Άσκηση
Δίνεται η καμπύλη ψ=χ3+χ2
και η ευθεία ψ=5χ-3 Βρείτε τα σημεία που η ευθεία τέμνει την καμπύλη
Τα σημεία αυτά είναι ρίζες της εξίσωσης χ3+χ2 -5χ+3 =0;
Λύση
Εκεί που τέμνονται έχουν το ίδιο ψ, οπότε λύνοντας το σύστημά
τους
καταλήγουμε στην χ3+χ2 -5χ+3 =0 που εύκολα (Horner)
δίνει χ=1 διπλή ρίζα και χ=-3
άρα τα σημεία Α(1,2) και Β(-3,-18) είναι τα κοινά τους σημεία.
'Όπως θα φανεί και από την παρακάτω γραφική λύση το Α (διπλή ρίζα στο 1) είναι
σημείο επαφής
και το Β (απλή ρίζα) σημείο τομής
Γενικά όταν λύνουμε το (Σ) δύο γραφικών παραστάσεων και
βρίσκουμε χ=ρ τουλάχιστον διπλή ρίζα
τότε στο σημείο αυτό οι δύο καμπύλες εφάπτονται
Στις παραγώγους αυτό διαπιστώνεται με την σχέση
f(ρ)=
f΄(ρ)=0
f(x)=χ3+χ2
-5χ+3 τότε f΄(x)=3χ2+2χ-5
και είναι f(1)=
f΄(1)=0