Το Πυθαγόρειο θεώρημα

nanik78 on 14 Ιανουαρίου 2019

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ή θεώρημα του Πυθαγόρα στα μαθηματικά, είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίαςανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».
Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».

Το θεώρημα μπορεί να γραφεί ως εξίσωση συσχετίζοντας τα μήκη των πλευρών α,β και γ, που ονομάζεται πυθαγόρεια εξίσωση:

{\displaystyle {\gamma }^{2}+{\beta }^{2}={\alpha }^{2}}

, (όπου β και γ τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και α το μήκος της υποτείνουσας)

Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ’ άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι’ αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».

Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση).Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από την Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το, επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες και το σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο και αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πριν. Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί με πολλούς τρόπους, σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σε μη Ευκλείδειους χώρους, σε μη ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα και σε ν-διάστατα στερεά.

Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Οι αλλαγές στο Λύκειο

nanik78 on 14 Ιανουαρίου 2019

Τη μείωση των μαθημάτων στην οποία θα εξετάζονται οι μαθητές του Λυκείου ανακοίνωσε το υπουργείο Παιδείας.

Βάσει αυτού, οι μαθητές Γενικών και Εσπερινών της Α’ Λυκείου ΓΕΛ κα θα εξετάζονται σε 8 από τα 13 μαθήματα και οι μαθητές της Β’ Λυκείου σε 6 από τα 16. Από την άλλη, οι μαθητές της Γ’ τάξης Γενικού Ημερήσιου Λυκείου θα εξετάζονται γραπτώς σε 4 μαθήματα. Παράλληλα, οι μαθητές του Εσπερινού, το οποίο είναι τετραετούς φοίτησης, θα έχουν 6 μαθήματα στην Γ΄ τάξη και 4 στην Δ’ τάξη.

Οι τροποποιήσεις στην αξιολόγηση των μαθητών θα περιλαμβάνονται στο νέο Προεδρικό Διάταγμα που θα εκδοθεί.

Αναλυτικά:

Α΄ Ημερήσιου και Α΄ Εσπερινού ΓΕΛ: Μείωση εξεταζόμενων μαθημάτων σε 8 από 13 

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα Γενικής Παιδείας που εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Ελληνική Γλώσσα (Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία και τρίωρη συνεξέταση των κλάδων Νέα Ελληνική Γλώσσα και Νέα Ελληνική Λογοτεχνία),
  2. Μαθηματικά (Άλγεβρα και Γεωμετρία),
  3. Ιστορία,
  4. Φυσικές Επιστήμες (μόνο οι κλάδοι Φυσική και Χημεία),
  5. Πολιτική Παιδεία (Οικονομία, Πολιτικοί Θεσμοί & Αρχές Δικαίου και Κοινωνιολογία)

Η ομάδα Β’ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας και τα μαθήματα Επιλογής, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις.

Β΄ Ημερήσιου και Β΄ Εσπερινού ΓΕΛ: Μείωση εξεταζόμενων μαθημάτων σε 6 από 16 στο Ημερήσιο και από 14 στο Εσπερινό 

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα που εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Γενικής Παιδείας
  2. Ελληνική Γλώσσα (μόνο οι κλάδοι Νέα Ελληνική Γλώσσα και Νέα Ελληνική Λογοτεχνία σε τρίωρη συνεξέταση),
  3. Ιστορία,
  4. Φυσικές Επιστήμες (μόνο ο κλάδος Βιολογία),
  5. Μαθηματικά (μόνο ο κλάδος Άλγεβρα για τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών),
  6. Σύγχρονος Κόσμος: Πολίτης και Δημοκρατία (μόνο για τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών),

και τα μαθήματα Ομάδων Προσανατολισμού. 

Η ομάδα Β’ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις.

Γ΄ Εσπερινού ΓΕΛ (4ετούς φοίτησης): 6 εξεταζόμενα μαθήματα

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα που εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Γενικής Παιδείας
  2. Ελληνική Γλώσσα (μόνο οι κλάδοι Νέα Ελληνική Γλώσσα και Νέα Ελληνική Λογοτεχνία σε τρίωρη συνεξέταση)
  3. Φυσικές Επιστήμες (μόνο ο κλάδος Βιολογία)
  4. Μαθηματικά (μόνο ο κλάδος Άλγεβρα για τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών)
  5. Σύγχρονος Κόσμος: Πολίτης και Δημοκρατία (μόνο για τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών)

και τα μαθήματα Ομάδων Προσανατολισμού.

Η ομάδα Β΄ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις προαγωγικές εξετάσεις.

Γ΄ τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου: 4 εξεταζόμενα μαθήματα

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα Γενικής Παιδείας που εξετάζονται γραπτώς στις απολυτήριες εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Νέα Ελληνικά (με κλάδους τη Νεοελληνική Γλώσσα και τη Νεοελληνική Λογοτεχνία σε τρίωρη συνεξέταση),
  2. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής,
  3. Ιστορία και
  4. Βιολογία.

Η ομάδα Β’ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας, τα μαθήματα Ομάδων Προσανατολισμού και τα μαθήματα Επιλογής, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις απολυτήριες εξετάσεις.

Δ΄ τάξη Εσπερινού Γενικού Λυκείου: 4 εξεταζόμενα μαθήματα

Η ομάδα Α’ περιλαμβάνει τα μαθήματα Γενικής Παιδείας που εξετάζονται γραπτώς στις απολυτήριες εξετάσεις και είναι τα εξής:

  1. Νέα Ελληνικά (με κλάδους τη Νεοελληνική Γλώσσα και τη Νεοελληνική Λογοτεχνία σε τρίωρη συνεξέταση),
  2. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής,
  3. Ιστορία και
  4. Βιολογία.

Η ομάδα Β’ περιλαμβάνει τα υπόλοιπα μαθήματα Γενικής Παιδείας και τα μαθήματα Ομάδων Προσανατολισμού, τα οποία δεν εξετάζονται γραπτώς στις απολυτήριες εξετάσεις.

Σημειώνεται, τέλος, ότι σε όλες τις τάξεις του Ημερησίου και του Εσπερινού Γενικού Λυκείου διενεργούνται στα μαθήματα όλων των Ομάδων δύο υποχρεωτικές ωριαίες γραπτές δοκιμασίες, μία κατά τη διάρκεια του πρώτου τετραμήνου και μία κατά τη διάρκεια του δεύτερου τετραμήνου με εξαίρεση τα μαθήματα Φυσική Αγωγή και Ερευνητικές δημιουργικές δραστηριότητες στα οποία δεν διενεργείται καμία γραπτή δοκιμασία.

Αν υπάρχει αντικειμενικό πρόβλημα, και η ωριαία γραπτή δοκιμασία του πρώτου τετραμήνου δεν πραγματοποιηθεί στο πρώτο τετράμηνο, τότε διενεργούνται και οι δύο ωριαίες γραπτές δοκιμασίες στο δεύτερο τετράμηνο