Πυθαγόρειο Θεώρημα

Μοιραστείτε το!

Πως θα μπορούσε ένα νέο θεώρημα, όπως το Πυθαγόρειο, να προκαλέσει βαθύτατες ρωγμές στο πεδίο που, κατά τεκμήριο, προορίζεται να συνεισφέρει;

“Η κρίση έχει να κάνει ακριβώς με το γεγονός ότι το παλιό πεθαίνει αλλά το καινούργιο δε μπορεί να γεννηθεί.”

Αντόνιο Γκράμσι

Εισαγωγή

Στα Μαθηματικά, το Πυθαγόρειο Θεώρημα οδήγησε στην πρώτη μεγάλη κρίση που ξέσπασε πριν από 2500 χρόνια περίπου. Η αποδοχή ή μη, ως αριθμού, του περιλάλητου – αν και … άρρητου – \sqrt{2}, αποτέλεσε θέμα μεγάλου προβληματισμού ικανού να διαβρώσει τα θεμέλια μιας στέρεας επιστήμης. Πως, όμως, προήλθαν οι αλληλοσυγκρουόμενες απόψεις;

Απ’ τη μια πλευρά, το \sqrt{2}, με βάση το Πυθαγόρειο Θεώρημα, μπορεί να εκφράσει το μήκος ενός γεωμετρικού μεγέθους, όπως η υποτείνουσα του ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου πλευράς 1. Ωστόσο, από την άλλη μεριά, μοιάζει αδύνατο να συσχετιστεί με τους ήδη υπάρχοντες αριθμούς: τους ρητούς. Ταυτόχρονα το όλο εγχείρημα επισκιάζεται από τη ριζωμένη αντίληψη των Πυθαγορείων ότι όλα τα μεγέθη εκφράζονται από ρητούς αριθμούς.

Πρόκειται για τη συναρπαστική ιστορία μιας αναζήτησης που οδήγησε σε “ναυάγιο” την κοσμοθεωρία μιας επιστημονικής ομάδας: των Πυθαγορείων.

Πυθαγόρας

Pythagoras

Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε το 569 π. Χ., περίπου, στη Σάμο της Ιωνίας και πέθανε, περίπου, το 475 π .Χ.. Λίγα είναι γνωστά για το μαθηματικό του έργο. Άλλωστε, δεν άφησε πίσω του κανένα γραπτό.

Δάσκαλός του υπήρξε ο φιλόσοφος Φερεκύδης, ενώ επηρεάστηκε σημαντικά και από άλλους δύο φιλοσόφους: τον Θαλή και τον μαθητή του Αναξίμανδρο. Μάλιστα, ο Θαλής τον παρότρυνε να ταξιδέψει στην Αίγυπτο ώστε να διδαχθεί από τους Αιγύπτιους ιερείς.

Το 535 π.Χ., περίπου, ο Πυθαγόρας ταξίδεψε στην Αίγυπτο. Εκεί παρέμεινε μέχρι την εισβολή του Πέρση Καμβύση Β΄ και την μεταφορά του ως αιχμαλώτου στη Βαβυλώνα το 525 π.Χ.. Έπειτα από 5 χρόνια, περίπου, αποκτά ξανά την ελευθερία του και επιστρέφει στη Σάμο.

Λίγα χρόνια αργότερα, εγκαθίσταται στη Νότια Ιταλία όπου ιδρύει τη σχολή του.

Πυθαγόρεια σχολή

Η Πυθαγόρεια σχολή ιδρύθηκε από τον Πυθαγόρα στον Κρότωνα της Νότιας Ιταλίας. Ήταν μια θρησκευτική και φιλοσοφική σχολή, αλλά και κάτι περισσότερο: ήταν μια Κοινωνία με μέλη τα οποία ήταν υποχρεωμένα να τηρούν αυστηρούς κανόνες και υποχρεώσεις . Οι επιρροές από ανατολικά στοιχεία ήταν εμφανείς σε αρκετές αρχές και συνήθειες των μελών της. Προφανώς, αυτό ήταν συνέπεια της μακρόχρονης παραμονής του Πυθαγόρα εκεί.

Απώτερος σκοπός ήταν τα μέλη της σχολής να προσεγγίσουν το “Θείο” μέσω του εξαγνισμού τους. Όμως, στην Πυθαγόρεια φιλοσοφία, η θεϊκή αρμονία εκφραζόταν από τους αριθμούς οι οποίοι, θεωρούνταν πανταχού παρόντες:

“καὶ πάντα γαμὰν τὰ γιγνωσκόμενα ἀριθμὸν ἔχοντι· οὐ γὰρ οἷον τε οὐδὲν οὔτε νοηθῆμεν οὐτε γνωσθῆμεν άνευ τούτου

(Φιλόλαος ο Κροτωνιάτης).

Γι’ αυτό και τα Μαθηματικά με τη φιλοσοφική τους διάσταση, κυρίως, διαδραμάτιζαν κυρίαρχο ρόλο στη διδασκαλία των Πυθαγορείων.

Τα μέλη της σχολής διακρίνονταν στους Μαθηματικούς και τους Ακουσματικούς.

Οι Μαθηματικοί αφού έδιναν όλα τα υπάρχοντά τους στην Κοινωνία, ζούσαν μόνιμα στα οικήματά της και διδάσκονταν από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Εκτός από τα μαθηματικά συμπεράσματα μάθαιναν και τις αποδείξεις τους.

Οι Ακουσματικοί έμεναν στα δικά τους σπίτια, μπορούσαν να έχουν προσωπική περιουσία και μόνο την ημέρα παρακολουθούσαν τα δρώμενα της Κοινωνίας. Δεν μάθαιναν τις αποδείξεις των μαθηματικών συμπερασμάτων.

Γενικά, στη σχολή υπήρχε μυστικισμός και στη διδασκαλία κυριαρχούσε ο προφορικός χαρακτήρας.

Σύμμετρα μεγέθη

Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι για δύο οποιουσδήποτε αριθμούς μπορούσε να βρεθεί “κοινό μέτρο”, δηλαδή ένας τρίτος αριθμός τέτοιος ώστε καθένας τους να είναι ακέραιο πολλαπλάσιό του.

Με σημερινή ορολογία, θεωρούσαν ότι όλοι οι αριθμοί είναι ρητοί, δηλαδή έχουν ή μπορούν να πάρουν κλασματική μορφή.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

“Το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.”

(Να πατήσετε σε ένα οποιοδήποτε σημείο του παραπάνω γραφήματος για να αλληλεπιδράσετε.)

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους 1000 χρόνια πριν τον Πυθαγόρα. Στην Βαβυλωνιακή πινακίδα « Plimpton 322», υπάρχουν σειρές από αριθμούς, όπου, σύμφωνα με μια εκδοχή, καθεμιά τους αποτελείται από τα μήκη της υποτείνουσας, της μιας κάθετης πλευράς, καθώς και από τον υπολογισμό μιας ποσότητας η οποία προϋποθέτει τη γνώση της άλλης κάθετης πλευράς ορθογώνιων τριγώνων.

Ωστόσο, ίσως, ο Πυθαγόρας να ήταν εκείνος που το απέδειξε για πρώτη φορά.

Πυθαγόρειο Θεώρημα και ασύμμετρα μεγέθη

Pythagorean's_crime

Είναι πιθανό οι Πυθαγόρειοι να ήταν οι πρώτοι οι οποίοι κατέληξαν στην ανακάλυψη των άρρητων αριθμών. Ενδεχομένως, αυτό να προήλθε από την εξής διαπίστωση. Λόγω του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, γνώριζαν ότι σ’ ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με το 1, το τετράγωνο της υποτείνουσάς του θα έχει εμβαδόν ίσο με 2.
Όμως, ποιος θα μπορούσε να είναι ο αριθμός που εκφράζει το μήκος της πλευράς αυτού του τετραγώνου;

Οι Πυθαγόρειοι τον αναζήτησαν ανάμεσα στους ρητούς χωρίς επιτυχία. Μάλιστα, θεωρείται ότι απέδειξαν ότι αυτός ο αριθμός δεν υπάρχει (στους ρητούς). Μπορούσαν, λοιπόν, να εκφράσουν την επιφάνεια του συγκεκριμένου τετραγώνου, όχι, όμως, την πλευρά του.

Το “ναυάγιο”

Που είχαν κάνει το λάθος; Ή θα έπρεπε να συμβιβαστούν με την ιδέα ότι υπάρχουν μεγέθη που δεν εκφράζονται από αριθμούς, ή να εγκαταλείψουν τη βαθιά εδραιωμένη πεποίθησή τους ότι όλοι οι αριθμοί είναι ρητοί. Έτσι κι αλλιώς, το κόστος ήταν σημαντικό.

Επέλεξαν το δεύτερο, καλωσορίζοντας τον αριθμό \sqrt{2}.

Παρότι δε μπορούσαν να τον εκφράσουν (ρητά), έπρεπε να δεχτούν την ύπαρξή του ως αναγκαία:

Είναι ο αριθμός που μετρά την πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδό ίσο με 2.

Σύμφωνα με την παράδοση, όταν ο Πυθαγόρειος Ίππασος ο Μεταποντίνος διέδωσε την ανακάλυψή τους, πλήρωσε το λάθος του αυτό με την ίδια του τη ζωή. Την έχασε σ’ ένα ναυάγιο …

Αναφορές

  1. Μιχαηλίδης Τ., Πυθαγόρεια εγκλήματα, Εκδόσεις ΠΟΛΙΣ, 2006.
  2. Guedj D., Το Θεώρημα του παπαγάλου, μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδόσεις ΠΟΛΙΣ, 1999.
  3. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Pythagoras of Samos, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.
  4. VanDerWaerdenB. L., Η αφύπνιση της επιστήμης, μετάφραση – επιμέλεια: Γιάννης Χριστιανίδης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2007.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.