Διπλασιασμός του κύβου -Απόδειξη Απολλωνίου
 

Παρακάτω  παρουσιάζουμε την απόδειξη που   έδωσε  ο  Απολλώνιος    στο πρόβλημα του διπλασιασμού  του κύβου.(Διαβάστε τις οδηγίες )
 

Άνοιγμα του applet σε νέο παράθυρο

Απόδειξη :

         Οι δυνάμεις  των σημείων  Μ  και Κ  ως προς τον κύκλο μας δίνουν τις σχέσεις
                                        ΜΑ·ΜΟ=ΜΒ·ΜΔ      και   ΚΓ·ΚΟ=ΚΔ·ΚΒ    (1).

  Τα  τμήματα  ΜΒ  και ΚΔ  είναι  ίσα (απόδειξη) άρα  και  τα  ΜΔ και  ΚΒ έτσι  τα δεύτερα μέλη των (1) είναι ίσα,  άρα και τα πρώτα  δηλ  ΜΑ·ΜΟ = ΚΓ·ΚΟ   άρα            (2).

Τα τρίγωνα  ΚΓΒ  και ΚΟΜ  είναι όμοια,  άρα                  (3)

Επίσης  τα τρίγωνα  ΜΑΒ  και ΜΟΚ είναι όμοια,  άρα        (4)

Τα  δεύτερα μέλη  των  (2),(3),(4)  είναι  ίσα,  άρα             .
Θέτουμε  ΓΚ=y  ,ΜΑ=x ,είναι και ΓΒ=2α  ,ΑΒ=α  και  η προηγούμενη σχέση  δίνει    

Δηλ  καταλήξαμε  στην αναλογία  του Ιπποκράτη και συνεπώς το ζητούμενο τμήμα είναι το ΜΑ
 

Βιβλιογραφία

Κεντρική σελίδα  

 

Η λύση του : Αρχύτα ,  Ευδόξου , Μεναίχμου,  Πλάτωνα , Ερατοσθένη, Νικομήδη, ΑπολλωνίουΉρωνα,
                 
Διοκλή, Πάππου,  Descartes