Αν μια συνάρτηση ειναι συνεχής σε ενα σημείο \({x_0}\) τότε ειναι παραγώγισιμη στο σημείο αυτό

Αν το όριο \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}\) υπάρχει τότε η f ειναι παραγωγίσιμη στο \({{x_0}}\)

Μια συνάρτηση που δεν είναι παραγωγίσιμη στο \({{x_0}}\) δεν είναι και συνεχής σ΄ αυτό

Μια συνάρτηση που δεν είναι συνεχής στο \({{x_0}}\) δεν θα είναι παραγωγισιμη σ΄αυτό.

Η συνάρτηση \(f(x) = \sqrt[3]{{{x^4}}}\) δεν είναι παραγωγισιμη στο χ=0

Η συνάρτηση \(f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) δεν είναι παραγωγισιμη στο χ=0

Το πεδίο ορισμού της \(f'\) είναι ίδιο με το πεδίο ορισμού της f

Για την παράγωγο \(f'({x_0})\) ισχύει ότι \(f'({x_0})\)=εφω, όπου ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της Cf στο \({x_0}\) με τον άξονα χ΄χ

Η εφαπτομένη της Cf έχει μοναδικό κοινό σημείο με την Cf, το σημείο επαφής

\({\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\) για καθε \(x \ne 0\)

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει \(f'(x) \ne 0\)στο Δ, τότε η f είναι 1-1 στο Δ

Αν η f δεν είναι παράγωγισμη στο \({x_0}\), η g είναι παραγωγίσιμη στο \({x_0}\), τότε η \(f \cdot g\) δεν είναι παράγωγισμη στο \({x_0}\)

Αν στη γραφική παράσταση μια παραγωγίσιμης συνάρτησης, υπάρχουν τρια συνευθειακά σημεία, τότε θα υπάρχουν και δυο τουλάχιστον παράλληλες εφαπτομένες της Cf

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσμη στο [α, β] και f(α) = f(β), τότε η f΄ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β)

Αν η \(f'\) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) και η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β], τότε \(f(a) = f(\beta )\)

Αν \(f'(x) = 0,\,\,\forall x \in (a,b) \cup (b,c)\) τότε η f είναι σταθερή στο \((a,b) \cup (b,c)\)

Υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν παράγωγο ίση με το μηδέν σε όλο το πεδίο ορισμού τους και δεν είναι σταθερές

Αν \(f'(x) < 0,\,\,\forall x \in [a,b]\), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,b]

Αν \(f'(x) > 0,\,\,\forall x \in [a,b) \cup (b,c]\) και η f είναι συνεχής στο b, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, b]

Αν \(f'(x) > 0,\,\,\forall x \in [a,b) \cup (b,c]\) και \(f'(b) = 0\) , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, b]

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και \({x_0}\) ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο \({x_0}\) και \(f'({x_0}) = 0\) τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο \({x_0}\)

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α,β] και \({x_0}\)\( \in \)[α,β] στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο, τότε πάντα θα ισχύει \[f'({x_0}) = 0\]

Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο R και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x΄x. Αν υπάρχει κάποιο σημείο Α(x0, f(x0)) της Cf, του οποίου η απόσταση από τον άξονα x΄x είναι ελάχιστη τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της Cf είναι οριζόντια.

Μια συνάρτηση μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] χωρίς να είναι παραγωγίσιμη στο α ούτε στο β

Αν η συνάρτηση f ειναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και f(β) < f(α), τότε υπάρχει \(\xi \in (a,\beta )\) ώστε \(f'(\xi ) < 0\)

Αν \(f'(x) = g'(x),\,\,\forall x \in A\) τότε f(x)-g(x)=c \(\forall x \in A\)

Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι πάντα θέσεις τοπικών ακροτάτων

Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος ∆, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα ∆.

Στα κρίσιμα σημεία μια συνάρτησης περιλάμβανονται και τα άκρα του πεδίου ορισμού της, όταν η συνάρτηση ορίζεται σε αυτά.

Το σημείο Α (x0, f (x0)) είναι σημείο καμπής μιας συνάρτησης f, όταν η f ΄΄ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0.