt² = -k/m s .

5. Το απλό εκκρεμές . Η περίοδος. Απόδειξη της Τ = 2π√l/g

6. Η συνάρτηση υ = ωΑcos (ωt+φ) ως ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ της s = Asen(ωt + φ).

Αντίστοιχα και η συνάρτηση της επιτάχυνσης.

7. Ομαλή κυκλική κίνηση και η αρμονική ταλάντωση ως κίνηση της ΠΡΟΒΟΛΗΣ

8. Η ιδιαίτερη σημασία της μελέτης του απλού αρμονικού ταλαντωτή έγκειται στο γεγονός ότι

η οποιαδήποτε περιοδική παλμική κίνηση, μη ημιτονοειδής, μπορεί να θεωρηθεί

ότι προέρχεται από την υπέρθεση ενός ορισμένου αριθμού απλών αρμονικών κινήσεων συχνοτήτων f, 2f.. kf

9. Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ

movimento harmónico simples	Απόδοση στα ελληνικά Απλή αρμονική κίνηση
Noção de oscillador Além do movimento uniforme e circular, que é um movimento periódico effectuatto sempre no mesmo sentido, há outros movimentos periódicos como o movimento da projecção, sobre um diâmetro do movimento circular, de um pêndulo gravítico, de um pêndulo elástico (fig.1-11), que mudam periodicamente de sentido para um e outro lado de uma posiçao de equilibro. Estes movimentos periodicos dizem-se oscilatorios ou vibratorios e os sistemas que os efectuam denominam osciladores	Η έννοια ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Εκτός από την ομαλή κυκλική κίνηση η οποία πραγματοποιείται ως περιοδική κίνηση προς την ιδια πάντα «φορά περιφοράς», υπάρχουν και άλλες περιοδικές κινήσεις όπως η κίνηση της προβολής σε μια διάμετρο του διαγραφόμενου κύκλου, η κίνηση απλού εκρεμμούς, η κίνηση ελαστικού εκκρεμούς ( σώματος στο άκρο ελατηρίου) κατά τις οποίες η κατεύθυνση της κίνησης αλλάζει περιοδικά και από τις δύο πλευρές εκατέρωθεν της θέσης ισοροπίας. Οι περιοδικές αυτές κινήσεις λέγονται ταλαντώσεις και τα συστήματα που τις εκτελούν λέγονται ταλαντωτές
Noção de oscillador harmónico simples Quando o centro de massa de um oscillador se encontra numa posição qualquer a que corresponde a abcissa s relativamente à sua posição de equilíbrio, o oscilador està sujeito a acção de um sistema de forças que tende a levà-lo à posição de equilíbrio. Se la resultante for tal que a sua componente Ft na direcção do movimento, além de estar sempre orientada para a posição de equilíbrio do oscilador, tiver modulo proporcional ao modulo da elongação | Ft| = k|s|, dis-se que o oscilador é um oscillador hamónico simples e o movimento oscilatório se que està animado chama-se movimento harmónico simples ou movimento vibratorio simples . Para estabelecer a lei di movimento harmónico simples partimos da relação a = -k/m s. Recordando que a = dυ/dt e υ = ds/dt podemos escrever : d2s/dt2 = -k/m s.(1) Pode-se demonstrar que lo expressão s = Asen(ωt + φ) satisfaz à equação (1	Η έννοια ΑΠΛΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ . Όταν το κέντρο μάζας ενός ταλαντωτή βρίσκεται σε μια οποιαδηποτε θέση που αντιστοιχεί σε τετμημένη s σε σχέση με τη δική του θέση ισορροπίας, ο ταλαντωτής υπόκειται στην επίδραση ενος συνόλου δυνάμεων που τείνουν να τον επαναφέρουν στη θέση ισορροπίας. Αν η συνισταμένη των δυνάμεων αυτών έχει συνιστώσα Ft κατευθυνόμενη διαρκώς προς τη θέση ισορροπίας του ταλαντωτή με μέτρο ανάλογο προς την απόσταση s από τη θέση ισορροπίας | Ft| = k|s| ο ταλαντωτής λέγεται αρμονικός και η κίνησή του ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ή απλή παλμική κίνηση. Μπορούμε να οικοδομήσουμε έναν νόμο της απλής αρμονικής κίνησης βασιζόμενοι στη σχέση a = -k/m s. Ανακαλώντας στη μνήμη μας ότι a = dυ/dtκαι υ = ds/dt, μπορούμε να γράψουμε d^2s/dt^2 = -k/m s (1) . Αποδεικνυεται ότι η συνάρτηση s = Asen(ωt + φ) ικανοποιεί την εξίσωση (1).
Consideramos um oscilador harmónico simples, ponctual, cuja lei é traduzida pela expressão analítica s = Asen(ωt + φ) . A velocidade desse oscilador, em cada instante , é dada por υ = ds/dt, ou seja υ = ωAcos(ωt + φ) . Analogamente a aceleracão, em cada instante , é dada por a = dυ/dt, , ou seja a = - ω^2Asen(ωt + φ). Entrão a= - ω^2s. Comparando esta igualdade com a = - k/m. justifica-se que se admita ser ω^2 = k/m Projecçao do movimento cicular uniforme num diâmetro. Sela R uma particula com movimento unifrome e circular , et P a projecçao dessa partícula sombre um dos diâmetros da trajectoria . . . . s = Asena s = Asenωt . Pode, portanto afirmar-se que o movimento da projecçao, sombre um diâmetro de uma cirmumfêrencia, da um ponto material que percorre essa cirmumfêrencia con movimentro uniforme é um movimento harmónico simples. A importancia do estudio do movimento harmónico simples não se deve apenas ao facto de qualquer movimento vibratório periódico, não sinusoidal, de frequência f , poder ser considerado resultante da sobreposição de certo numero de movimentos harmónicos simples de frequêncisa f, 2f. . . kf	Θεωρούμε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή, σημειακό, του οποίου ο νόμος αποδίδεται με την αναλυτική έκφραση s = Asen(ωt + φ). Η ταχύτητα αυτού του ταλαντωτή , σε κάθε χρονική στιγμή αποδίδεται ως υ = ds/dt, οπότε υ = ωAcos (ωt + φ). Ανάλογα η επιτάχυνση, σε κάθε στιγμή δίνεται από την a = dυ /dt, οπότε a = - ω2Asen (ωt + φ). Προκεύπτει a = - ω^2s. Συγκρίνοντας την ισότητα με την a = - k / m δικαιώνεται η υπόθεση ότι ω^2 = k/m . Προβολή της ομαλής κυκλικής κίνησης σε μια διάμετρο . Ας είναι R ένα σωματίδιο με ομαλή κυκλική κίνηση και Ρ η προβολή του σε μια διάμετρο της τροχιάς . . . . s = Asena s = Asenωt . Μπορούμε συνεπώς να βεβαιώσουμε ότι η προβολή της κίνησης, σε μια διάμετρο, ενός υλικού σημείου το οποίο διατρέχει την περιφέρεια με ομαλή κίνηση είναι μία απλή αρμονική κίνηση . Η σημασία της μελέτης της απλής αρμονικής κίνησης έγκειται στο γεγονός ότι η οποιαδήποτε περιοδική παλμική κίνηση, μη ημιτονοειδής, μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από την υπέρθεση ενός ορισμένου αριθμού απλών αρμονικών κινήσεων συχνοτήτων f, 2f. . . kf.

Σε ΟΥΓΓΑΡΙΑ, ΣΟΥΗΔΙΑ και ΤΣΕΧΙΑ