Το Πυθαγόρειο θεώρημα

nanik78 on 14 Ιανουαρίου 2019

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ή θεώρημα του Πυθαγόρα στα μαθηματικά, είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίαςανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».
Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».

Το θεώρημα μπορεί να γραφεί ως εξίσωση συσχετίζοντας τα μήκη των πλευρών α,β και γ, που ονομάζεται πυθαγόρεια εξίσωση:

{\displaystyle {\gamma }^{2}+{\beta }^{2}={\alpha }^{2}}

, (όπου β και γ τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και α το μήκος της υποτείνουσας)

Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ’ άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι’ αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».

Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση).Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από την Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το, επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες και το σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο και αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πριν. Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί με πολλούς τρόπους, σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σε μη Ευκλείδειους χώρους, σε μη ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα και σε ν-διάστατα στερεά.

Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Οι αλλαγές στο Λύκειο

nanik78 on 14 Ιανουαρίου 2019

Τη μείωση των μαθημάτων στην οποία θα εξετάζονται οι μαθητές του Λυκείου ανακοίνωσε το υπουργείο Παιδείας.

Βάσει αυτού, οι μαθητές Γενικών και Εσπερινών της Α’ Λυκείου ΓΕΛ κα θα εξετάζονται σε 8 από τα 13 μαθήματα και οι μαθητές της Β’ Λυκείου σε 6 από τα 16. Από την άλλη, οι μαθητές της Γ’ τάξης Γενικού Ημερήσιου Λυκείου θα εξετάζονται γραπτώς σε 4 μαθήματα. Παράλληλα, οι μαθητές του Εσπερινού, το οποίο είναι τετραετούς φοίτησης, θα έχουν 6 μαθήματα στην Γ΄ τάξη και 4 στην Δ’ τάξη.

Οι τροποποιήσεις στην αξιολόγηση των μαθητών θα περιλαμβάνονται στο νέο Προεδρικό Διάταγμα που θα εκδοθεί.

Αναλυτικά:

Α΄ Ημερήσιου και Α΄ Εσπερινού ΓΕΛ: Μείωση εξεταζόμενων μαθημάτων σε 8 από 13 

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα Γενικής Παιδείας που εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Ελληνική Γλώσσα (Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία και τρίωρη συνεξέταση των κλάδων Νέα Ελληνική Γλώσσα και Νέα Ελληνική Λογοτεχνία),
  2. Μαθηματικά (Άλγεβρα και Γεωμετρία),
  3. Ιστορία,
  4. Φυσικές Επιστήμες (μόνο οι κλάδοι Φυσική και Χημεία),
  5. Πολιτική Παιδεία (Οικονομία, Πολιτικοί Θεσμοί & Αρχές Δικαίου και Κοινωνιολογία)

Η ομάδα Β’ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας και τα μαθήματα Επιλογής, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις.

Β΄ Ημερήσιου και Β΄ Εσπερινού ΓΕΛ: Μείωση εξεταζόμενων μαθημάτων σε 6 από 16 στο Ημερήσιο και από 14 στο Εσπερινό 

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα που εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Γενικής Παιδείας
  2. Ελληνική Γλώσσα (μόνο οι κλάδοι Νέα Ελληνική Γλώσσα και Νέα Ελληνική Λογοτεχνία σε τρίωρη συνεξέταση),
  3. Ιστορία,
  4. Φυσικές Επιστήμες (μόνο ο κλάδος Βιολογία),
  5. Μαθηματικά (μόνο ο κλάδος Άλγεβρα για τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών),
  6. Σύγχρονος Κόσμος: Πολίτης και Δημοκρατία (μόνο για τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών),

και τα μαθήματα Ομάδων Προσανατολισμού. 

Η ομάδα Β’ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις.

Γ΄ Εσπερινού ΓΕΛ (4ετούς φοίτησης): 6 εξεταζόμενα μαθήματα

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα που εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Γενικής Παιδείας
  2. Ελληνική Γλώσσα (μόνο οι κλάδοι Νέα Ελληνική Γλώσσα και Νέα Ελληνική Λογοτεχνία σε τρίωρη συνεξέταση)
  3. Φυσικές Επιστήμες (μόνο ο κλάδος Βιολογία)
  4. Μαθηματικά (μόνο ο κλάδος Άλγεβρα για τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών)
  5. Σύγχρονος Κόσμος: Πολίτης και Δημοκρατία (μόνο για τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών)

και τα μαθήματα Ομάδων Προσανατολισμού.

Η ομάδα Β΄ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις.

Γ΄ τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου: 4 εξεταζόμενα μαθήματα

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα Γενικής Παιδείας που εξετάζονται γραπτώς στις απολυτήριες εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Νέα Ελληνικά (με κλάδους τη Νεοελληνική Γλώσσα και τη Νεοελληνική Λογοτεχνία σε τρίωρη συνεξέταση),
  2. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής,
  3. Ιστορία και
  4. Βιολογία.

Η ομάδα Β’ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας, τα μαθήματα Ομάδων Προσανατολισμού και τα μαθήματα Επιλογής, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις απολυτήριες εξετάσεις.

Δ΄ τάξη Εσπερινού Γενικού Λυκείου: 4 εξεταζόμενα μαθήματα

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα Γενικής Παιδείας που εξετάζονται γραπτώς στις απολυτήριες εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Νέα Ελληνικά (με κλάδους τη Νεοελληνική Γλώσσα και τη Νεοελληνική Λογοτεχνία σε τρίωρη συνεξέταση),
  2. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής,
  3. Ιστορία και
  4. Βιολογία.

Η ομάδα Β’ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας και τα μαθήματα Ομάδων Προσανατολισμού, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις απολυτήριες εξετάσεις.

Σημειώνεται, τέλος, ότι σε όλες τις τάξεις του Ημερησίου και του Εσπερινού Γενικού Λυκείου διενεργούνται στα μαθήματα όλων των Ομάδων δύο υποχρεωτικές ωριαίες γραπτές δοκιμασίες, μία κατά τη διάρκεια του πρώτου τετραμήνου και μία κατά τη διάρκεια του δεύτερου τετραμήνου με εξαίρεση τα μαθήματα Φυσική Αγωγή και Ερευνητικές δημιουργικές δραστηριότητες στα οποία δεν διενεργείται καμία γραπτή δοκιμασία.

Αν υπάρχει αντικειμενικό πρόβλημα, και η ωριαία γραπτή δοκιμασία του πρώτου τετραμήνου δεν πραγματοποιηθεί στο πρώτο τετράμηνο, τότε διενεργούνται και οι δύο ωριαίες γραπτές δοκιμασίες στο δεύτερο τετράμηνο

Η σημασία των πολυμέσων

nanik78 on 9 Ιανουαρίου 2019

Πολυμέσα

Κατά την διάρκεια αυτού του αιώνα οι τεχνολογικές πρόοδοι επέφεραν μια σημαντική μείωση στο κόστος παραγωγής και διανομής της πληροφορίας. Το γεγονός αυτό είχε ως συνέπεια τον πολλαπλασιασμό των τύπων και της ποσότητας της πληροφορίας στην οποία βρισκόμαστε εκτεθειμένοι. Μάλιστα, η αύξηση αυτή έχει φτάσει σε τέτοιους βαθμούς που ο αποτελεσματικός και οικονομικός χειρισμός της πληροφορίας αποτελεί καθοριστικό παράγοντα για την επιβίωση μιας επιχείρησης ή  ενός οργανισμού ή ακόμα και για την ασφάλεια ενός κράτους. Το πρόβλημα του αποτελεσματικού χειρισμού της πληροφορίας έχει τρεις πτυχές:

  • Πρώτα,  τίθεται το θέμα της αξιολόγησης της πληροφορίας και του φιλτραρίσματος της πιο χρήσιμης.
  • Στη συνέχεια, ζητούνται οικονομικά μέσα ταξινόμησης, αποθήκευσης και αναζήτησης των τεράστιων όγκων πληροφορίας που λαμβάνονται.
  • Τέλος, κάθε είδος πληροφορίας πρέπει να φτάνει μόνο σε αυτούς που τη χρειάζονται. Αναζητείται δηλαδή επιλεκτικότητα στη διανομή.

Τα πολυμέσα εισάγουν νέες μορφές απεικόνισης της πληροφορίας γεγονός που εμπεριέχει το κίνδυνο επιδείνωσης της κατάστασης. Παράλληλα όμως ανοίγουν και νέους ορίζοντες για την διαχείριση της πληροφορίας που μπορούν να αντισταθμίσουν τις αρνητικές αυτές συνέπειες. Ας δούμε γιατί.

Όπως ειπώθηκε στην αρχή, τα πολυμέσα ενοποιούν όλους του τύπους της πληροφορίας μέσω της ψηφιακής αναπαράστασης και τους θέτουν υπό τον έλεγχο του υπολογιστή. Έτσι είναι δυνατή η δημιουργία εφαρμογών που μπορούν να χειριστούν κάθε είδους πληροφορία με τρόπο αυτόματο και βελτιστοποιημένο όσον αφορά στο κόστος και στην ταχύτητα. Αυτές οι εφαρμογές υπάρχουν και δεν απευθύνονται μόνο στη νέα πληροφορία που δημιουργείται εξ΄ αρχής σε ψηφιακή μορφή, αλλά και στην ήδη υπάρχουσα που βρίσκεται σε χαρτί.

Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο τα πολυμέσα βοηθούν να αντεπεξέλθουμε σε αυτήν την πληροφοριακή υπερφόρτωση, είναι η διευκόλυνση της μετατροπής της πληροφορίας σε γνώση. Σε μια έρευνα που έγινε από τον Szuprowicz βρέθηκε ότι το 80% της γνώσης μας τη λαμβάνουμε μέσω της όρασης, το 11% μέσω της ακοής, το 3,5% μέσω της οσμής και το 1,5% μέσω της αφής και της γεύσης. Επίσης, συγκρατούμε το 20% αυτών που βλέπουμε, το 20% (Fetterman and Gupta) έως 30% (Szuprowisz) αυτών που ακούμε και το 40% έως 50% αυτών που ταυτόχρονα βλέπουμε και ακούμε. Δηλαδή από το πλήθος των εικόνων και ήχων στο οποίο βρισκόμαστε εκτεθειμένοι πολύ λίγα φτάνουν στην μακροπρόθεσμη μνήμη. Αντίθετα, φτιάχνοντας συστήματα πολυμέσων που αναπαριστούν την πληροφορία συνδυάζοντας εικόνα και ήχο, μπορούμε να διευκολύνουμε σε μεγάλο βαθμό τις διαδικασίες κατανόησης και απομνημόνευσης. Με αυτόν τον τρόπο έχει δοθεί μεγάλη ώθηση στις εφαρμογές  εκπαίδευσης μέσω υπολογιστή έναν από τομέα που όπως θα δούμε υπόσχεται πολλά για το μέλλον. Αλλά και οι κλασσικές εφαρμογές, π.χ. επεξεργασία κειμένου, λογιστικά φύλλα (spreadsheets) κλπ,  αποκτούν μεγαλύτερη ευχρηστία και αποτελεσματικότητα κάνοντας χρήση τεχνικών δανεισμένες από τα πολυμέσα. Έτσι, γίνεται πιο εύκολη η χρήση τους από ανθρώπους που αντιμετώπιζαν δυσκολίες προσαρμογής στη τεχνολογία των υπολογιστών.

Υπάρχουν βέβαια και πολλές εντελώς νέες εφαρμογές που στηρίζονται στα πολυμέσα σε συνδυασμό και με άλλες τεχνολογίες όπως η τηλεδιάσκεψη, η τηλεϊατρική, η εργασία από το σπίτι και οι τηλεαγορές.



Παρακάτω μπορείτε να δείτε μια σχετική εργασία σε σχέση με τη σημασία των πολυμέσων σε κινητές εφαρμογές.
Λήψη

Η επιστήμη των μαθηματικών… αλλιώς

nanik78 on 8 Ιανουαρίου 2019

«Τα μαθηματικά είναι η πηγή της διαχρονικής, βαθιάς γνώσης, η οποία φτάνει στην καρδιά όλων των πραγμάτων και ενώνει τους πάντες από όλους τους πολιτισμούς και τις ηπείρους στο πέρασμα των αιώνων».

Ο γάλλος πολυμαθής Henri Poincaré «είδε» στα μαθηματικά μια μεταφορά για το πώς λειτουργεί η δημιουργικότητα, ενώ ο Daniel Tammet, που πάσχει από το σύνδρομο savant, πιστεύει ότι τα μαθηματικά διευρύνουν τον κύκλο της ενσυναίσθησής μας, γράφει η Maria Popova στο brainpickings.org.

Πώς μπορεί λοιπόν ένα πεδίο τόσο ευρύ, με τόσο διαφορετικά οφέλη, τόσο πλούσια σε ανθρώπινη αξία να παραμένει «αποξενωμένο» από τόσους πολλούς ανθρώπους, οι οποίοι προκειμένου να εκτιμήσουν την ομορφιά του χρειάζεται να έχουν «μαθηματικό μυαλό»;

Σε αυτό το ερώτημα επιχειρεί να απαντήσει μέσα από τις σελίδες του βιβλίου του «Love and Math: The Heart of Hidden Reality» ο καταξιωμένος μαθηματικός Edward Frenkel.

Ο Frenkel προσπαθεί να αποκαλύψει τα μυστικά ενός «κρυφού, παράλληλου σύμπαντος ομορφιάς και κομψότητας, περίπλοκα συνυφασμένου με το δικό μας» βασιζόμενος στην ιδέα ότι τα μαθηματικά αποτελούν πολύτιμο μέρος της πολιτιστικής μας κληρονομιάς, όπως η τέχνη, η μουσική, η λογοτεχνία και όσα ακόμη η ανθρωπότητα θαυμάζει.

«Η μαθηματική γνώση δε συγκρίνεται με καμία άλλη γνώση. Ενώ η αντίληψή μας για το φυσικό κόσμο μπορεί πάντα να ανατραπεί, δεν ισχύει το ίδιο και για τις μαθηματικές αλήθειες. Είναι αντικειμενικές, επίμονες και αναγκαίες αλήθειες. Μια μαθηματική φόρμουλα ή ένα θεώρημα σημαίνει το ίδιο πράγμα σε όλους, όπου κι αν βρίσκονται –ανεξάρτητα από το φύλο, τη θρησκεία ή το χρώμα του δέρματος. Και θα σημαίνει το ίδιο πράγμα σε χιλιάδες χρόνια από τώρα. Το συναρπαστικό είναι ότι “ανήκουν σε όλους μας”. Κανείς δε μπορεί να πατεντάρει, να κατοχυρώσει ένα μαθηματικό τύπο. Δεν υπάρχει τίποτε πιο βαθύ και συναρπαστικό σε αυτόν τον κόσμο, που να είναι ταυτόχρονα τόσο άμεσα διαθέσιμο σε όλους. Το γεγονός ότι υπάρχει πραγματικά μια τέτοια δεξαμενή γνώσης είναι σχεδόν απίστευτο. Είναι πάρα πολύ πολύτιμα για να “ανήκουν” σε μια ξεχωριστή μειοψηφία. Ανήκουν σε όλους μας» γράφει.

Τα μαθηματικά μας βοηθούν ακόμη να άρουμε τις παρωπίδες μας και να σπάσουμε τα δεσμά των δικών μας προκαταλήψεων στην αναζήτηση της αλήθειας, αναφέρει το δημοσίευμα.

«Η ουσία των μαθηματικών έγκειται στην ελευθερία τους. Μας μαθαίνουν πώς να αναλύουμε αυστηρά την πραγματικότητα, να μελετούμε τα γεγονότα και να τα ακολουθούμε, όπου αυτά μας οδηγούν. Μας ελευθερώνουν από δόγματα και προκαταλήψεις και καλλιεργούν την ικανότητα για καινοτομία» είχε γράψει ο Georg Cantor, δημιουργός της θεωρίας του απείρου.

Προκειμένου να εξηγήσει γιατί υπάρχει αυτή η αποστροφή προς τα μαθηματικά, την οποία χαρακτηρίζει ως «προϊόν της μεροληψίας του πολιτισμού μας και όχι της εγγενούς ιδιοτροπίας/παραξενιάς των μαθηματικών», ο Frenkel λέει το εξής:

«Πώς θα σας φαινόταν αν στο μάθημα καλλιτεχνικών στο σχολείο σας μάθαιναν μόνο πώς να βάφετε ένα φράχτη; Αν δε βλέπατε ποτέ τους πίνακες του Λεονάρντο ντα Βίντσι και του Πικάσο; Θα εκτιμούσατε την τέχνη; Θα θέλατε να μάθετε περισσότερα γι’ αυτήν; Αμφιβάλλω. Πιο πιθανό είναι να λέγατε κάτι σαν: “Τα καλλιτεχνικά στο σχολείο ήταν χάσιμο χρόνο. Αν χρειαστεί ποτέ να βάψω το φράχτη μου, θα προσλάβω κάποιον για να το κάνει”. Μπορεί να σας ακούγεται περίεργο το παράδειγμα, αλλά έτσι ακριβώς διδάσκονται τα μαθηματικά στο σχολείο. Στα μάτια των περισσοτέρων είναι σαν το μάθημα με τη μπογιά στο φράχτη. Κι ενώ οι συγκλονιστικές δημιουργίες των μεγάλων καλλιτεχνών είναι άμεσα διαθέσιμες, δε συμβαίνει το ίδιο και με τις εργασίες των μεγάλων δασκάλων των μαθηματικών».

Και συνεχίζει: «Υπάρχει μια κοινή πλάνη ότι πρέπει κανείς να μελετά μαθηματικά για χρόνια για να φτάσει σε σημείο να τα εκτιμήσει. Ορισμένοι μάλιστα πιστεύουν ότι πολλοί άνθρωποι έχουν μια έμφυτη αδυναμία σε ό,τι αφορά τα μαθηματικά. Διαφωνώ: οι περισσότεροι από εμάς έχουμε ακούσει και έχουμε τουλάχιστον στοιχειώδη γνώση ή κατανόηση εννοιών όπως το ηλιακό σύστημα, τα άτομα, τα στοιχειώδη σωματίδια, η διπλή έλικα του DNA, και πολλά ακόμη, χωρίς να έχουμε εντρυφήσει στη φυσική και τη βιολογία. Και κανείς δεν εκπλήσσεται που αυτές οι εξελιγμένες ιδέες αποτελούν μέρος της συλλογικής μας συνείδησης. Έτσι λοιπόν, ο καθένας μπορεί να κατανοήσει βασικές μαθηματικές έννοιες και ιδέες, αν του τις εξηγήσουν με το σωστό τρόπο…».

Τα μαθηματικά λοιπόν είναι:

  • ελκυστικά
  • σημαντικά
  • άμεσα συνυφασμένα με άλλες επιστήμες

Δείτε εδώ ένα σχετικό βίντεο σχετικό με αυτό το άρθρο.

Γιατί λοιπόν οι περισσότεροι τα μισούν;