ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΞΑΦΕΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ)
Σύντομη περιγραφή
Ο διδάσκων πρέπει να έχει ετοιμάσει ένα αρχείο λογισμικού ώστε οι μαθητές να επικεντρωθούν περισσότερο στην διερεύνηση και λιγότερο στις τεχνικές των εργαλείων μεταφοράς γραφικών παραστάσεων, αφού οι δραστηριότητες για τα πολυώνυμα προσεγγίζονται μέσα από τις ιδιότητες των γραφικών παραστάσεων των αντίστοιχων συναρτήσεων.
Στόχοι:
Οι μαθητές μέσα από τις δραστηριότητες:
• Θα μελετήσουν τη μορφή δοσμένων πολυωνυμικών συναρτήσεων.
• Θα μελετήσουν τρόπους λύσης πολυωνυμικών εξισώσεων διαμέσου των ιδιοτήτων των γραφικών παραστάσεων-πολυωνυμικών συναρτή- σεων.
• Θα συνδέσουν την ύπαρξη ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων με τα σημεία τομής με τον άξονα χ΄χ, των αντίστοιχων γραφικών παραστάσεων.
Ειδικά θα συνδέσουν την έννοια της πολλαπλής ρίζας με τον αριθμό των επαφών της γραφικής παράστασης με τον χ΄χ.
Ζητώ από τους μαθητές:
i) Να κατασκευάσουν την συνάρτηση f(x)=x3-3×2+x+2
ii)Να παραμετροποιήσουν την f(x)=αx3+βx2+γx+δ.
iii)Να αλλάξουν τιμές στους δρομείς α, β, γ, δ και να παρατηρήσουν τις μεταβολές. (σημεία τομής με τον άξονα χ΄χ.) iv)Να καταλήξουν σε συμπεράσματα για την λύση της αντίστοιχης εξίσωσης, και να επιχειρηματολογήσουν για τον αριθμό και τις τιμές των ριζών.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
1) Να κατασκευάσετε την συνάρτηση f(x)=αx3+βx2+γx+δ. Να μεταβάλλετε τις τιμές των συντελεστών α, β, γ, δ με τη βοήθεια των δρομέων.Τι παρατηρείτε;
2) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
Συν/τές α β γ δ Σημεία (αριθμός) επαφής με χ΄χ Ρίζα Ρίζα Θετική Αρνητ. (Αριθμός) τιμή 2 -2 1 -1 >> 2 0 1 -1 >> 1 -4 1 2 >> 2 -2 1 2 >> 2 -2 -3 2 >> 5 -3 -3 2
3) Να μηδενίσετε τον συντελεστή α. Τι παρατηρείτε; Ποιο πολυώνυμο εκφράζει η γραφική παράσταση;
4) Να λύσετε γραφικά την εξίσωση: x3-3×2+x+2=0 και να βρείτε τις ακέραιες ρίζες. Να λύσετε αλγεβρικά την παραπάνω εξίσωση και να επιβεβαιώσετε την γραφική λύση.
5) Να εξετάσετε αν υπάρχει πολυώνυμο 3ου βαθμού που δεν έχει πραγματική ρίζα.( Κρατήστε την τιμή του α≠0 και μεταβάλλετε τις τιμές των β, γ, δ, σε όλο το διάστημα των δρομέων. Τι παρατηρείτε;
6) Σε ποια γενικά συμπεράσματα καταλήγετε σχετικά με την γραφική λύση πολυωνυμικών εξισώσεων; Επιχειρηματολογήστε για αυτά.