εικόνα τίτλου

Η εξίσωση αx + βy = γ

Έχουμε ήδη γνωρίσει εξισώσεις με ένα άγνωστο, όπως π.χ τις `2x+6=8, -3(x-3)+4=8`. Θα γνωρίσουμε τώρα εξισώσεις με δύο αγνώστους, όπως π.χ τις `-2x + 3y = 6 , 5x + 6y = 8, 2x + y =7`.
Οι εξισώσεις αυτές έχουν τη γενική μορφή αx + βy = γ, (1)
Η εξίσωση `-2x + 3y = 6` είναι της μορφής (1) με α = -2 , β = 3 και γ = 6. Η `2x + y =7` είναι της ίδιας μορφής με α = 2, β = 1 και γ = 7.

Για να λύσουμε μια τέτοια εξίσωση, π.χ την `-2x + 3y = 6`, πρέπει να βρούμε δύο αριθμούς, που όταν τους τοποθετήσουμε στη θέση των x και y και κάνουμε τις πράξεις να βρούμε τον αριθμό 6.
Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί x=0 και y=2 έχουν αυτή την ιδιότητα.
Πράγματι:   `2*0 + 3*2 = 0 + 6 =6`
Το ζεύγος των αριθμών (0 , 2) που επαληθεύει την εξίσωση `-2x + 3y = 6`, λέμε ότι είναι μια λύση της εξίσωσης.

Μπορούμε να βρούμε και άλλα ζεύγη αριθμών που να είναι λύσεις της εξίσωσης `-2x + 3y = 6`, δίνοντας μια οποιαδήποτε τιμή στο x και βρίσκοντας την αντίστοιχη τιμή του y.
Για `x=3 ` έχουμε: $$\begin{align} -2\cdot3 + 3\cdot y = &\,6 \qquad ή \\ -6 + 3\cdot y =&\, 6 \qquad ή \\ 3\cdot y =&\, 6+6 \qquad ή\\ 3\cdot y =&\, 12 \qquad ή\\ y =&\, 4 \end{align}$$ Άρα το ζεύγος (3,4) είναι μια λύση της εξίσωσης.
Τις λύσεις που θα βρίσκουμε μπορούμε να τις τοποθετήσουμε στον παρακάτω πίνακα.

X
Y

Δώστε στο x τις τιμές -3, 6, 1 ή δικές σας ακέραιες τιμές και συμπληρώστε τη γραμμή του X στον παραπάνω πίνακα. Μετά υπολογίστε την αντίστοιχη τιμή του Y και συμπληρώστε το αντίστοιχο κενό πλαίσιο. Μπορείτε να γράφετε ακέραιους αριθμούς ή κλάσματα με όρους ακεραίους π.χ -8/3 ή 5/6. Όταν συμπληρώσετε την τιμή του Y πατήστε Enter στο πληκτρολόγιο σας για έλεγχο της απάντησης.

Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων παραστήστε τα σημεία με συντεταγμένες τις λύσεις της εξίσωσης, δηλαδή τα Α(0,2),Β(3,4) καθώς και τα άλλα που ορίσατε.
Κάνετε κλικ στο μπουτόν "Εμφάνιση χάρακα" και κινώντας ή περιστρέφοντας τον χάρακα που θα εμφανισθεί, διαπιστώστε ότι τα παραπάνω σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία ε.
Μπορούμε να βρούμε πολλά ζεύγη αριθμών που να είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης και να τα παραστήσουμε στο παρακάτω σύστημα ώστε να σχεδιασθεί η ευθεία ε. Πατήστε το μπουτόν "Εισαγωγή εξίσωσης", γράψτε στο κενό πλαίσιο την εξίσωση `-2x+3y=6` με την οποία δουλεύουμε και πατήστε Enter.

π.χ Α(2,3), Β(-2,-4), Γ(4,-6/8)

π.χ 2*x+3*y=2, -2x+3y=3.
Με λατινικούς χαρακτήρες.

Xmin: Ymin:

Xmax: Ymax:

ΒήμαΧ: ΒήμαΥ:

Κάτω από το σύστημα βλέπουμε. Αριστερά το ζεύγος με τις συντεταγμένες του ποντικιού, μετά την τρέχουσα εξίσωση την οποία μπορούμε να αλλάξουμε από την λίστα στην "Επιλογή εξίσωσης". Στη συνέχεια, την τιμή της παράστασης που προκύπτει από την εξίσωση αν φέρουμε το δεύτερο μέλος της μπροστά, στην περίπτωση μας της `-2x+3y-6`, όπου στη θέση των x , y έχουμε τοποθετήσει τις συντεταγμένες του ποντικιού. Όταν εισάγουμε μια νέα εξίσωση γίνεται αμέσως τρέχουσα.

Αν κινήσουμε το ποντίκι πάνω στην ευθεία ε βλέπουμε ότι η παράσταση `-2x+3y-6` γίνεται ίση με μηδέν,δηλαδή η παράσταση`-2x+3y` γίνεται ίση με 6, άρα:
Οι συντεταγμένες κάθε σημείου της ευθείας ε είναι λύσεις της εξίσωσης `-2x+3y=6`
Back to Top