Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

 

Το φαινόμενο Αρμονική ταλάντωση

στα Αναλυτικά προγράμματα

Ευρωπαϊκών χωρών .

Συμπεράσματα από τα σχολικά βιβλία. 

 

ΦΙΛΑΝΔΙΑ – ΠΟΛΩΝΙΑ  – ΡΩΣΙΑ

 

9. ΦΙΛΑΝΔΙΑ     SUOMI   

FYSIIKAN, Heikki Lehto–Tapani Luoma σελ. 84

harmoninen liike                 harmonisen värähtelyn   

ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ   Harmoninen värähtelijä

Harmoninen värähtelijä on fysiikassa järjestelmä, jossa kappaleeseen vaikuttaa harmoninen voima.

Harmonisessa värähtelijässä voiman suuruus on suoraan verrannollinen kappaleen

etäisyyteen tasapainoasemasta: F = -kx . k on jousivakio ja x poikkeama tasapainoasemasta

Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ είναι ένα σύστημα της Φυσικής, το οποίο υπόκειται στη δράση μιας αρμονικής δύναμης .

Η αρμονική δύναμη F είναι ευθέως ανάλογη προς την απόσταση από τη θέση ισορροπίας και έχει κατευθυνση προς τη θέση ισορροπίας: F = - kx,  k είναι η σταθερά επαναφοράς και x η poikkeama  από τη θέση ισορροπίας

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ . Mechaaninen energia säilyy värähdysliikkeessä, jos systeemi on eristetty ½ kA2 = ½ mv2 + ½kx2   missä  jousen potentiaalienergia on Ep = ½kx2   , A on amplitudini eli kappaleen suurin poikkeama tasapainoasemasta , v , on kappaleen nopeus etäisyydellä x tasapainoasemasta

Η  μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή εφόσον το σύστημα είναι eristetty ½ kA2 = ½ mv2 + ½kx2    όπου η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι Ep = ½kx2, Α είναι το πλάτος , μέγιστη απόσταση από τη θέση ισορροπίας , υ είναι η ταχύτητα σε θέση που απέχει x από τη θέση ισορροπίας

 

10. ΠΟΛΩΝΙΑ  POLSKA    

Περιληπτικά

Oscylatorze harmoniczym - Αρμονικός ταλαντωτής

Ruch drgający               Παλινδρομική κίνηση

1.  ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ.  Το μοντέλο «σώμα - οριζοντιο ελατήριο» . Η ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ .

Ο ΑΞΟΝΑΣ x και η Η ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ.  Η δυναμη επαναφοράς 

Ανάμεσα στις διάφορες θέσεις ενός ταλαντωτή είναι μία που ξεχωρίζει, αυτή στην οποία το ελατήριο

δεν είναι τεντωμένο ούτε συσπειρωμένο. Είναι η λεγόμενη θέση ισορροπίας.  Θεωρούμε

- με τη φαντασία μας- τον άξονα του ελατηρίου ως άξονα ενός συστήματος συντεταγμένων,

θα τον χρησιμοποιήσουμε για να περιγράψουμε τη θέση του κινουμένου σώματος μάζας m   F = - kx .

2. Ο ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ . Η  ασκούμενη στο σώμα δύναμη

εξαρτάται από τη θέση του σώματος και σε αυτή τη βάση παίζει τον ρόλο της .

Η κίνηση υπακούει στον δεύτερο νόμο της δυναμικής όπως εκφράζεται

 και από τη σχέση ma (t) = - kx (t)  η οποία δείχνει ότι τόσο η θέση όσο

και η ταχύτητα του σώματος μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου .

Η εξίσωση όπως αυτή λέγεται διαφορική εξίσωση .

Μπορούμε ωστόσο να οδηγηθούμε στις συναρτήσεις αυτές βασιζόμενοι στο παρακάτω

3. ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ . Η ΔΙΑΤΑΞΗ και η ΣΚΙΑ

Θα αποδείξουμε ότι η κίνηση ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι ίδια με την κίνηση της σκιάς

ενος καρουζέλ σε κατακόρυφη οθονη 

 Ειδικότερα: Για κάθε αρμονικό ταλαντωτή πρέπει να επιλέγουμε

 έναν κύκλο τέτοιο ώστε η ομαλή κίνηση ενός σώματος σε αυτόν

να έχει ως προβολή μια κίνηση

που θα συμπίπτει απόλυτα με την κίνηση του ταλαντωτή. 

 

ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ

FISYKA I ASTRONOMIA 1  Slavomir Brzezowski, εκδ. OPERON, 2005                             

  Oscylatorze harmoniczym

      Απόδοση στα ελληνικά

       Αρμονικός ταλαντωτής

Ruch drgający.

Wśród wszystkich polożeń oscylatora wyróżnijmy jedno – to, przy którym sprężyna nie jest napięta. Jest to tak zwane polożeńie równowagi . Wzdluż drutu ułóżmy  ( w wyobraźni ) oś liczbową, która spelni rolę ukladu  wspólrzędnych i posluży do opisu polożenia masy m. Polożeńiu równowagi przyporządkujemy wartośé wspólrzędnej  x = 0 . Wychyleniom w jedną stronę będą odpowiadaly wartości wspólrzędnej x > 0 . Wychyleniom w druga stronę - wartośé x < 0.   Poprawnie dzialającą, elastyczna sprężyna gwarantuje nam, że jej naprężenie  jest proporcjonalne do |x|, przy czym wartościom  x > 0 odpowiada  sila zworócona w ujemnym kierunku osi x , a  wartościom x < 0   – w dodatnim . Napiszemy więc , że  F = - kx

Znamy zależnośé sily dzialajatej na masę m od jej polożenia i na tej podstawie chcemi odtworzyé jej ruch.

Ruchem tym rządzi druga zasada dynamiki , wyrażone  równaniem:    ma(t) = - kx(t)  w którym zaznaczyliśmy, że zarówno  polożenie masy m, jak i jej przyspieszenie mogą zależeć od czasu . Rówania takie, jak to powyższe, nazywamy rówaniami rychu. Niewiadomymi  są  niezname na razie funkcje a(t) oraz x (t). 

Παλινδρομική κίνηση

Ανάμεσα στις διάφορες θέσεις ενός ταλαντωτή είναι μία που ξεχωρίζει, αυτή στην οποία το ελατήριο δεν είναι τεντωμένο ούτε συσπειρωμένο. Είναι η λεγόμενη θέση ισορροπίας.  Θεωρούμε - με τη φαντασία μας- τον άξονα του ελατηρίου ως άξονα ενός συστήματος συντεταγμένων, θα τον χρησιμοποιήσουμε για να περιγράψουμε τη θέση του κινουμένου σώματος μάζας m . Στη θέση  ισορροπίας σημειώνουμε την τετμημένη x = 0 .  Προς τη μία κατεύθυνση θα σημειώνουμε τις τιμές  x > 0  και προς την αντίθετη τις τιμές x < 0 .  Λειτουργώντας ελαστικά το ελατήριο μας βεβαιώνει ότι η δύναμη είναι ανάλογη προς την παραμόρφωση ενώ οι τιμές x > 0 αντιστοιχούν σε μια δύναμη επαναφοράς προς την αρνητική κατεύθυνση και οι τιμές  x < 0 αντιστοιχούν σε δύναμη επαναφοράς προς τη θετική κατεύθυνση. Έτσι γράφουμε F = - kx .

Διαπιστώνεται ότι η δύναμη η ασκούμενη στο σώμα δύναμη εξαρτάται από τη θέση του σώματος και σε αυτή τη βάση παίζει τον ρόλο της .

Η κίνηση υπακούει στον δεύτερο νόμο της δυναμικής όπως εκφράζεται και από τη σχέση ma(t) = - k x(t)  η οποία δείχνει ότι τόσο η θέση όσο και η ταχύτητα του σώματος μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου .

Η εξίσωση όπως αυτή λέγεται διαφορική εξίσωση και η λύση της που θα μας έδινε τις συναρτήσεις x (t) και  α(t) είναι προς το παρόν άγνωστη . 

Rozwiazemy to rówanie ( czyli znajdziemi ruch oscylatora opisany funkcją x(t) ) droga cokolwiek okrężną . Pokażemy, że ruch oscylatora harmonieznego jest podobny do ruchu cienia pasażera karuzeli z zadina 3 z zestawu po podrozdziale 1.9 .Dokladniej :

 że dla każdego poruszającego się oscylatora harmonieznego można dobraé taki ruch jednostanjy po okręgu,   aby rzut tego ruchu na prostą dokladnie pokrywal się z ruchem  oscylatora

Μπορούμε ωστόσο να οδηγηθούμε στις συναρτήσεις αυτές βασιζόμενοι στο παρακάτω . Θα αποδείξουμε ότι η κίνηση ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι ίδια με την κίνηση της σκιάς ενος καρουζέλ σε κατακόρυφη οθονη   Ειδικότερα: Για κάθε αρμονικό ταλαντωτή πρέπει να επιλέγουμε έναν κύκλο τέτοιο ώστε η ομαλή κίνηση ενός σώματος σε αυτόν να έχει ως προβολή μια κίνηση που θα συμπίπτει απόλυτα με την κίνηση του ταλαντωτή.       

 

11. ΡΩΣΙΑ       РОССИЯ   

ФИЗИКА  9 Н.Μ.ШАХΜАЕВ    С.Н.ШАХΜАЕВ  Д.Ш.ШОДИЕВ  ΣΕΛ. 199

  

  колебания    Ταλαντώσεις        

 

54. Пребращения сбедеиня о колебаниях

Εισαγωγικά για τις ταλαντώσεις  

1. колебательные системы              1. Ταλαντευόμενα συστήματα

2. СВОБОДНЫЕ  колебания                2. Ελεύθεροι ταλαντωτές

3. ОСЦИЛОГРАММА колебания      3. Καταγραφή της ταλάντωσης- Οσιλόγραμμα

 

55. гармонические колебания и величины,

их характеризующие

Οι αρμονικές ταλαντώσεις και τα φυσικά μεγέθη που τις χαρακτηρίζουν

1. величины характеризующие гармонические колебания

1. Φυσικά μεγέθη χαρακτηριστικά των αρμονικών ταλαντώσεων

Период и частота      Περίοδος και συχνότητα    Η μονάδα 1 герца ( χερτς)

2. ДИНАМИКА гармонических колебаний

2. Δυναμική αρμονικής ταλάντωσης     F = - kx

3. КИНЕМАТИКА гармонических колебаний

3. Κινηματική αρμονικής ταλάντωσης χωρίς ημιτονειδείς συναρτήσεις

4. Пребращения энергии колебаниях

4. Μετατροπές ενέργειας στις  ταλαντώσεις

кинетической энергии маятника    Κινητική ενέργεια εκκρεμούς ταλαντωτή

потенциальной энергии маятника  Δυναμική ενέργεια ταλαντωτή

Κινητική ενέργεια και δυναμική ενέργεια ταλαντωτή    ½ kx2 + ½ mυ2 = ½ kxm2

5. Период колебани маятника

5. Περίοδος ταλάντωσης εκκρεμούς

 математнческого маятника    μαθηματικό εκκρεμές      Τ= 2π√l/g

  пружинного маятника      ελαστικό εκκρεμές (με ελατήριο)   Τ= 2π√m/k

 

 

Μια συγκριτική παρουσίαση

και

η αρμονική κίνηση

σε βιβλία των ΗΠΑ αλλά για φοιτητές