Αν μια συνάρτηση ειναι συνεχής σε ενα σημείο ${x_0}$ τότε ειναι παραγώγισιμη στο σημείο αυτό

Αν το όριο $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$ υπάρχει τότε η f ειναι παραγωγίσιμη στο ${{x_0}}$

Μια συνάρτηση που δεν είναι παραγωγίσιμη στο ${{x_0}}$ δεν είναι και συνεχής σ΄ αυτό

Μια συνάρτηση που δεν είναι συνεχής στο ${{x_0}}$ δεν θα είναι παραγωγισιμη σ΄αυτό.

Η συνάρτηση $f(x) = \sqrt[3]{{{x^4}}}$ δεν είναι παραγωγισιμη στο χ=0

Η συνάρτηση $f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}}$ δεν είναι παραγωγισιμη στο χ=0

Το πεδίο ορισμού της $f'$ είναι ίδιο με το πεδίο ορισμού της f

Για την παράγωγο $f'({x_0})$ ισχύει ότι $f'({x_0})$=εφω, όπου ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της Cf στο ${x_0}$ με τον άξονα χ΄χ

Η εφαπτομένη της Cf έχει μοναδικό κοινό σημείο με την Cf, το σημείο επαφής

${\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{x}$ για καθε $x \ne 0$

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει $f'(x) \ne 0$στο Δ, τότε η f είναι 1-1 στο Δ

Αν η f δεν είναι παράγωγισμη στο ${x_0}$, η g είναι παραγωγίσιμη στο ${x_0}$, τότε η $f \cdot g$ δεν είναι παράγωγισμη στο ${x_0}$

Αν στη γραφική παράσταση μια παραγωγίσιμης συνάρτησης, υπάρχουν τρια συνευθειακά σημεία, τότε θα υπάρχουν και δυο τουλάχιστον παράλληλες εφαπτομένες της Cf

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσμη στο [α, β] και f(α) = f(β), τότε η f΄ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β)

Αν η $f'$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) και η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β], τότε $f(a) = f(\beta )$

Αν $f'(x) = 0,\,\,\forall x \in (a,b) \cup (b,c)$ τότε η f είναι σταθερή στο $(a,b) \cup (b,c)$

Υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν παράγωγο ίση με το μηδέν σε όλο το πεδίο ορισμού τους και δεν είναι σταθερές

Αν $f'(x) < 0,\,\,\forall x \in [a,b]$, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,b]

Αν $f'(x) > 0,\,\,\forall x \in [a,b) \cup (b,c]$ και η f είναι συνεχής στο b, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, b]

Αν $f'(x) > 0,\,\,\forall x \in [a,b) \cup (b,c]$ και $f'(b) = 0$ , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, b]

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ${x_0}$ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ${x_0}$ και $f'({x_0}) = 0$ τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο ${x_0}$

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α,β] και ${x_0}$$\in$[α,β] στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο, τότε πάντα θα ισχύει $$f'({x_0}) = 0$$

Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο R και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x΄x. Αν υπάρχει κάποιο σημείο Α(x0, f(x0)) της Cf, του οποίου η απόσταση από τον άξονα x΄x είναι ελάχιστη τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της Cf είναι οριζόντια.

Μια συνάρτηση μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] χωρίς να είναι παραγωγίσιμη στο α ούτε στο β

Αν η συνάρτηση f ειναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και f(β) < f(α), τότε υπάρχει $\xi \in (a,\beta )$ ώστε $f'(\xi ) < 0$

Αν $f'(x) = g'(x),\,\,\forall x \in A$ τότε f(x)-g(x)=c $\forall x \in A$

Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι πάντα θέσεις τοπικών ακροτάτων

Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος ∆, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα ∆.

Στα κρίσιμα σημεία μια συνάρτησης περιλάμβανονται και τα άκρα του πεδίου ορισμού της, όταν η συνάρτηση ορίζεται σε αυτά.

Το σημείο Α (x0, f (x0)) είναι σημείο καμπής μιας συνάρτησης f, όταν η f ΄΄ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0.