ΕΙΔΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΚΛΑΔΟΥ ΠΕ 03 51-100

1 / 50

Σε ένα σενάριο που αφορά στη µελέτη της επίδοσης των µαθητών στη γλώσσα και στα µαθηµατικά έχετε φτιάξει σε ένα αρχείο Excel ένα πίνακα µε τα ονόµατα των µαθητών και την επίδοση τους στα µαθήµατα του σχολείου.
Περιγράψτε τη διαδικασία που θα ακολουθήσετε για να εισάγετε τον πίνακα αυτό στο λογισµικό «ταξινοµούµε» προκειµένου να τον επεξεργαστείτε. ( Επιλέξτε τη σωστή απάντηση):
- Αποθηκεύουµε το αρχείο στο Excel και το ανοίγουµε από την επιλογή «Βάση» - «Άνοιγµα»
- Αποθηκεύετε το αρχείο στο Excel ως αρχείο κειµένου (txt) και το ανοίγουµε από την επιλογή «Βάση» - «Άνοιγµα»
- Αποθηκεύετε το αρχείο στο Excel ως αρχείο scv (οριοθετηµένο µε κόµµατα) και το ανοίγουµε από την επιλογή «Βάση» - «Εισαγωγή πίνακα»
- Αποθηκεύετε το αρχείο στο Excel ως αρχείο scv (οριοθετηµένο µε κόµµατα) και το ανοίγουµε από την επιλογή «Βάση» - «Άνοιγµα»
Σε ένα σενάριο που υλοποιείται µε χρήση του λογισµικού «Ταξινοµούµε» και που αφορά στη µελέτη της επίδοσης των µαθητών στη γλώσσα και στα µαθηµατικά θέλετε να προσθέσετε στα δεδοµένα σας και την παράµετρο φύλο. Ποια από τις παρακάτω διαδικασίες θα επιλέγατε;
- Εισαγωγή νέου πεδίου, ονοµασία πεδίου (Φύλο) και ιδιότητες πεδίου Αληθές / Ψευδές
- Εισαγωγή νέας εγγραφής και εισαγωγή του φύλου στο κελί της εγγραφής
- Εισαγωγή νέου πεδίου, ονοµασία πεδίου (Φύλο) και ιδιότητες πεδίου Αριθµός
- Εισαγωγή νέου πεδίου, ονοµασία πεδίου (Φύλο) και ιδιότητες πεδίου Αλφαριθµητικός.
Σε ένα σενάριο που υλοποιείται µε χρήση του λογισµικού «Ταξινοµούµε» και που αφορά στη µελέτη της επίδοσης των µαθητών και µαθητριών στη γλώσσα και στα µαθηµατικά, θέλετε να υπολογίσετε το µέσο όρο της βαθµολογίας των µαθητριών. Ποιου ζεύγους ψηφίδων τις λειτουργικότητες θα χρησιµοποιήσετε;
- Γράφηµα – Ραβδόγραµµα
- Ερώτηση – Επεξεργαστής βάσεων
- Ερώτηση – Σύνολο
- Επεξεργαστής βάσεων – Γράφηµα
Σε ένα σενάριο που υλοποιείται µε χρήση του λογισµικού «Ταξινοµούµε» και που αφορά στη συγκριτική µελέτη της αγοραστικής δύναµης των Ευρωπαίων πολιτών κάποια από τα πεδία σας είναι : ΑΕΠ, πληθυσµός, χώρα κλπ. Στο ραβδόγραµµα που θέλετε να δηµιουργήσετε για να δείξετε το ΑΕΠ κάθε χώρας ποιο πεδίο θα επιλέξετε να ορίσετε ως κατηγορία και ποιο ως τιµή;
- Κατηγορία ΑΕΠ, Τιµή: Χώρα
- Κατηγορία: Χώρα Τιµή: Πληθυσµός
- Κατηγορία: Χώρα:, Τιµή: ΑΕΠ
- Κατηγορία: Πληθυσµός, Τιµή: ΑΕΠ
Η παρακάτω διαδικασία πληκτρολογήθηκε στην ψηφίδα «Logo» στον Χελωνόκοσµο.
για αίνιγµα :χ :ψ
επανάλαβε 4 [ µ :χ δ :ψ]
τέλος
αίνιγµα 60 80
Ποια από τις παρακάτω λειτουργικότητες εξασφαλίζονται µε την διαδικασία:
- Η χελώνα εκτελεί τις εντολές «µπροστά :χ» και «δεξιά :ψ» τέσσερεις φορές και γράφει ένα τετράγωνο.
- Η διαδικασία εξασφαλίζει µόνο την λειτουργικότητα της επανάληψης της κίνησης της χελώνας τέσσερις φορές.
- Η διαδικασία εξασφαλίζει τον δυναµικό χειρισµό του σχήµατος που γράφει η χελώνα.
Η παρακάτω διαδικασία πληκτρολογήθηκε στην ψηφίδα «Logo» στον Χελωνόκοσµο.
για αίνιγµα :χ
επανάλαβε 2 [ µ :χ δ 80]
τέλος
αίνιγµα 60
Ποια από τις παρακάτω τροποποιήσεις εξασφαλίζουν την δηµιουργία κλειστού κυρτού πολυγώνου.
- Επιλογή κατάλληλης τιµής για την µεταβλητή χ στον µεταβολέα µέχρι να δηµιουργηθεί κλειστό σχήµα.
- Μεταβολή των τιµών των εντολών «επανάλαβε» και «δεξιά» ώστε να δηµιουργηθεί κλειστό σχήµα.
- Μεταβολή της τιµής 2 της εντολής «επανάλαβε» ώστε να δηµιουργηθεί κλειστό σχήµα.
Το παρακάτω σχήµα προέκυψε από το διπλανό πρόγραµµα «πολύγωνο» µε το οποίο ο συντάκτης του θέλησε να σχεδιάσει ένα τετράγωνο
Οι τροποποιήσεις που πρέπει να κάνει ο συντάκτης είναι:
(α) Να αλλάξει την θέση των εντολών «θέσεθέση [-100 -100] µε την «θέσεθέση [100 -100].
(β) Να αλλάξει αµοιβαία την θέση των εντολών «θέσεθέση [-100 100]» και «θέσεθέση [100 -100]».
(γ) Να αλλάξει αµοιβαία την θέση των εντολών «θέσεθέση [100 -100]» και «θέσεθέση [100 100]».
Ποια από τις τροποποιήσεις θα φέρει το ζητούµενο αποτέλεσµα;
- Η (α)
- Η (β)
- Η (γ)
- Καµία από τις προηγούµενες αλλαγές δεν είναι ικανή από µόνη της να φέρει το ζητούµενο αποτέλεσµα
Η παρακάτω διαδικασία πληκτρολογήθηκε στην ψηφίδα «Logo» στον Χελωνόκοσµο µε σκοπό να σχεδιαστεί η σκάλα του διπλανού σχήµατος.

Ποιο από τα παρακάτω προγράµµατα είναι η υποδιαδικασία «σκαλί» της διαδικασίας της σκάλας;

[ΓΡΑΨΤΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΚΑΙ ΠΑΤΗΣΤΕ ΕΛΕΓΧΟΣ]
Προκειµένου να µελετηθούν οι ιδιότητες των τόξων πληκτρολογήθηκαν δυο διαδικασίες εκ των οποίων η µια σχεδίασε δυο πυλώνες µε βάση 20 βήµατα και ύψος 50 βήµατα σε απόσταση 75 βηµάτων και η δεύτερη το τόξο «αίνιγµα».

Με δεδοµένες τις τιµές β = 1 και γ = 1 η τιµή της µεταβλητής α για την οποία σχεδιάζεται γέφυρα που ενώνει τους δυο πυλώνες είναι:
Α) α = 56.
Β) α = 90
Γ) α =180.
Σωστή απάντηση είναι :
- Το (Α)
- Το (Β)
- Το (Γ)
- Καµιά από αυτές
Στο λογισµικό Function Probe ποια από τις παρακάτω προτάσεις περιγράφει καλύτερα τις χρησιµότητες της εντολής «Δείγµα από καµπύλη» - «Σύνολο ευθειών κλίσης». ( Επιλέξτε τη σωστή απάντηση):
- Να µελετηθούν οι κλίσεις διαφόρων σηµείων της καµπύλης.
- Να µελετηθεί η µεταβολή της κλίσης της στα διάφορα σηµεία της.
- Να µελετηθεί η έννοια της παραγώγου σε ένα σηµείο της.
Στο λογισµικό Function Probe προκειµένου να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=χ2-2χ+3 σχεδιάστηκε η ψ=χ2 και στη συνέχεια χρησιµοποιήθηκαν τα εργαλεία. ( Επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

[ΓΡΑΨΤΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΑΤΗΣΤΕ ΕΛΕΓΧΟΣ]
Στο λογισµικό Function Probe ποια από τα παρακάτω λειτουργικότητες επιτρέπουν να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της αντίστροφης απεικόνισης της συνάρτησης ψ=χ3+1; ( Επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

[ΓΡΑΨΤΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΑΤΗΣΤΕ ΕΛΕΓΧΟΣ]
Στο λογισµικό Function Probe ποια από τις παρακάτω σειρά ενεργειών µας επιτρέπουν να ορίσουµε ένα κουµπί που να υπολογίζει αυτόµατα τις τιµές της παράστασης ηµχ+ 1;
- Να πληκτρολογήσουµε µε τη σειρά sind, 45, +, 1, = και στη συνέχεια να επιλέξουµε «Κατασκευή κουµπιού», µετά το νέο κουµπί που θα έχει εµφανιστεί, µετά Οκ και µετά να πληκτρολογήσουµε το όνοµα του κουµπιού.
- Να πληκτρολογήσουµε µε τη σειρά 45, sind ,+, 1, =, στη συνέχεια να επιλέξουµε «Κατασκευή κουµπιού», µετά να επιλέξουµε την τιµή 45, µετά το νέο κουµπί που θα έχει εµφανιστεί, µετά Οκ και µετά να πληκτρολογήσουµε το όνοµα του κουµπιού.
- Να πληκτρολογήσουµε µε τη σειρά 45, sind ,+, 1, =, στη συνέχεια να επιλέξουµε «Κατασκευή κουµπιού», µετά το νέο κουµπί που θα έχει εµφανιστεί, µετά Οκ και µετά να πληκτρολογήσουµε το όνοµα του κουµπιού.
Στο λογισµικό Function Probe αφού πληκτρολογήθηκε η παρακάτω αριθµητική παράσταση χρειάζεται να διορθωθεί ο αριθµός 86 σε 85.

Ποιες από τις παρακάτω ενέργειες πρέπει να γίνουν.
- Με το πλήκτρο «Del» του πληκτρολογίου να σβηστούν όσα έπονται µέχρι του σηµείου διόρθωσης.
- Με το ποντίκι να οδηγηθεί το ^ στο σηµείο διόρθωσης και µε το πλήκτρο «BackSpace» να σβηστεί το 6 και να πληκτρολογηθεί 5.
- Να πληκτρολογηθεί όλη η παράσταση από την αρχή.
Το περιβάλλον Cabri-Geometry II ενώ δίνει δυνατότητες για πειραµατισµό µε γεωµετρικά αντικείµενα αποκλείει:

(Α) Τη δηµιουργία προσοµοιώσεων καταστάσεων πραγµατικής ζωής
(Β) Τη µελέτη αλγεβρικών συναρτήσεων
(Γ) Τη µελέτη τριγωνοµετρικών συναρτήσεων
(Δ) Τη δηµιουργία προσοµοιώσεων στις οποίες λαµβάνουν χώρα έννοιες από άλλες επιστήµες πχ. Φυσική
(Ε) Τίποτα από τα προηγούµενα.

Ποιο από τα παραπάνω ισχύει;
- Το (Α)
- Το (Β)
- Το (Γ)
- Το (Δ)
- Το (Ε)
Το σχήµα που βλέπετε στην οθόνη σας δηµιουργήθηκε στο περιβάλλον Cabri-Geometry II µε τη χρήση µιας µακροκατασκευής.

Καλείσθε να επιλέξετε από τις παρακάτω απαντήσεις την καταλληλότερη που αντιστοιχεί στον ορισµό των αρχικών και τελικών αντικειµένων αυτής της µακροκατασκευής.
- Αρχικά αντικείµενα: α) το σηµείο Μ και οι άξονες συντεταγµένων
  Τελικά αντικείµενα: α) το σηµείο Κ µε συντεταγµένες την απόλυτη τιµή των συντεταγµένων του Μ
- Αρχικά αντικείµενα: α) οι συντεταγµένες του σηµείου Μ
  Τελικά αντικείµενα: α) το σηµείο Κ µε συντεταγµένες την απόλυτη τιµή των συντεταγµένων του Μ
- Αρχικά αντικείµενα: α) το σηµείο Μ και β) οι συντεταγµένες του σηµείου Μ
  Τελικά αντικείµενα: α) το σηµείο Κ µε συντεταγµένες την απόλυτη τιµή των συντεταγµένων του Μ
Στο περιβάλλον Cabri-Geometry II είναι δυνατόν:
- Να έχουµε πολλαπλούς πίνακες που δύνανται να ενηµερώνονται αυτόµατα
- Να έχουµε µόνον ένα πίνακα που δύναται να ενηµερώνεται αυτόµατα
- Να έχουµε πολλαπλούς πίνακες ο ένας µόνον από τους οποίους δύναται να ενηµερώνεται αυτόµατα
Στα περιβάλλοντα Δυναµικής Γεωµετρίας ο ρόλος του εκπαιδευτικού κυρίως είναι:
- Να υποστηρίζει τη µάθηση των µαθητών του
- Να παρουσιάζει τη γεωµετρία µέσω του βιντεοπροβολέα σε µεγάλες οµάδες µαθητών ενώ αυτοί θα καλούνται να απαντήσουν σε ειδικά σχεδιασµένα ερωτηµατολόγια
- Να δηµιουργεί µοντέλα για τη µάθηση των µαθητών του παρατηρώντας την αλληλεπίδρασή τους µε το περιβάλλον και να διατυπώνει κατάλληλες ερωτήσεις ώστε να τους βοηθά να ξεκαθαρίσουν δύσκολα σηµεία, να ξεπεράσουν τυχόν λάθη, να διατυπώσουν γενικεύσεις και συµπεράσµατα
Σε κάποιο σενάριο που αφορά την µελέτη της δύναµης σηµείου ως προς κύκλο περιγράφονται οι εξής οδηγίες προς τους µαθητές για την κατασκευή του σχήµατος µε την συγκεκριµένη σειρά:
1. Σχεδίαση κύκλου µε κέντρο Ο και τυχαία ακτίνα.
2. Σχεδίαση ενός σηµείου Α στον κύκλο.
3. Σχεδίαση ενός δεύτερου σηµείου Β στον κύκλο.
4. Σχεδίαση ενός σηµείου Γ
5. Σχεδίαση της χορδής ΑΒ ώστε να διέρχεται από το Γ.
6. Μέτρηση των αποστάσεων ΑΓ και ΒΓ και της ακτίνας του κύκλου.
7. Υπολογισµός του γινοµένου των δυο αποστάσεων.
Κατά τον έλεγχο διαπιστώθηκε ότι η παραπάνω κατασκευή δεν δίνει το επιθυµητό σχήµα ώστε να µπορεί να γίνει η σχετική µε τη σχέση των αποστάσεων διερεύνηση για τις διάφορες θέσεις του σηµείου Α πάνω στον κύκλο και Γ στο επίπεδο. Ποια από τις παρακάτω τροποποιήσεις καθιστούν την κατασκευή κατάλληλη;
- Να αλλάξει η σειρά κατασκευής ως εξής: 1,2,4, 3, 5, 6, 7.
- Να σχεδιαστούν πρώτα τα 1, 2, µετά να σχεδιαστεί ευθεία (ε) από το Α, µετά
  το 4, µετά το 3 αλλά το Β να οριστεί ως τοµή του κύκλου µε την ευθεία και µετά τα 5, 6 και 7.
- Να σχεδιαστούν µε τη σειρά πρώτα τα 1, 2, 4 αµέσως µετά να σχεδιαστεί ευθεία (ε) από τα Α και Γ, µετά να ακολουθήσει το 3 όπου το Β θα οριστεί ως τοµή του κύκλου µε την ευθεία και µετά το 5 και µετά τα 6,7.
Το σχήµα που βλέπετε στην οθόνη σας αφορά στη διδασκαλία και µάθηση του Πυθαγορείου θεωρήµατος και δηµιουργήθηκε στο περιβάλλον Cabri-Geometry II µε τη χρήση µιας µακροκατασκευής.

Καλείσθε να επιλέξετε από τις παρακάτω απαντήσεις την καταλληλότερη έτσι ώστε να δηµιουργείται το εν λόγω σχήµα µε τα ελάχιστα αρχικά και τελικά αντικείµενα στην δηµιουργία της εν λόγω µακροκατασκευής.
- Αρχικά αντικείµενα: α) το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, β) οι κύκλοι µε κέντρα τις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και ακτίνες τις πλευρές του Τελικά αντικείµενα: α) το τετράγωνο ΑΒΔΕ, β) το τετράγωνο ΑΓΖΗ, γ) το τετράγωνο ΒΓΘΙ
- Αρχικά αντικείµενα: α) οι τρεις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ
  Τελικά αντικείµενα: α) το τετράγωνο ΑΒΔΕ, β) το τετράγωνο ΑΓΖΗ, γ) το τετράγωνο ΒΓΘΙ, δ) το τρίγωνο ΑΒΓ
- Αρχικά αντικείµενα: α) το τρίγωνο ΑΒΓ
  Τελικά αντικείµενα: α) το τετράγωνο ΑΒΔΕ, β) το τετράγωνο ΑΓΖΗ, γ) το τετράγωνο ΒΓΘΙ
- Αρχικά αντικείµενα: α) το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, β) το σηµείο Γ στην κάθετη ευθεία στο σηµείο Α του ΑΒ
  Τελικά αντικείµενα: α) το τετράγωνο ΑΒΔΕ, β) το τετράγωνο ΑΓΖΗ, γ) το τετράγωνο ΒΓΘΙ
Στο περιβάλλον Cabri-Geometry II θα θέλαµε να κατασκευάσουµε τη γραφική παράσταση της µεταβολής του Εµβαδού (Ε) ενός ισοσκελούς τριγώνου συναρτήσει της µεταβολής της βάσης του (β) όταν οι πλευρές του έχουν σταθερό µήκος (α). Με πιο τρόπο θα µεταφέρουµε αυτά τα µεγέθη στους άξονες XX’ και YY’?
- α) κλικ στο β και στη συνέχεια κλικ στον άξονα ΧΧ’, β) κλικ στο α και στη συνέχεια κλικ στον άξονα YY’
- α) µέτρηση του β, κλικ µεταφορά µέτρησης, κλίκ στο κέντρο των αξόνων και κλικ στο σηµείο του άξονα ΧΧ’ που αντιστοιχεί στο µήκος β, β) µέτρηση του Εµβαδού του τριγώνου E, κλικ µεταφορά µέτρησης, κλίκ στο κέντρο των αξόνων και κλικ στο σηµείο του άξονα YY’ που αντιστοιχεί στο µήκος Ε.
- α) µέτρηση του β, κλικ µεταφορά µέτρησης, κλίκ στην αριθµητική τιµή του β, κλικ στο κέντρο των αξόνων και κλικ στο σηµείο του άξονα ΧΧ’ που αντιστοιχεί στο µήκος β, β) µέτρηση του Εµβαδού του τριγώνου E, κλικ µεταφορά µέτρησης, κλικ στην αριθµητική τιµή του Ε, κλίκ στο κέντρο των αξόνων και κλικ στο σηµείο του άξονα YY’ που αντιστοιχεί στο µήκος Ε.
Υποθέστε ότι επιλέγεστε ως επιµορφωτής και στα µαθήµατά σας έρχεται εκπαιδευτικός που σας παρουσιάζει τα εξής δεδοµένα:
«Οι 24 µαθητές της τάξη µου (Α Λυκείου), είναι ‘χαµηλών επιδόσεων στα µαθηµατικά’, αλλά χωρίς ιδιαίτερα µαθησιακά προβλήµατα. Στο σχολείο µου διαθέτω εργαστήριο υπολογιστών και υπάρχει η δυνατότητα να αξιοποιηθεί για τη διδασκαλία των µαθηµατικών. Στο σχολείο µου δεν υπάρχει κάποια παράδοση στη διδασκαλία των µαθηµατικών µε τη βοήθεια των ΤΠΕ και έτσι έχω απόλυτη ελευθερία για να σχεδιάσω και να υλοποιήσω µια ή περισσότερες διδασκαλίες στο εργαστήριο. Θέλω να διδάξω στο εργαστήριο την έννοια της συνάρτησης. Τι µου προτείνετε;»
Ποια από τις παρακάτω εκδοχές θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό ώστε να τους βοηθήσει να αξιοποιήσουν τις δυνατότητες χειρισµού αντικειµένων σχετικών µε τη διδασκαλία των συναρτήσεων και πειραµατισµού µε τις πολλαπλές αναπαραστάσεις τους που προσφέρουν τα διαθέσιµα εκπαιδευτικά λογισµικά ώστε να έχουν µεγαλύτερες πιθανότητες να αποκτήσουν πιο βαθιά κατανόηση:
- Να αξιοποιήσει κάποιο από τα λογισµικά της δυναµικής γεωµετρίας ή το Function Probe ώστε να σχεδιάσει ωραίες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων τις οποίες να εκτυπώσει και να δώσει για µελέτη στους µαθητές τους µαζί µε κατάλληλες ερωτήσεις.
- Να αξιοποιήσει το Function Probe ώστε οι µαθητές να πληκτρολογήσουν πίνακες τιµών τους οποίους θα στείλουν στο γράφηµα και µε κατάλληλες ερωτήσεις να εισάγει την έννοια της συνάρτησης.
- Να αξιοποιήσει κάποιο λογισµικό ή ένα κατάλληλο site στο διαδίκτυο που περιέχει έτοιµες ασκήσεις για τις συναρτήσεις.
- Ένα λογισµικό που επιτρέπει στους µαθητές να ζωντανέψουν τις συµµεταβολές δυο µεγεθών µέσω του δυναµικού χειρισµού τους, όπως τα λογισµικά της δυναµικής γεωµετρίας ή του Χελωνόκοσµου.
Υποθέστε ότι επιλέγεστε ως επιµορφωτής και στη διάρκεια ενός µαθήµατος ένας εκπαιδευτικός εκφράζει την εξής άποψη για την αξία των εκπαιδευτικών λογισµικών των µαθηµατικών:
«Εγώ δεν πιστεύω ότι ο υπολογιστής έχει να προσφέρει κάτι ιδιαίτερα θετικό στα µαθηµατικά. Πρώτον αποξενώνει τους µαθητές γιατί καθένας κάθεται µόνος του ή έστω ανά δυο µπροστά στον υπολογιστή και όχι όλοι µαζί όπως είναι στην τάξη. Δεύτερον τα µαθηµατικά µαθαίνονται και χωρίς υπολογιστές όπως γίνεται εδώ και πολλά χρόνια. Μπορείτε να µε πείσετε για την αξία τους;»
Ποιες από τις παρακάτω ενέργειες θεωρείτε την περισσότερο ενδεδειγµένη για να πείσετε τον εκπαιδευτικό;
- Θα αναλύατε για τις διαφορές µεταξύ των στατικών αναπαραστάσεων των µαθηµατικών εννοιών στο χαρτί και των δυναµικά µεταβαλλόµενων αναπαραστάσεων στην οθόνη του υπολογιστή, εξηγώντας τις διαφορές στον τρόπο που αναπτύσσεται η µάθηση στις στατικές αναπαραστάσεις (καθώς η ακαµψία της στατικής αναπαράστασης στερεί στον µαθητή την δυνατότητα να δει άγνωστες ιδιότητες του αντικειµένου) και στις δυναµικά µεταβαλλόµενες (όπου µπορεί να παρατηρεί πολλά στιγµιότυπα και να αντλεί πληροφορίες που δεν είναι άµεσα ορατές)
- Θα αναλύατε τις διαφορές της µάθησης που συντελείται στην παραδοσιακή τάξη των µαθηµατικών µε τον µαυροπίνακα, το χαρτί και το µολύβι σε σχέση µε αυτή στο εργαστήριο επισηµαίνοντας την συνεργατική µάθηση που συµβαίνει στις µικρές οµάδες (για παράδειγµα ότι στην παραδοσιακή τάξη κυριαρχεί η αυθεντία του καθηγητή και το ενοχοποιηµένο λάθος ενώ στο εργαστήριο οι µικρές οµάδες συνεργάζονται για να πετύχουν ένα κοινό στόχο που πολλές φορές τον θέτουν οι ίδιοι ή τον οικειοποιούνται).
- Θα επιλέγατε ένα συγκεκριµένο παράδειγµα από τα µαθηµατικά και θα αναλύατε µερικές από τις πτυχές της δράσης των µαθητών στις δυο περιπτώσεις – στο χαρτί µε το µολύβι ή στον υπολογιστή – εστιάζοντας π.χ. στα εργαλεία που χρησιµοποιεί στις δυο περιπτώσεις, στις ενέργειες που µπορεί να κάνει σε κάθε περίπτωση, στις επιπτώσεις που έχει το λάθος σε κάθε περίπτωση, τις πολλαπλές αναπαραστάσεις που έχει ή δεν έχει να χειριστεί στις δυο περιπτώσεις, στα χαρακτηριστικά της συνεργατικότητας που αναπτύσσεται στην οθόνη του υπολογιστή µεταξύ των δυο µαθητών σε σχέση µε την δυσκολία να εµφανιστεί αυτή η µορφή συνεργασίας στην πρώτη περίπτωση.
Κατά τη διάρκεια της επιµόρφωσης, ως επιµορφωτής παρουσιάζετε στους εκπαιδευτικούς ένα σενάριο για τη διδασκαλία των λόγων και της αναλογίας µε τη βοήθεια γεωµετρικών αναπαραστάσεων στον Χελωνόκοσµο ή στα λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας. Ένας εκ των επιµορφούµενων εκπαιδευτικών εκφράζει την εξής αντίρρηση.
«Δεν πρέπει να χρησιµοποιούµε τα συγκεκριµένα εκπαιδευτικά λογισµικά στη διδασκαλία των εννοιών του λόγου και της αναλογίας διότι στην
οθόνη του υπολογιστή όλα τα µεγέθη έχουν κοινή µονάδα µέτρησης το pixel και έτσι οι µαθητές αποκτούν την αντίληψη ότι όλα τα µεγέθη είναι σύµµετρα».
Ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις αντίδρασης του επιµορφωτή µπορεί να συνεισφέρει περισσότερο στην κατεύθυνση της αλλαγής της στάσης του εκπαιδευτικού;
- Όταν απαντά στον εκπαιδευτικό ότι έχει δίκιο.
- Όταν εκφράζει την άποψη ότι δεν έχει σηµασία αν υπάρχουν και ασύµµετρα µεγέθη αφού αυτό που ενδιαφέρει είναι η κατάκτηση από τους µαθητές της ίδιας της έννοιας του λόγου και ότι η πλευρά των ασύµµετρων µεγεθών θα αναλυθεί σε µεγαλύτερες τάξεις.
- Όταν εκφράζει την άποψη ότι η χρησιµότητα των εκπαιδευτικών λογισµικών δεν κρίνεται από την δυνατότητά τους να αναπαριστούν όλες τις µαθηµατικές έννοιες αλλά από την δυνατότητα να παρέχουν σε ένα µαθητή τις ευκαιρίες να µπορεί να κάνει πειράµατα, να εικάζει µαθηµατικές σχέσεις, να δηµιουργεί νοήµατα για τα µαθηµατικά αντικείµενα κτλ.
- Όταν εκφράζει την άποψη ότι όταν οι µαθητές κατανοήσουν µε τη βοήθεια των εκπαιδευτικών λογισµικών την έννοια του λόγου σύµµετρων ευθυγράµµων τµηµάτων θα µπορούν ευκολότερα να προσεγγίσουν και την ύπαρξη ασύµµετρων µεγεθών.
Στο τέλος της επιµόρφωσης που έχετε κάνει σε οµάδα µαθηµατικών συζητάτε µε τους επιµορφούµενους για τρόπους µε τους οποίους µπορεί να υποστηριχτεί η διδασκαλία των κέντρων ενός τριγώνου. Ο παρακάτω διάλογος διεξάγεται µεταξύ του καθηγητή Κ και του επιµορφωτή Ε.
Κ: Εγώ θα κατασκευάσω ένα έτοιµο αρχείο λογισµικού στο οποίο θα έχω φέρει τα ύψη σε ένα τρίγωνο και θα ζητήσω από τους µαθητές να σύρουν µία κορυφή του και να µου αναφέρουν τι παρατηρούν.
Ε: Γιατί θα πρέπει να ετοιµάσεις εσύ το αρχείο;
Κ: Οι µαθητές θα χάσουν πολύ χρόνο στις κατασκευές ενώ έτσι θα τους δοθεί ευκαιρία να απαντήσουν στην ουσία του θέµατος γρήγορα και σωστά.
Ε: Μήπως όµως µε τον τρόπο αυτό η διαδικασία της κατασκευής, που είναι πολύ σηµαντικό για την γεωµετρικές δεξιότητες των µαθητών, παραµένει στην αφάνεια;
Κ: Όχι γιατί τους περιγράφω εγώ τις κατασκευές, άλλωστε όταν τους βάζω διαγώνισµα στο συγκεκριµένο κεφάλαιο τους δίνω έτοιµα τα σχήµατα για να αποφεύγουν τα λάθη.
Από τον παραπάνω διάλογο µπορούµε να συµπεράνουµε ότι:
Α) Ο επιµορφούµενος έχει αποκτήσει την αντίληψη της µαθητοκεντρικής διδασκαλίας
Β) Ο επιµορφούµενος στηρίζει την διδασκαλία του στην κατασκευαστική αντίληψη για την µαθηµατική γνώση.
Γ) Ο επιµορφούµενος έχει ενστερνιστεί την χρήση της τεχνολογίας για διερευνητική µάθηση προς την οποία είναι προσανατολισµένος.

Σωστό συµπέρασµα είναι :
- Το (Α)
- Το (Β)
- Το (Γ)
- Κανένα από τα προηγούµενα
Οι εκπαιδευτικοί που επιµορφώσατε πήγαν στα σχολεία τους, έκαναν υποστήριξη της διδασκαλίας τους µε υπολογιστή και στο τέλος της χρονιάς
συναντηθήκατε για ανταλλαγή εµπειριών και απόψεων. Μερικές ενδεικτικές περιγραφές των καθηγητών ήταν οι εξής:
• Οι µαθητές πολλές φορές συζητούν άσχετα πράγµατα όταν εργάζονται µε τον υπολογιστή και δεν συγκεντρώνονται στην δραστηριότητά τους.
• Οι µαθητές δεν ενδιαφέρονται να κάνουν απόδειξη των όσων έχουν ανακαλύψει µε το λογισµικό.
• Οι µαθητές όταν θέλουν να λύσουν µία δύσκολη άσκηση στις συναρτήσεις κάνουν την γραφική της παράσταση και έτσι η λύση δεν είναι έγκυρη.
• Οι µαθητές πολλές φορές αντί να ασχοληθούν µε το συγκεκριµένο µαθηµατικό θέµα που τους δόθηκε για κατασκευή ή διερεύνηση
ασχολούνται µε ένα άλλο µαθηµατικό θέµα κατασκευάζοντας δικά τους αντικείµενα στην οθόνη και έτσι δεν προλαβαίνουµε να ολοκληρώσουµε το
θέµα αυτό.
Από τις περιγραφές αυτές προκύπτει ότι (Επιλέξτε την σωστή απάντηση):
- Οι συγκεκριµένοι καθηγητές έχουν εντοπίσει τα σηµαντικότερα διδακτικά προβλήµατα που παρουσιάζονται κατά την χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας στην διδασκαλία.
- Η επιµόρφωση βοήθησε ουσιαστικά τους καθηγητές στην δυνατότητα αναστοχασµού πάνω στην διδακτική διαδικασία.
- Η επιµόρφωση δεν άλλαξε δραµατικά τις παγιωµένες αντιλήψεις των καθηγητών για την διδασκαλία και µάθηση των µαθηµατικών.
- Η επιµόρφωση βοήθησε τους καθηγητές να γίνουν περισσότερο αποτελεσµατικοί στην διδασκαλία τους.
Κατά την συγγραφή ενός σεναρίου σχετικά µε την οµοιότητα των τριγώνων, από δύο εκπαιδευτικούς, αποφασίστηκε ότι το τµήµα που αναφέρεται στην χρήση της τεχνολογίας θα είχε ως ακολούθως:
«Οι στόχοι που αναφέρονται στην τεχνολογία είναι οι εξής:
1) Να χειριστούν δυναµικά οι µαθητές τις αριθµητικές τιµές των µεταβλητών µε χρήση του ‘µεταβολέα’ προκειµένου να κατασκευάσουν µεταβαλλόµενα τρίγωνα σε µεγέθυνση ή σµίκρυνση.
2) Να κατανοήσουν βαθύτερα τις λειτουργίες του ‘Χελωνόκοσµου’
3) Να αναπαραστήσουν την κατασκευή οµοίων τριγώνων µε συµβολική γλώσσα και να µελετήσουν τις διαδικασίες κατασκευής.
4) Να επέµβουν στον κώδικα και να τον τροποποιήσουν για τη βέλτιστη κατασκευή τριγώνων σε συγκεκριµένη θέση (το ένα µέσα στο άλλο).
5) Να συνδέσουν την έννοια της οµοιότητας µε τον µεταβολέα.»

Από τους παραπάνω στόχους αυτοί που δεν είναι κατάλληλοι είναι οι:
- 1 και 4
- 2 και 5
- 3 και 5
- 2 και 3
Το φύλλο εργασίας στην εναρκτήρια δραστηριότητα ενός σεναρίου για την Β΄Γυµνασίου είναι το παρακάτω:
Φύλλο εργασίας
Φανταστείτε ότι βρισκόσαστε πάνω σε µία φορητή σκάλα και στέκεστε στο µεσαίο σκαλοπάτι της. Η σκάλα αρχίζει να ολισθαίνει και εσείς οδηγήστε αργά αλλά σταθερά προς το έδαφος. Τι πορεία θα ακολουθήσετε;
Αυτό το ερώτηµα θα προσπαθήσουµε να διερευνήσουµε µε µία προσοµοίωση που θα κατασκευάσουµε µε την βοήθεια του λογισµικού.
1) Να κατασκευάσετε µε την βοήθεια του λογισµικού ένα γεωµετρικό δυναµικό µοντέλο της πραγµατικής κατάστασης.
2) Να κατασκευάσετε ένα σηµείο πάνω στην προσοµοίωση της σκάλας, εκεί που υποτίθεται ότι βρίσκεται η θέση σας, και να ενεργοποιήσετε το ίχνος του.
3) Να µελετήσετε την καµπύλη του ίχνους και να βγάλετε τα κατάλληλα συµπεράσµατα.
Ποιες από τις παρακάτω επεµβάσεις στο φύλλο εργασίας πιστεύετε ότι θα βελτίωναν την προοπτική µιας αποτελεσµατικής υλοποίησής του;
- Η αφαίρεση του δεύτερου ερωτήµατος.
- Ο σαφής προσδιορισµός στην αρχή του σεναρίου της µαθηµατικής έννοιας που πρόκειται να διδαχτεί.
- Να ζητά το φύλλο εργασίας να εκτελέσουν οι µαθητές το συγκεκριµένο πείραµα µέσα στην τάξη.
- Να δοθούν επιπλέον ερωτήµατα που θα βοηθούν στην κατασκευή του µοντέλου αλλά και την εξαγωγή συµπερασµάτων.
Πρόκειται να έχετε την πρώτη επιµορφωτική συνεδρία, ως επιµορφωτής, και σχεδιάζετε τις ενέργειες σας. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις διδασκαλίας είναι κατά τη γνώµη σας η περισσότερο δόκιµη για το συγκεκριµένο είδος επιµόρφωσης:
(1) Πρέπει να κυριαρχείται από το στοιχείο του εντυπωσιασµού µε παρουσίαση τύπου Power Point για τα λογισµικά και τις δυνατότητές τους και λιγότερα θεωρητικά στοιχεία τα οποία συνήθως δεν επιθυµεί να ακούσει το µεγαλύτερο µέρος των επιµορφούµενων. Η παρουσίαση αυτή να πλαισιωθεί µε παραδείγµατα δύσκολων γεωµετρικών κατασκευών από ασκήσεις του σχολικού βιβλίου που συνήθως τις αποφεύγουν οι διδάσκοντες για τη παραδοσιακή διδασκαλία.
(2) Οι επιµορφούµενοι θα πρέπει να εµπλακούν σε καθοδηγούµενες κατασκευές δύσκολων και περίπλοκων γεωµετρικών σχηµάτων ή µελέτη
συναρτήσεων ειδικών περιπτώσεων έτσι ώστε να αποκτήσουν άµεση και γρήγορη εµπειρία για τις δυνατότητες των λογισµικών.
(3) Να παρουσιαστεί στους επιµορφούµενους εκπαιδευτικούς ένα κατάλληλα επιλεγµένο σενάριο και να αναλυθούν οι παιδαγωγικές πτυχές του για τη διδασκαλία των µαθηµατικών µε την αξιοποίηση του αντίστοιχου εκπαιδευτικού λογισµικού. Η παρουσίαση να συνδυαστεί µε µια βιωµατική
προσέγγιση της αξιοποίησης του προτεινόµενου λογισµικού καθώς και µια πρώτη επαφή µε τη ανακατασκευή του µε τα µέσα και τα εργαλεία που
αυτό διαθέτει.
(4) Να υπάρξει µια σύντοµη παρουσίαση τύπου Power Point για τις δυνατότητες των λογισµικών και την αξιοποίηση τους στη καθηµερινή διδασκαλία για την παραγωγή σηµειώσεων του µαθήµατος. Στη συνέχεια να τους δοθεί ένα πρόβληµα για επίλυση µε τη βοήθεια του υπολογιστή και να προταθεί µια συγκεκριµένη κάπως δύσκολη κατασκευή.
Ποια από τις παρακάνω καταστάσεις θεωρείται ότι θα πρέπει να ακολουθήσει ο επιµορφωτής στην πρώτη συνεδρία καθόσον ανταποκρίνεται περισσότερο στους σκοπούς της συγκεκριµένης επιµόρφωσης;
[ΓΡΑΨΤΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΤΗΣΤΕ ΕΛΕΓΧΟΣ]
Σε κάποια φάση της επιµορφωτικής σας δραστηριότητας ζητάτε από τους επιµορφούµενους εκπαιδευτικούς να περιγράψουν την άποψη τους για την αξιοποίηση των εκπαιδευτικών λογισµικών στη διδασκαλία τους. Ποια από τις παρακάτω καταστάσεις πλησιάζει περισσότερο τις επικρατούσες απόψεις για την αξιοποίηση των λογισµικών στη διδασκαλία των µαθηµατικών;
- Τα λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας είναι πολύ χρήσιµα για τη παρουσίαση γεωµετρικών κατασκευών που δύσκολα διαπραγµατευόµαστε στον πίνακα αλλά δεν µπορούν να ενταχθούν στη καθηµερινή διδασκαλία γιατί απαιτούν µεγάλο χρόνο προετοιµασίας και η εκπαιδευτική προστιθέµενη αξία είναι σχετικά µικρή.
- Τα λογισµικά µπορούν να αξιοποιηθούν στο εργαστήριο υπολογιστών για διερευνήσεις θεµατικών περιοχών µε τη βοήθεια κατάλληλων φύλλων εργασίας ή µε ένα υπολογιστή και προβολέα τοίχου στην ολοµέλεια της τάξης µε ένα ασύρµατο ποντίκι για διδασκαλία νέων εννοιών µε τη συµµετοχή όλων των µαθητών, µε τη καθοδήγηση ενός φύλλου εργασίας και τη βοήθεια του διδάσκοντα.
- Τα προτεινόµενα λογισµικά µπορούν να αξιοποιηθούν ως εποπτικό µέσο για καλύτερη παρουσίαση του µαθήµατος και λιγότερο για διδασκαλία νέων εννοιών ή επίλυση προβληµάτων εξ αιτίας των δυσκολιών στη χρήση τους στο εργαστήριο όπου θα πρέπει πρώτα να έχουν δοθεί στον εκπαιδευτικό έτοιµα όλα τα απαραίτητα αρχεία µικρόκοσµων.
- Μερικά από τα λογισµικά, κυρίως αυτά που δεν απαιτούν τη χρήση γλώσσας προγραµµατισµού, µπορούν να αξιοποιηθούν µόνο σε κάποιες θεµατικές ενότητες των µαθηµατικών για καλύτερη παρουσίαση του µαθήµατος ή για επανάληψη / εµπέδωση γνώσεων µε κατάλληλα φύλλα εργασίας και παράλληλη επίλυση κατάλληλων ασκήσεων στο χαρτί.
Στο πλαίσιο παρουσίασης ενός σεναρίου, ζητήθηκε από τους επιµορφούµενους να αξιολογήσουν κάποια δραστηριότητα για την αξιοποίηση του εργαλείου γενικής χρήσης, το Excel, όπου οι στόχοι είναι:
• Να ανακαλύψουν οι µαθητές τον τύπο του αθροίσµατος των ν πρώτων φυσικών αριθµών
• Να αποδείξουν µε επαγωγή τον τύπο αυτού του αθροίσµατος.
• Να επεκταθούν στην ανακάλυψη και απόδειξη του τύπου του αθροίσµατος των τετραγώνων των ν πρώτων φυσικών αριθµών.
Το Φύλλο Εργασίας που δόθηκε στους µαθητές περιγράφει ότι στο λογισµικό Excel:
(1) Να κατασκευάσετε πίνακα τιµών για τη συνάρτηση Σ(ν)=1+2+3+…+ν
(2) Να κατασκευάσετε γράφηµα διασποράς για τον παραπάνω πίνακα τιµών
(3) Να προσδιορίσετε την καµπύλη που προσαρµόζετε καλύτερα στο παραπάνω γράφηµα διασποράς
(4) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της παραπάνω καµπύλης
(θα προκύψει )
(5) να αποδείξετε µε επαγωγή ότι οι τιµές των δύο συναρτήσεων συµπίπτουν (Σ(x)=f(x) για x=1,2,3,ν).
(6) Να ακολουθήσετε τα βήµατα 1 – 5 για τον τύπο του αθροίσµατος των τετραγώνων των ν πρώτων φυσικών αριθµών.
Ποια από τις παρακάτω εκδοχές που πρότειναν οι επιµορφούµενοι εκπαιδευτικοί θεωρείται ότι είναι αποδεκτή στο πλαίσιο της προτεινόµενης αξιοποίησης των ΤΠΕ στην εκπαίδευση:
- Η χρήση του λογισµικού Excel δεν ενδείκνυται για την απόδειξη του παραπάνω τύπου επειδή εµπλέκει τους µαθητές σε µια τεχνοκεντρική διαδικασία που απαιτεί καλή γνώση της χρήσης του περιβάλλοντος ενώ το ΦΕ δεν περιέχει το στοιχείο της διερεύνησης.
- Αφού η απόδειξη θα γίνει τελικά στο χαρτί δεν κρίνεται χρήσιµη η κινητοποίηση για τη χρήση του λογισµικού µόνο για την οπτικοποίηση των αφηρηµένων µαθηµατικών σχέσεων µε τη µορφή διαγράµµατος γεγονός που θα απαιτήσει επιπλέον διδακτικό χρόνο.
- Η χρήση του λογισµικού, µε τη βοήθεια πλήρους καθοδήγησης, είναι αρκετή για την απόδειξη της παραπάνω σχέσης χωρίς να απαιτείται η κλασική απόδειξη.
- Η χρήση του λογισµικού, µε τις απαραίτητες οδηγίες, συµβάλει στην καλύτερη κατανόηση του αναφερόµενου τύπου µέσω της οπτικοποίησης και των πολλαπλών αναπαραστάσεων των µαθηµατικών σχέσεων αλλά θα πρέπει να συνδυαστεί µε την κλασική απόδειξη η οποία θα γίνει σε άλλο χρόνο εκτός εργαστηρίου υπολογιστών.
Υποθέστε ότι επιλέγεστε ως επιµορφωτής και στα µαθήµατά σας έρχεται εκπαιδευτικός που σας παρουσιάζει τα εξής δεδοµένα:
«Έχω µια τάξη 25 µαθητών της Α΄ Γυµνασίου. Ο µέσος όρος της επίδοσης των µαθητών µου είναι 16,5. Στο σχολείο µου δεν υπάρχει κάποια παράδοση στη διδασκαλία των µαθηµατικών µε τη βοήθεια των ΤΠΕ και έτσι έχω απόλυτη ελευθερία για να σχεδιάσω και να υλοποιήσω µια ή περισσότερες διδασκαλίες στο εργαστήριο. Θέλω να εµπλέξω τους µαθητές µου σε δραστηριότητες διαχείρισης δεδοµένων και πληροφοριών. Τι µου προτείνετε;»
Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η πιο κατάλληλη για τον εκπαιδευτικό προκειµένου να αξιοποιήσει τις δυνατότητες οργάνωσης, επεξεργασίας και παρουσίασης δεδοµένων που προσφέρουν τα διαθέσιµα εκπαιδευτικά λογισµικά ώστε οι µαθητές του να έχουν µεγαλύτερες πιθανότητες να κατανόησουν τις έννοιες που αναφέρει;
- Να αξιοποιήσει κάποιο από τα ελεύθερα (γενικού τύπου) λογισµικά όπως είναι τα Access/Lotus για να πειραµατιστούν στην οργάνωση και επεξεργασία δεδοµένων.
- Να αξιοποιήσει εκπαιδευτικά λογισµικά όπως τα Ταξινοµούµε/Tabletop για την οργάνωση των πληροφοριών µε τη µορφή πεδίων και εγγραφών και την παρουσίαση αποτελεσµάτων κυρίως µε γραφικές παραστάσεις.
- Να αξιοποιήσει λογισµικά όπως τα Ταξινοµούµε/Tabletop για την οργάνωση των δεδοµένων, την επεξεργασία τους και τη διαµόρφωση συµπερασµάτων.
- Να αξιοποιήσει ένα λογισµικό όπου δίνει τη δυνατότητα στους µαθητές να εισάγουν, να επεξεργαστούν δεδοµένα µέσα από τη διατύπωση πρωτότυπων ερωτήσεων και να παρουσιάσουν τα συµπεράσµατα που διαµορφώνονται µέσα από τις ερωτήσεις τους µέσα από πολλαπλές αναπαραστάσεις (διαγράµµατα Venn, διαγράµµατα στηλών, ράβδων, σηµείων, γραµµών, κλπ.).
Υποθέστε ότι επιλέγεστε ως επιµορφωτής και στη διάρκεια ενός µαθήµατος ένας εκπαιδευτικός εκφράζει την εξής άποψη για την αξία των εκπαιδευτικών λογισµικών των µαθηµατικών:
«Εγώ στην διαχείριση και επεξεργασία δεδοµένων θέλω οι µαθητές µου να µπορούν να βρίσκουν το µέσο όρο, τη διάµεσο και τη ποσοστιαία κατανοµή στα δεδοµένα που τους δίνω και να κάνουν τουλάχιστον και ένα διάγραµµα. Αν ο υπολογιστής τους τα δίνει έτοιµα αυτοί τι θα έχουν να κάνουν; Μπορείτε να µε πείσετε για την αξία τους;»
Ποιες από τις παρακάτω ενέργειες θα κάνατε για να πείσετε τον εκπαιδευτικό;
- Θα αναλύατε τις διαφορές µεταξύ του πλαισίου χαρτί – µολύβι και των πολλαπλών αναπαραστάσεων που προσφέρει το λογισµικό.
- Θα τονίζατε τη διαφορετική προσέγγιση που προσφέρει η χρήση του λογισµικού στη µελέτη ενός µαθηµατικού προβλήµατος από την καθηµερινή ζωή.
- Θα αναλύατε τις διαφορές µεταξύ της παραδοσιακής διδασκαλίας αλγορίθµων και διαδικασιών και της συσχετιστικής κατανόησης που προσφέρει η διερευνητική µάθηση που συντελείται µέσα στο εργαστήριο των υπολογιστών όπου οι µαθητές καλούνται να αντιµετωπίσουν µαθηµατικά προβλήµατα µέσα από πολλαπλές / δυναµικές αναπαραστάσεις που έχουν νόηµα για τους µαθητές.
- Θα τονίζατε τη δυνατότητα πειραµατισµού που παρέχουν τα υπολογιστικά περιβάλλοντα σε αντίθεση µε το περιορισµένο χρονικά πειραµατισµό που παρέχει το πλαίσιο χαρτί-µολύβι.
Στο τέλος της επιµόρφωσης που έχετε κάνει σε οµάδα µαθηµατικών συζητάτε µε τους επιµορφούµενους για ένα σενάριο σχετικό µε τη συγκριτική µελέτη της αγοραστικής δύναµης των ευρωπαίων πολιτών. Ο παρακάτω διάλογος διεξάγεται µεταξύ του καθηγητή Κ και του επιµορφωτή Ε.
Κ: Εγώ θα κατασκευάσω ένα έτοιµο πίνακα µε τα δεδοµένα που θα µελετήσουν καιθα τους ζητήσω να κάνουν ένα ραβδόγραµµα προκειµένου να οδηγηθούν στις συγκρίσεις.
Ε: Γιατί θα πρέπει να ετοιµάσεις εσύ το αρχείο;
Κ: Οι µαθητές θα χάσουν πολύ χρόνο στην εισαγωγή δεδοµένων ενώ έτσι θα τους δοθεί ευκαιρία να απαντήσουν στην ουσία του θέµατος γρήγορα και σωστά.
Ε: Μήπως όµως µε αυτόν τον τρόπο περιορίζουµε τις διαδικασίες συλλογής και οργάνωσης των δεδοµένων όπου οι µαθητές θα πρέπει να πάρουν αποφάσεις σχετικές µε το ποιες είναι απαραίτητες πληροφορίες και πώς θα κατηγοριοποιήσουν τα δεδοµένα σε µορφή πεδίων και εγγραφών;
Κ: Όχι γιατί θα τους τα παρουσιάσω εγώ. Άλλωστε εγώ θέτω ως στόχο τη παρουσίαση ενός ραβδογράµµατος προκειµένου να συγκρίνουν την αγοραστική δύναµη των πολιτών κάθε κράτους.
Από τον παραπάνω διάλογο ποιο συµπέρασµα µπορούµε να πούµε ότι είναι λανθασµένο;
- Ο επιµορφούµενος έχει αντιληφθεί το ρόλο του εκπαιδευτικού στη διδασκαλία µε τη χρήση της τεχνολογίας.
- Ο επιµορφούµενος έχει εστιάσει µόνο στις λειτουργικότητες του λογισµικού που θεωρεί σηµαντικές και κατευθύνει τους µαθητές στην
  αξιοποίηση αυτών των δυνατοτήτων
- Ο επιµορφούµενος έχει στο επίκεντρο της διδασκαλίας του τη χρήση της τεχνολογίας θεωρώντας ότι η ενασχόληση των µαθητών µε το λογισµικό θα έχει τα απαιτούµενα οφέλη.
- Ο επιµορφούµενος αξιοποιεί τη χρήση της τεχνολογίας ως ένα εναλλακτικό πλαίσιο διδασκαλίας όπου η αυτενέργεια του µαθητή δεν είναι στο επίκεντρο.
Στο τέλος της επιµόρφωσης που έχετε κάνει σε οµάδα µαθηµατικών συζητάτε µε τους επιµορφούµενους για ένα σενάριο σχετικό µε τη συγκριτική µελέτη της αγοραστικής δύναµης των ευρωπαίων πολιτών. Ο παρακάτω διάλογος διεξάγεται µεταξύ του καθηγητή Κ και του επιµορφωτή Ε.
Κ: Εγώ ευτυχώς έχω λίγους µαθητές και το εργαστήριο των υπολογιστών έχει 22 Η/Υ.
Ε: Πώς σκέφτεσαι να το οργανώσεις;
Κ: Θα βάλω κάθε µαθητή µπροστά σε έναν υπολογιστή και θα δουλέψουµε τις δραστηριότητες.
Ε: Πιστεύεις ότι θα είναι καλύτερα έτσι;
Κ: Τέλεια. Έτσι δε θα µιλάνε µεταξύ τους και θα µπορούν να µάθουν καλύτερα το λογισµικό.
Ε: Μα, έτσι δεν θα µπορούν να συνεργάζονται.
Κ. Το ξέρω αλλά δεν πειράζει. Ότι πρόβληµα έχουν θα το συζητάµε όλοι µαζί. Θα µπορώ να διευθύνω τη συζήτηση.
Από τον παραπάνω διάλογο µπορούµε να συµπεράνουµε ότι (Επιλέξτε τη σωστή απάντηση):
- Ο επιµορφούµενος ενδιαφέρεται περισσότερο για την ενορχήστρωση της τάξης.
- Ο επιµορφούµενος ρίχνει περισσότερο βάρος στην εξοικείωση των µαθητών µε το λογισµικό.
- Ο επιµορφούµενος αγνοεί τα οφέλη της συνεργατικής µάθησης.
- Ο επιµορφούµενος θέτει το µαθητή στο επίκεντρο της µαθησιακής διαδικασίας.
Επιχειρείτε να παρουσιάσετε στους επιµορφούµενους το λογισµικό Χελωνόκοσµος και να υλοποιήσετε κάποια δραστηριότητα. Οι επιµορφούµενοι διαθέτουν τις σηµειώσεις που έχουν αναρτηθεί στο διαδίκτυο και στο τέλος του µαθήµατος το µεγαλύτερος µέρος τους σας εκφράζει σχόλια για το µάθηµα όπως αυτά:
«Τα παιδιά δεν πρόκειται να καταλάβουν την γλώσσα logo και είναι δύσκολο να γίνει µάθηµα µε το λογισµικό»
«Ό,τι κάνει αυτό το λογισµικό µπορεί να το κάνει και το sketchpad γιατί να µην κάνουµε µόνο το sketchpad και το function probe που µε αυτά µπορούµε να κάνουµε µάθηµα;»
«Εγώ πάντως δεν πρόκειται να καταλάβω τίποτε από αυτό το λογισµικό»
Η πλέον κατάλληλη αντιµετώπιση των αντιδράσεων αυτών είναι:
- Σε κάθε δραστηριότητα που υλοποιείτε µε τους επιµορφούµενους τους δίνεται έτοιµους όλους τους κώδικες των κατασκευών για να µην χρειάζεται να τους κατασκευάσουν οι ίδιοι.
- Στο µεγαλύτερο µέρος της επιµόρφωσης θα ασχοληθείτε αποκλειστικά µε το λογισµικό ‘Χελωνόκοσµος’.
- Θα οργανώσετε κατάλληλες σηµειώσεις µε πολύ απλά και ενδιαφέροντα παραδείγµατα που δεν µπορούν να υλοποιηθούν µε άλλα λογισµικά και µε εύστοχες υποδείξεις.
- Ρωτάτε τους επιµορφούµενους ποιο λογισµικό τους αρέσει περισσότερο και ασχολείστε κυρίως µε αυτό, ενώ για τον Χελωνόκοσµο τους δίνετε µερικές µόνο πληροφορίες.
Στα µέσα περίπου της επιµόρφωσης ζητάτε από τους επιµορφούµενους να κατασκευάσουν µία δραστηριότητα µε ένα φύλλο εργασίας για την υποστήριξη της διδασκαλίας του παραλληλογράµµου του στο Γυµνάσιο. Οι επιµορφούµενοι χωρίζονται σε δύο οµάδες και δηµιουργούν φύλλα εργασίας µιας διδακτικής ώρας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας.
Πρόταση Οµάδας 1: «α) Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο και να µετρήσετε τις πλευρές του τι παρατηρείτε; β) Να κατασκευάσετε τώρα ένα τετράπλευρο που οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες τι παρατηρείτε; γ) Να κατασκευάσετε ένα τετράπλευρο που οι δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες τι παρατηρείτε; δ) να διατυπώσετε έναν ή περισσότερους κανόνες»
Πρόταση Οµάδας 2: « α)Να κατασκευάσετε ένα τµήµα ΑΒ και ένα τµήµα ΑΓ, από το Β να φέρετε παράλληλη προς την ΑΓ και από το Γ παράλληλη προς την ΑΒ. Να σηµειώσετε το σηµείο τοµής Δ. β) Να σύρετε το σηµείο Α και να παρατηρήσετε τις απέναντι πλευρές. Να κάνετε µία εικασία για την σχέση που έχουν. γ) Να επιβεβαιώσετε ή να απορρίψετε την εικασία µετρώντας τις πλευρές του
παραλληλογράµµου. δ) Να διατυπώσετε έναν κανόνα»
Από τα παραπάνω προκύπτει ( Επιλέξτε τη σωστή απάντηση):
- Η πρώτη οµάδα έχει καλύτερη παιδαγωγική και διδακτική προσέγγιση αφού καλύπτει, εκτός από τις ιδιότητες, και τα κριτήρια των παραλληλογράµµων.
- Η δεύτερη οµάδα δεν έχει σωστή εκτίµηση του χρόνου και θα καθυστερήσει πολύ κατά την υλοποίηση της δραστηριότητας.
- Η δεύτερη οµάδα έχει κατασκευάσει µία δραστηριότητα που ανταποκρίνεται στις ανάγκες και τις δυνατότητες των µαθητών.
- Η πρώτη οµάδα γνωρίζει καλύτερα την ύλη του βιβλίου που αναφέρεται στο παραλληλόγραµµο και τις ιδιότητές του.
Παραλαµβάνετε προς κρίση ένα σενάριο το οποίο έχει κατασκευάσει ένας υποψήφιος επιµορφωτής. Το σενάριο αναφέρεται στις συναρτήσεις και
συγκεκριµένα στις πολλαπλές αναπαραστάσεις τους. Απευθύνεται σε µαθητές Λυκείου και προτείνει το λογισµικό Function Probe για την υλοποίησή του.
Δύο παράγραφοι του σεναρίου είναι οι παρακάτω:
Βασική ιδέα: «Αν διαθέτουµε την γραφική παράσταση (παραβολή) της σχέσης δύο ποσών τότε µπορούµε να επιχειρήσουµε τον εντοπισµό της αλγεβρικής τους σχέσης, δηλαδή ενός τύπου (τριωνύµου), αποκόπτοντας σηµεία από την παράσταση και αποστέλλοντάς τα σε έναν πίνακα τιµών».
Ποια προστιθέµενη αξία δεν είναι συµβατή µε την βασική ιδέα του σεναρίου;
Προστιθέµενη αξία:
- Το σενάριο δηµιουργεί προϋποθέσεις διερεύνησης
- Το σενάριο προτείνει την χρήση της γραφικής παράστασης για τον εντοπισµό της σχέσης κάτι που είναι δύσκολο σε ένα συµβατικό µάθηµα
- Το σενάριο χρησιµοποιεί την τεχνολογία για να πραγµατοποιήσει µετρήσεις αποστάσεων
- Το σενάριο εµπλέκει τους µαθητές σε χρήση δυναµικά διασυνδεδεµένων αναπαραστάσεων.
Σε ένα σενάριο η βασική ιδέα είναι η εξής:
«Η κατασκευή δυναµικής προσοµοίωσης µιας σκάλας, όπως αυτή που φαίνεται στην εικόνα, απαιτεί αρκετές αφαιρέσεις αλλά και χρήση αρκετών µαθηµατικών εννοιών»

Θέλετε να συµπληρώσετε τις παραγράφους που αναφέρονται στα τεχνολογικά εργαλεία (Τ.Ε) και τις εµπλεκόµενες µαθηµατικές έννοιες (Μ.Ε).
Οι παράγραφοι αυτές θα έπρεπε να συµπληρωθούν ως εξής ( Επιλέξτε τη σωστή απάντηση):
- Τ.Ε: Το λογισµικό Cabri
  M.E: Θεώρηµα των διαµέσων.
- Τ.Ε: Το λογισµικό Function Probe
  M.E: Οµοιότητα και αναλογίες.
- Τ.Ε: Το λογισµικό ‘Modellus’
  M.E: Πυθαγόρειο θεώρηµα.
- Τ.Ε: Το λογισµικό ‘Χελωνόκοσµος’
  M.E: Οµοιότητα και αναλογίες.
Η επιµόρφωση των καθηγητών βρίσκεται προς το τέλος και ένας επιµορφούµενος (Α) επισκέπτεται και πληροφορεί τον επιµορφωτή του (Ε) ότι έχει έτοιµο ένα σενάριο για την διδασκαλία της συµµετρίας στο Γυµνάσιο. Ο επιµορφωτής του ζητά να του το αναλύσει µε συντοµία οπότε ακολουθεί ο εξής διάλογος:
Α: «Θα χρησιµοποιήσω την δυνατότητα του λογισµικού Sketchpad κατασκευάζει τα συµµετρικά σχηµάτων ως προς άξονα ( ανάκλαση ενός σχήµατος) και θα ζητήσω από τους µαθητές να κατασκευάσουν συµµετρικά διαφόρων σχηµάτων»
Ε: «Τι στόχους θα βάλεις;»
Α: «Να βρουν οι µαθητές το συµµετρικό του κύκλου και του παραλληλογράµµου»
Ε: «Και τι το χρειάζεσαι το λογισµικό τότε;»
Α: «Έτσι θα καταλάβουν καλύτερα την συµµετρία»
Ε «Γιατί;»
Α: «Γιατί µε το µολύβι και τον χάρακα µπερδεύονται και δεν ξέρουν που να φέρουν την κάθετη και τα σχήµατα δεν βγαίνουν ακριβώς, άσε που όλη την ώρα σβήνουν τα λάθη και γίνονται µουτζούρες»
Ε: «Και αυτός είναι ο βασικός λόγος για να χρησιµοποιήσεις λογισµικό;»
Α: «Υπάρχει και ένας άλλος, µε το λογισµικό τα συµµετρικά γίνονται αµέσως οπότε δεν καθυστερούν σε άσκοπες ενέργειες»
Από τον παραπάνω διάλογο προκύπτει µε σαφήνεια ότι:
- Ο επιµορφούµενος έχει αποκτήσει την κατάλληλη παιδαγωγική αντίληψη για την αποτελεσµατική χρήση των ψηφιακών εργαλείων ιδιαίτερα στην θεµατική ενότητα της συµµετρίας.
- Ο επιµορφούµενος χρειάζεται επιπλέον επιµόρφωση εστιασµένη στις λειτουργίες του λογισµικού sketchpad.
- Ο επιµορφούµενος είναι έτοιµος να κατασκευάζει διδακτικές προτάσεις και σενάρια πάνω σε οποιοδήποτε θέµα της γεωµετρίας µε το λογισµικό sketchpad.
- Τίποτε από τα προηγούµενα.
Είστε επιµορφωτής και την ώρα που διαπραγµατεύεστε µε τους επιµορφούµενούς σας το σενάριο «Σκιτσάροντας παραλληλόγραµµα» και τον
τρόπο που αυτό υλοποιείται µε τον Χελωνόκοσµο ένας από αυτούς αµφισβητεί την προστιθέµενη αξία του σεναρίου εκφράζοντας την εξής άποψη: «Με τον τρόπο που προσεγγίζεται η έννοια του παραλληλογράµµου ανατρέπεται ο ορισµός του καθώς δεν υπάρχει πουθενά στον κώδικα η έννοια της παραλληλίας των απέναντι πλευρών». Ποια από τις παρακάτω προτάσεις εκφράζει την καλύτερη απάντηση στις αιτιάσεις του επιµορφούµενου;
- Πράγµατι, εδώ έχουµε ένα διαφορετικό ορισµό του παραλληλογράµµου ο οποίος βασίζεται στα µήκη των απέναντι πλευρών και γωνιών. Yστόσο δεν υπάρχει πρόβληµα αφού ο ορισµός αυτός είναι κατά κάποιο τρόπο ισοδύναµος αυτού που ισχυρίζεται ο επιµορφούµενος.
- Αν και ο ορισµός που προκύπτει µέσω του τρόπου σχεδίασης του παραλληλογράµµου είναι διαφορετικός, δεν αναµένεται να έχει ουσιαστικό αντίκτυπο στην µάθηση της έννοιας του παραλληλογράµµου αφού και στις δυο περιπτώσεις προκύπτει το ίδιο σχήµα µε τις ίδιες ιδιότητες.
- Αυτό που ενδιαφέρει στο σενάριο δεν είναι ο ορισµός του παραλληλογράµµου αλλά το γεγονός ότι οι µαθητές µέσω των πειραµάτων που κάνουν προσεγγίζουν οι ίδιοι τις ιδιότητές του και τις εκφράζουν στον κώδικα πετυχαίνοντας τον απρόσκοπτο δυναµικό χειρισµό του µέσω των ελάχιστων δυνατών µεταβλητών.
Κατά τη διδασκαλία του σεναρίου «Κατασκευή Αλφαβήτου», που υλοποιείται µε το λογισµικό Αβάκιο- Μικρόκοσµος Χελωνόκοσµου, καλείστε ως επιµορφούµενοι να συµπληρώσετε µια παράγραφο για την προστιθέµενη αξία του σεναρίου. Ποια από τις παρακάτω απόψεις εκφράζει καλύτερα την προστιθέµενη αξία;
- Η προστιθέµενη αξία έγκειται στο γεγονός ότι οι µαθητές µαθαίνουν να κατασκευάζουν µια γραµµατοσειρά έτσι ώστε να µπορούν να µεταβάλουν οµοιόµορφα το µέγεθός της.
- Η προστιθέµενη αξία έγκειται στο γεγονός ότι οι µαθητές κάνουν πειράµατα κατασκευής των 24 γραµµάτων εµπλέκοντας σε αυτά έννοιες των µαθηµατικών όπως την οµοιότητα και την µεταβλητή.
- Η προστιθέµενη αξία έγκειται στο γεγονός ότι οι µαθητές εµπλέκονται συνεργατικά στην κατασκευή της Αλφαβήτου κάνοντας χρήση µόνο µιας µεταβλητής ώστε να µπορούν να την µεταβάλλουν.
Στη διάρκεια της διδασκαλίας του σεναρίου «Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο», που υλοποιείται µε το Cabri II, ένας επιµορφούµενος εκφράζει την εξής αντίρρηση: «Το λογισµικό τελικά δεν προσφέρει κάτι ιδιαίτερο αφού το «ψηφιακό» τρίγωνο θα µπορούσε να αντικατασταθεί µε ένα «συρµάτινο» και µάλιστα µεταβαλλόµενης βάσης και σταθερών ίσων πλευρών.» Ποια από τις παρακάτω απαντήσεις σε αυτή την αντίρρηση εκφράζει καλύτερα την αναγκαιότητα στου λογισµικού;
- Το λογισµικό επιτρέπει στον µαθητή να µετρά το µήκος της βάσης και το εµβαδόν πολλών τριγώνων και να τα συσχετίζει µέσω της γραφικής αναπαράστασής τους.
- Με το λογισµικό ο µαθητής µπορεί να κατασκευάζει όσα ισοσκελή τρίγωνα θέλει και να πειραµατίζεται µε τη σχέση της βάσης και του εµβαδού.
- Με το «συρµάτινο» τρίγωνο δεν είναι εύκολο να µετρά ο µαθητής το εµβαδόν του και να το συσχετίζει µε το µήκος της βάσης.
Είστε επιµορφωτής και στη διάρκεια της επιµόρφωσης ένας επιµορφούµενος εκπαιδευτικός εκφράζει την άποψη ότι το σενάριο «Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο», που υλοποιείται µε το Cabri II ή το SketchPad, δεν είναι χρήσιµο για την διδασκαλία της συµµετρίας ως προς άξονα καθώς οι µαθητές δεν γνωρίζουν από την αρχή τις ιδιότητες µε τις οποίες προκύπτει το ένα σχήµα από το άλλο και δεν µπορούν έτσι να προσεγγίσουν την έννοια. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις θα επιλέγατε ως καταλληλότερη για να δικαιολογήσετε την αντίθετη άποψη;
- Σύµφωνα µε το σενάριο οι µαθητές καλούνται να σχεδιάσουν οι ίδιοι στο Cabri II ή στο Sketchpad ένα ίδιο σχήµα. Άρα µέσω της λύσης του προβλήµατος αυτού θα πειραµατιστούν και θα προσεγγίσουν την έννοια και τις ιδιότητες της αξονικής συµµετρίας.
- Σύµφωνα µε το σενάριο οι µαθητές καλούνται πρώτα να διερευνήσουν τις ιδιότητες του δεδοµένου σχήµατος και στη συνέχεια να κατασκευάσουν ένα νέο µε τις ίδιες ιδιότητες. Άρα από την διερεύνηση θα προσεγγίσουν µερικές από τις ιδιότητες της αξονικής συµµετρίας.
- Στο σενάριο προβλέπεται µια λεπτοµερής διδασκαλία µέσω της οποίας οι µαθητές καθοδηγούµενοι από φύλλο εργασίας και τον εκπαιδευτικό θα µπορούν να προσεγγίσουν την έννοια αρχικά διαισθητικά και στη συνέχεια να την εφαρµόσουν στη δική τους κατασκευή.
Είστε επιµορφωτής και στη διάρκεια της επιµόρφωσης ένας επιµορφούµενος εκπαιδευτικός σας ζητά να του πείτε πώς πρέπει να προσαρµόσει το σενάριο «Εµβαδόν παραβολικού οικοπέδου», που υλοποιείται µε το λογισµικό Geogebra, ώστε να το διδάξει στους µαθητές τους µε τη βοήθεια ενός υπολογιστή και βιντεοπροβολέα. Ποιες από τις παρακάτω συµβουλές είναι η πληρέστερη;
- Του προτείνετε αφού ενηµερώσει τους µαθητές για το σενάριο να τους µοιράσει τα φύλλα εργασίας και να τους καλέσει να τα συµπληρώσουν κατά τη διάρκεια της παρουσίασης.
- Του προτείνετε να επέµβει στο σενάριο και στο φύλλο εργασίας έτσι ώστε να αντικαταστήσει τα ρήµατα που σχετίζονται µε την δράση τους στον υπολογιστή µε ρήµατα που σχετίζονται µε την παρατήρηση στην παρουσίαση.
- Του προτείνετε να προσαρµόσει το σενάριο λαµβάνοντας υπόψη τις δεσµεύσεις του επιβάλει η παρουσία ενός υπολογιστή για όλους και να σχεδιάσει τα φύλλα εργασία από την αρχή ώστε να ενισχύσει τον διάλογο της τάξης.
Υποθέστε ότι επιλέγεστε ως επιµορφωτής και στη διάρκεια ενός µαθήµατος ένας εκπαιδευτικός εκφράζει την εξής άποψη για την αξία των εκπαιδευτικών λογισµικών των µαθηµατικών: «Εγώ δεν πιστεύω ότι οι υπολογιστές έχουν να προσφέρουν κάτι ιδιαίτερα θετικό στη µάθηση των µαθηµατικών. Πρώτον διότι µαθαίνω µαθηµατικά σηµαίνει µαθαίνω απόδειξη και δεύτερον διότι χάνεται πολύτιµος χρόνος στο εργαστήριο και
καθυστερεί η διεκπεραίωση της ύλης του αναλυτικού προγράµµατος. Μπορείτε να µε πείσετε για την αξία τους;»
Ποια από τις παρακάτω ενέργειες θεωρείτε την περισσότερο ενδεδειγµένη για να πείσετε τον εκπαιδευτικό;
- Θα συµφωνούσατε εν µέρει µαζί του αλλά θα υποστηρίζατε την άποψη ότι στον 20ο αιώνα, στην εποχή της ταχύτητας οι µαθητές πρέπει να χρησιµοποιούν την τεχνολογία στα µαθηµατικά για να λύνουν γρήγορα και αυτόµατα τα προβλήµατα που τους τίθενται κάτι το οποίο επίσης θα βοηθούσε στη γρήγορη διεκπεραίωση του αναλυτικού προγράµµατος.
- Θα διαφωνούσατε ριζικά µαζί του υποστηρίζοντας την άποψη ότι το κατάλληλα σχεδιασµένο εκπαιδευτικό λογισµικό διαθέτει εργαλεία τα οποία βοηθούν στην έκφραση της διαισθητικής γνώσης των παιδιών και αυτό είναι που έχει σηµασία και όχι η διεκπεραίωση του αναλυτικού προγράµµατος.
- Θα αναλύατε τις διαφορές στη µάθηση που πραγµατοποιείται σε µια παραδοσιακή τάξη και σε µια τάξη που χρησιµοποιείται κατάλληλα σχεδιασµένο εκπαιδευτικό λογισµικό και θα δίνατε έµφαση στην εκµετάλλευση της έκφρασης των διαισθητικών απόψεων των µαθητών για µαθηµατικές έννοιες ως στέρεα βάση για την παραπέρα ανάπτυξη της αποδεικτικής διαδικασίας. Στη συνέχεια θα του δίνατε την ευθύνη για την ανάπτυξη της προσωπικής του προσέγγισης στη διδασκαλία των µαθηµατικών στα πλαίσια του υπάρχοντος αναλυτικού προγράµµατος σπουδών.
Υποθέστε ότι επιλέγεστε ως επιµορφωτής και στη διάρκεια ενός µαθήµατος ένας εκπαιδευτικός εκφράζει την εξής άποψη για την αξία των εκπαιδευτικών λογισµικών των µαθηµατικών:
«Εγώ πιστεύω ότι οι υπολογιστές στη διδασκαλία των µαθηµατικών είναι µια απάτη διότι µε τις αυτόµατες µετρήσεις και τις πινακοποιήσεις λόγω των αριθµητικών προσεγγίσεων που χρησιµοποιούνται σε ορισµένα λογισµικά (όπως τα συστήµατα Δυναµικής Γεωµετρίας) ορισµένα θεωρήµατα φαίνονται ότι δεν ισχύουν όπως για παράδειγµα το πυθαγόρειο θεώρηµα και το θεώρηµα Θαλή. Φαίνεται επίσης ότι η Γεωµετρία µετατρέπεται σε Άλγεβρα και χάνεται το στοιχείο της απόδειξης. Μπορείτε εσείς να µε πείσετε για την αξία τους;»
Ποιο από τα παρακάτω επιχειρήµατα θεωρείτε ως περισσότερο κατάλληλο για να πείσετε τον εκπαιδευτικό;
- Θα διαφωνούσα µαζί του και θα υποστήριζα ότι σήµερα στην εποχή των υπολογισµών και των υπολογιστών τα πάντα πρέπει να είναι µετρήσιµα και επεξεργάσιµα. Έτσι λοιπόν καλό είναι όλοι οι µαθητές να στρέφονται από νωρίς προς αυτή την προσέγγιση και να αφήνουν την κλασσική Γεωµετρία για τους φοιτητές των µαθηµατικών τµηµάτων. Αυτό εξάλλου διαφαίνεται ως ένα βαθµό και από το υπάρχον αναλυτικό πρόγραµµα όπου η σηµασία της απόδειξης φθίνει συνεχώς.
- Θα εστίαζα την προσοχή του εκπαιδευτικού στο τι θα κερδίσουν οι µαθητές από τη µελέτη ενός θεωρήµατος στο πλαίσιο των πολλαπλών και διασυνδεδεµένων δυναµικών αναπαραστασιακών συστηµάτων τα οποία δύνανται να χρησιµοποιούνται από ένα κατάλληλα σχεδιασµένο εκπαιδευτικό λογισµικό. Τέτοια δυναµικά συστήµατα είναι, η γεωµετρική κατασκευή, οι µετρήσεις, οι πινακοποιηµένες µετρήσεις, οι γραφικές παραστάσεις και οι δυναµικές αναπαραστάσεις βιωµατικών καταστάσεων της καθηµερινής ζωής. Στη συνέχεια θα τον ρωτούσα αν µπορεί και αυτός µε απόλυτο τρόπο να επιχειρηµατολογήσει για την ισότητα τµηµάτων, όγκων ή εµβαδών και θα προσπαθούσα να τον βοηθήσω να κάνει συνδέσεις µεταξύ της µέτρησης και της προσέγγισης και πως αυτό θα µπορούσε να βοηθήσει τους µαθητές του να αποκτήσουν µια ευρύτερη αντίληψη για την ισότητα και το λόγο στη Γεωµετρία. Ακόµη θα έδινα την προοπτική της
  µάθησης της αποδεικτικής διαδικασίας ύστερα από την τεκµηρίωση των υποθέσεων των µαθητών µε θεωρητικά άπειρα εµπειρικά δεδοµένα.
- Θα συµφωνούσα εν µέρει µαζί του αλλά θα υποστήριζα ότι το εκπαιδευτικό λογισµικό όπως τα συστήµατα Δυναµικής Γεωµετρίας αφορούν στη µάθηση των µαθηµατικών από παιδιά µικρής ηλικίας που δεν χρειάζεται να µαθαίνουν αποδείξεις ούτε να έχουν αυστηρότητα στη διατύπωση µαθηµατικών εννοιών.
Υποθέστε ότι επιλέγεστε ως επιµορφωτής και στη διάρκεια ενός µαθήµατος ένας εκπαιδευτικός εκφράζει την εξής άποψη για την αξία των εκπαιδευτικών λογισµικών των µαθηµατικών: «Εγώ πιστεύω ότι η ικανότητα για τα µαθηµατικά είναι έµφυτη σε ορισµένους µαθητές. Κακά είναι τα ψέµατα, δεν µπορούν να µάθουν όλοι µαθηµατικά. Τα µαθηµατικά µε τους υπολογιστές γίνονται κατάλληλα για µικρά παιδιά. Πως τα
παιδιά θα µάθουν τα µαθηµατικά που χρειάζονται για να περάσουν στο Πανεπιστήµιο; Τι µπορείτε εσείς να πείτε για όλα αυτά;»
Ποιο από τα παρακάτω επιχειρήµατα θεωρείτε ως περισσότερο κατάλληλο για να πείσετε τον εκπαιδευτικό;
- Θα τόνιζα ότι η ικανότητα στα µαθηµατικά συνδέεται µε το είδος των εργαλείων και των αναπαραστασιακών συστηµάτων που χρησιµοποιούνται και θα έφερνα παραδείγµατα από διάφορες έρευνες. Θα συµπλήρωνα επίσης ότι στόχος του εκπαιδευτικού πρέπει να είναι να γίνονται µαθηµατικά για όλους και ότι µέσα σε αυτό το πλαίσιο ο ρόλος της τεχνολογίας είναι κρίσιµος.
- Θα συµφωνούσα µε τον εκπαιδευτικό τονίζοντας όµως ότι αυτοί οι µαθητές που είναι πράγµατι καλοί πρέπει από νωρίς να µάθουν να χρησιµοποιούν την τεχνολογία ως εργαλείο και τα διάφορα λογισµικά για τη µάθηση των µαθηµατικών µιας και είναι ένα τόσο µοντέρνο εγχείρηµα ώστε να αποκτήσουν γνώσεις Πληροφορικής που θα τους είναι τόσο χρήσιµες σε αυτό το σύγχρονο κόσµο που ζούµε.
- Θα συµφωνούσα µε τον εκπαιδευτικό τονίζοντας όµως ότι το εκπαιδευτικό λογισµικό µπορεί να χρησιµοποιηθεί ορισµένες µόνο φορές κυρίως για να κάνει τους αδύνατους µαθητές να µην πλήττουν.
Υποθέστε ότι επιλέγεστε ως επιµορφωτής και στη διάρκεια ενός µαθήµατος ένας εκπαιδευτικός εκφράζει την εξής άποψη για την αξία των εκπαιδευτικών λογισµικών των µαθηµατικών: «Εγώ είµαι πολύ µεγάλος και έχω ένα συγκεκριµένο και δοκιµασµένο τρόπο να διδάσκω µαθηµατικά. Ακολουθώ πιστά το βιβλίο, έχω και εξωσχολικά βοηθήµατα και έχω βάλει τόσα παιδιά στο Πανεπιστήµιο. Οι υπολογιστές είναι κάτι καινούργιο για µένα και δεν έχω πειστεί για την αξία τους σε σχέση µε τη διδασκαλία των µαθηµατικών. Μπορείτε εσείς να µε πείσετε για την αξία τους;»
Ποιο από τα παρακάτω επιχειρήµατα θεωρείτε ως περισσότερο κατάλληλο για να πείσετε τον εκπαιδευτικό;
- Δεν είπε κανένας να αλλάξετε τον τρόπο που διδάσκετε. Όµως, είναι καλό να µάθετε κάτι καινούργιο όπως το εκπαιδευτικό λογισµικό στη διδασκαλία των µαθηµατικών γιατί αφενός µεν θα βελτιώσετε τις γνώσεις σας και αφετέρου το επίπεδο των σηµειώσεών σας διότι θα µπορείτε να φτιάχνετε υπέροχα σχήµατα.
- Πραγµατικά σέβοµαι τις γνώσεις και την εµπειρία σας στη διδασκαλία των µαθηµατικών. Θεωρώ ότι µπορείτε να εξελίξετε αυτή τη γνώση και να δηµιουργήσετε εκπληκτικές µαθησιακές εµπειρίες για τους µαθητές σας γιατί η κατάλληλα σχεδιασµένη τεχνολογία σας παρέχει ακόµη περισσότερες δυνατότητες από το µαυροπίνακα και το τυπικό βιβλίο. Θα θέλατε να οργανώσουµε και να δοκιµάσουµε µια διδακτική παρέµβαση µαζί χρησιµοποιώντας τις δυνατότητες κάποιου εκπαιδευτικού λογισµικού;
- Πραγµατικά σέβοµαι τις γνώσεις και την εµπειρία σας στη διδασκαλία των µαθηµατικών. Θα ήθελα όµως να µε ακούσετε να σας αναλύσω διεξοδικά τα πλεονεκτήµατα της χρήσης τους και ελπίζω ότι στο τέλος θα έχετε πεισθεί.
Κατά την συγγραφή ενός σεναρίου από δύο εκπαιδευτικούς σχετικά µε την κατανόηση της έννοιας της µέτρησης και της διατήρησης της επιφάνειας, στο περιβάλλον Cabri-Geometry II ή του SketchPad, αποφασίστηκε ότι στο τµήµα που αναφέρεται στους µαθησιακούς στόχους του σεναρίου θα συµπεριληφθούν οι παρακάτω στόχοι:
Αναφέρατε ποιοι από τους παρακάτω στόχους είναι κατά τη γνώµη σας κατάλληλοι για την κατανόηση της έννοιας της µέτρησης και της διατήρησης της επιφάνειας;
[ΑΦΟΥ ΚΑΝΕΤΕ ΤΙΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΣΑΣ ΠΑΤΗΣΤΕ ΕΛΕΓΧΟΣ]
1. Να χειριστούν δυναµικά οι µαθητές τα σχήµατα σε συνδυασµό µε τις αυτόµατες µετρήσεις επιφάνειας και περιµέτρου προκειµένου να εντοπίσουν περιπτώσεις ίσων επιφανειών µε διαφορετική µορφή και έτσι να κατανοήσουν την έννοια της διατήρησης της επιφάνειας
2. Να µεταφέρουν τη σχολική γνώση των τύπων υπολογισµού του εµβαδού στο περιβάλλον του λογισµικού και να έχουν γρήγορα αποτελέσµατα χρησιµοποιώντας τη λειτουργία του περιβάλλοντος Cabri-Geometry II ‘Υπολογισµός’.
3. Να κατανοήσουν σε βάθος τις λειτουργίες του περιβάλλοντος Cabri-Geometry II και τη φύση των υπολογιστικών αντικειµένων που
  χρησιµοποιούνται.
4. Να χειριστούν δυναµικά οι µαθητές τα σχήµατα σε συνδυασµό µε τις αυτόµατες µετρήσεις επιφάνειας και περιµέτρου προκειµένου να εντοπίσουν περιπτώσεις σχηµάτων µε διαφορετικές επιφάνειες και περιµέτρους ή µε ίσες επιφάνειες και περιµέτρους και έτσι να κατανοήσουν ότι η περίµετρος και η επιφάνεια είναι διαφορετικές έννοιες.
5. Να συνδέσουν την έννοια της επιφάνειας µε τη διαδικασία κατασκευής µακροεντολών στο περιβάλλον Cabri-Geometry II.

ΕΙΔΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΚΛΑΔΟΥ ΠΕ 03

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 51-100