Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Γ΄ (Καρντάνο – Ταρτάλια)

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι εξισώσεις τρίτου βαθμού δεσπόζουν, ιστορικά, ως ένα ιδιαίτερο και πολύ ενδιαφέρον κομμάτι των Μαθηματικών.

Από τη σκοπιά της Άλγεβρας, η πρώτη σημαντική πρόοδος, στην έρευνα για την επίλυσή τους, σημειώνεται στην Ιταλία. Γύρω στο 1515, ο καθηγητής Μαθηματικών Σκιπιόνε νταλ Φέρο (1465-1526), κάτοχος της Έδρας Αριθμητικής και Γεωμετρίας στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια, ανακάλυψε τον τύπο επίλυσης για εξισώσεις τρίτου βαθμού της μορφής,

(1)   \begin{equation*} x^3+mx=n,\,\,\,\,m,n\in \mathbb{R}. \end{equation*}

Φυσικά, το γενικό πρόβλημα ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση, μιας και κάθε τριτοβάθμια εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί όπως παραπάνω με τη μέθοδο “συμπλήρωσης κύβου”.

O νταλ Φέρο κράτησε μυστική την ανακάλυψή του, ωσότου, λίγο πριν τον θάνατό του, την αποκαλύψει στον μαθητή του Αντόνιο Φιόρ.

Έπειτα από δέκα χρόνια, περίπου, ένας προικισμένος μαθηματικός, ο Νικολό Φοντάνα (1499 – 1557), επονομαζόμενος Ταρτάλια, δημοσιοποίησε τον τρόπο επίλυσης για εξισώσεις τρίτου βαθμού της μορφής,

    \[ x^{3}+px^{2}=q,\,\,\,\,p,q\in \mathbb{R}. \]

(Ο Φοντάνα έμεινε στην Ιστορία ως “Ταρτάλια”, που σημαίνει τραυλός, εξαιτίας ενός προβλήματος στην άρθρωσή του, έπειτα από ένα σοβαρό παιδικό τραύμα που λίγο έλειψε να του κοστίσει τη ζωή.)

Μετά απ’ αυτήν την εξέλιξη, ο Φιόρ προκάλεσε τον Ταρτάλια σε δημόσιο διαγωνισμό, όπου καθένας τους, εντός διαστήματος 40 ή 50 ημερών, έπρεπε να επιλύσει 30 προβλήματα κυβικών εξισώσεων. Νικητής θα ανακηρυσσόταν εκείνος που θα έλυνε τα περισσότερα. Όμως, οχτώ ημέρες προτού ξεκινήσει ο διαγωνισμός, ο Ταρτάλια είχε καταφέρει να ανακαλύψει, ανεξάρτητα, τον γενικό τρόπο επίλυσης κυβικών εξισώσεων της μορφής (1). Όλα τα προβλήματα που τέθηκαν από τον Φιόρ ήταν, τροπον τινά, αυτής της μορφής, με αποτέλεσμα να λυθούν από τον Ταρτάλια μέσα σε δύο ώρες.

Το αδιέξοδο

Αργότερα, ο ιδιοφυής μαθηματικός Τζερόλαμο Καρντάνο (1501 – 1576) προσέγγισε τον Ταρτάλια, καταφέρνοντας, με αθέμιτα μέσα, να του αποσπάσει τις ανακαλύψεις του. Στο σπουδαίο έργο του “Μεγάλη τέχνη”, μια πραγματεία στην Άλγεβρα που δημοσιεύτηκε το 1545, παρουσιάζεται ο τύπος με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζονται οι ρίζες για τις εξισώσεις τρίτου βαθμού.

Ακριβέστερα, ο τύπος με τη βοήθεια του οποίου, αργότερα, θα μπορούσαν να υπολογιστούν οι ρίζες για τις εξισώσεις τρίτου βαθμού. Διότι, τουλάχιστον, έτσι όπως αρχικά χρησιμοποιούταν, ήταν δυνατόν να υπολογιστούν μόνο οι ρίζες εξισώσεων όπου οι συντελεστές τους ικανοποιούσαν μια συγκεκριμένη συνθήκη. Ο ίδιος ο Καρντάνο είχε διερευνήσει γενικότερα το πρόβλημα έχοντας επικοινωνήσει, σχετικά, με τον Ταρτάλια. Παρότι έκανε βήματα προς τη σωστή κατεύθυνση, εντούτοις, ελλείψει απτών αποτελεσμάτων, χαρακτήρισε τη μέθοδό του “περισσότερο δεξιοτεχνική, παρά χρήσιμη”. Έτσι, αναγκάστηκε να παραδεχτεί αυτήν την “αδυναμία”, παραπέμποντας, μάλιστα, στις γεωμετρικές τεχνικές του παρελθόντος για μια πληρέστερη αντιμετώπιση του όλου προβλήματος.

“Φανταστικές” … επινοήσεις

Ο Ραφαήλ Μπομπέλι (1526 – 1572), ανίχνευσε με μεγαλύτερη “νηφαλιότητα” και “χωρίς αναστολές” τα “σκοτεινά” σημεία στο έργο του Καρντάνο. Τη χρονιά του θανάτου του, εκδίδεται το βιβλίο του “Άλγεβρα”, στο οποίο ο Μπομπέλι “αποδέχεται” ποσότητες, εκτός του μαθηματικού πλαισίου της εποχής, διευρύνοντας το πεδίο εφαρμογής των τύπων επίλυσης των κυβικών εξισώσεων.

Μέσα από τις διάφορες φάσεις της, με σύγχρονο συμβολισμό και λίγη … “φαντασία”, η ιστορία είχε ως εξής.

Η ταυτότητα,

    \[ \left( \alpha -\beta \right) ^{3}=\alpha ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\beta ^{3}, \]

η οποία γράφεται,

    \[ \left( \alpha -\beta \right) ^{3}+3\alpha\beta\left(\alpha -\beta\right)=\alpha ^{3}-\beta ^{3}, \]

υποδεικνύει, για την (1), αναζήτηση λύσης της μορφής, x=\alpha-\beta, με \alpha,\,\beta\in \mathbb{R}, όπου,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right.. \end{equation}

Διαδοχικά,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha }\\ \alpha^{3}-\left( \dfrac{m}{3\alpha }\right) ^{3}&=n \end{aligned} \right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha }\\ \left(\alpha^{3}\right)^2-\left(\dfrac{m}{3 }\right)^{3}&=n\alpha^{3} \end{aligned} \right., \end{equation*}

οπότε, προκύπτει το σύστημα,

    \begin{equation*} (\Sigma):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha}\\ \left( \alpha ^{3}\right) ^{2}-n\alpha ^{3}-\left( \dfrac{m}{3}\right) ^{3}&=0 \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Η δεύτερη εξίσωση του (Σ) είναι δεύτερου βαθμού ως προς \alpha ^{3} και έχει διακρίνουσα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \Delta&=n^2+4\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\\ &= 4\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\right). \end{aligned} \end{equation*}

Έστω,

    \[ D=\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3. \]

Οι δύο περιπτώσεις

Περίπτωση Ι)

    \[ D>0. \]

Από τη δεύτερη εξίσωση του (Σ), έπεται ότι,

    \[ \alpha^3=\frac{n\pm2\sqrt{D}}{2}=\dfrac{n}{2}\pm\sqrt{D}. \]

Οπότε, μια δυνατή επιλογή για το \alpha είναι,

    \[ \alpha _{1}=\root{3}\of{\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \]

Η αντίστοιχη επιλογή για το \beta είναι,

    \[ \beta _{1}=\root{3}\of{-\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \]

Επομένως, μια ρίζα της εξίσωσης είναι, x_{1}&=\alpha_{1}-\beta_{1}, δηλαδή,

(2)   \begin{equation*} x_{1}=\root{3}\of{\frac{n}{2}+\sqrt{D}}-\root{3}\of{-\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \end{equation*}

Με τη βοήθεια αυτής της λύσης, η (1) μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[ x^3+mx=n \]

    \[ x^3+3\alpha_{1}\beta_{1}x=\alpha_{1}^{3}-\beta_{1}^{3} \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{3}-\beta _{1}^{3}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) x+\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\big) \left\big( x+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) +\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0, \]

συνεπώς, γράφεται, τελικά,

(3)   \begin{equation*} \left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right\big) =0 \end{equation*}

Το τριώνυμο,

    \[ x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}, \]

έχει διακρίνουσα,

    \[ \Delta'=-3(\alpha_{1}+\beta_{1})^{2}, \]

η οποία έχει αρνητικό πρόσημο διότι,

    \[ \Delta'=0\Leftrightarrow\alpha _{1}=-\beta _{1}\Leftrightarrow D=0. \]

Επομένως, η x_{1} είναι η μοναδική πραγματική λύση της (1).

Μια παρατήρηση πριν το παράδειγμα

Έπειτα, κάτι φαινομενικά περιττό:

Θα εκφραστούν τα \alpha_{1},\,\beta_{1} με τη βοήθεια της x_{1}.

Για το σκοπό αυτό, παρατηρούμε ότι,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \alpha_{1}+(-\beta_{1})&=x_{1}\\ \alpha_{1}\cdot(-\beta_{1})&=-\frac{m}{3} \end{aligned} \right., \end{equation*}

που σημαίνει ότι τα \alpha_{1},\,-\beta_{1} είναι οι ρίζες της εξίσωσης,

    \[ y^2-x_{1}y-\frac{m}{3}=0. \]

Άρα,

(4)   \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{x_{1}+\sqrt{x_{1}^{2}+\dfrac{4}{3}m}}{2}=\dfrac{x_{1}}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x_{1}}{2}\right)^{2}+\dfrac{m}{3}}}\\ \beta_{1}&=\dfrac{-x_{1}+\sqrt{x_{1}^{2}+\dfrac{4}{3}m}}{2}=\dfrac{-x_{1}}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x_{1}}{2}\right)^{2}+\dfrac{m}{3}}}. \end{aligned} \end{equation*}

Παρατήρηση 1 Από τις εκφράσεις (4), έπεται ότι το \beta_{1} είναι ο αντίθετος του συζυγή του \alpha_{1}.

Στα επόμενα, θα φανεί η σημασία της τελευταίας παρατήρησης.

Παράδειγμα 1 Για την εξίσωση, x^3-9x=28, είναι, m=-9,\,n=28, συνεπώς,

    \[ D =\left(\dfrac{28}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-9}{3}\right)^3=196-27=169>0, \]

οπότε, έχει μοναδική πραγματική λύση,

    \[ x_{1}=\alpha_{1}-\beta_{1}=\root{3}\of{\frac{28}{2}+\sqrt{169}}-\root{3}\of{-\frac{28}{2}+\sqrt{169}}=\root{3}\of{27}-\root{3}\of{-1}=3-(-1)=4. \]

Από την άλλη μεριά, βάσει της λύσης x_{1}, χρησιμοποιώντας τους τύπους (4),

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-9}{3}}}=2+\sqrt{1}\\ \beta_{1}&=-\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-9}{3}}}=-2+\sqrt{1}. \end{aligned} \end{equation*}

Οι παραπάνω εναλλακτικές εκφράσεις για τα \alpha_{1},\beta_{1}, στο προηγούμενο παράδειγμα, δεν προσθέτουν, φυσικά, τίποτα καινούριο στην επίλυση της συγκεκριμένης εξίσωσης. Ωστόσο, με την ένταξή τους, μπορεί κανείς να είναι περισσότερο υποψιασμένος για τα όσα ακολουθούν.

Περίπτωση ΙΙ)

    \[ D\leq 0. \]

Για την ώρα, η ειδική περίπτωση της εξίσωσης,

(5)   \begin{equation*} \begin{aligned} x^3-15x=4, \end{aligned} \end{equation*}

για την οποία είναι, m=-15,\,n=4, οπότε,

    \[ D=\left(\dfrac{4}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-15}{3}\right)^3=4-125=-121<0. \]

Σύμφωνα με την ανάλυση που έγινε στην Περίπτωση Ι, γίνεται φανερό ότι δεν υπάρχει λύση x της μορφής x=\alpha-\beta, με \alpha,\,\beta\in \mathbb{R}, τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right.. \end{equation}

Από την άλλη μεριά, η εξίσωση έχει προφανή λύση τη x_{1}=4. Έτσι, παραγοντοποιώντας, γράφεται, ισοδύναμα,

(6)   \begin{equation*} (x-4)(x^2+4x+1)=0. \end{equation*}

Συνεπώς, οι ρίζες της είναι,

    \[x_{1}=4,\,\,\,\,x_{2}=-2+\sqrt{3},\,\,\,\,x_{3}=-2-\sqrt{3}.\]

Επομένως, η (6) έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Επιπλέον, σ’ αυτήν την περίπτωση, οι τύποι (4) δεν ισχύουν, ωστόσο, αν τα “εξαγόμενά τους”,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-15}{3}}}=2+\sqrt{-1}\\ \beta_{1}&=-\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-15}{3}}}=-2+\sqrt{-1}, \end{aligned} \end{equation*}

για τη λύση x_{1}, μπορούσαν να ενσωματωθούν στην “οικογένεια” των αριθμών, εμπλουτίζοντάς την, με τέτοιο τρόπο, έτσι, ώστε, να “υπακούν” στους “νόμους” των πράξεων, τότε η (6) θα ήταν, πάλι, της μορφής (3). Πράγματι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha _{1}-\beta _{1}&=\left(2+\sqrt{-1}\right)-\left(-2+\sqrt{-1}\right)=2-(-2)+{\sqrt{-1}}-\sqrt{-1}=4\\ \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right&=\left(2+\sqrt{-1}\right)^2+\left(2+\sqrt{-1}\right)\left(-2+\sqrt{-1}\right)+\left(-2+\sqrt{-1}\right)^2\\ &=2^2+2\cdot2\sqrt{-1}+\sqrt{-1}^2+\sqrt{-1}^2-2^2+(-2)^2-2\cdot2\sqrt{-1}\\ &+\sqrt{-1}^2\\ &=4+4\cdot\2\sqrt{-1}+(-1)+(-1)-4+4-4\cdot\2\sqrt{-1}+(-1)\\ &=1 \end{aligned} \end{equation*}

Βέβαια, έστω και μ’ αυτήν την υπέρβαση, παραμένει ανοικτό το πρόβλημα εύρεσης των \alpha_{1},\,\beta_{1} μιας και υπολογίστηκαν με τη βοήθεια της λύσης x_{1} της (5). Φυσικά, δε μπορεί να θεωρείται γνωστή, εκ των προτέρων, μια λύση για την τριτοβάθμια εξίσωση που επιλύεται.

Η τελική αναμέτρηση

Αψηφώντας, για δεύτερη φορά, βασική ιδιότητα της διάταξης των πραγματικών αριθμών, επιστρατεύεται ο τύπος (2), με την προσδοκία άμεσου υπολογισμού ρίζας για την εξίσωση (5). Έτσι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=\alpha _{1}-\beta _{1}\\ &=\root{3}\of{\frac{4}{2}+\sqrt{-121}}-\root{3}\of{-\frac{4}{2}+\sqrt{-121}}\\ &=\root{3}\of{2+\sqrt{-121}}-\root{3}\of{-2+\sqrt{-121}}\\ &=\root{3}\of{2+11\sqrt{-1}}-\root{3}\of{-2+11\sqrt{-1}}. \end{aligned} \end{equation*}

Τώρα,  αναζητούνται u_1,v_1, τέτοια, ώστε,

    \[(u_1+v_1\sqrt{-1})^3=2+11\sqrt{-1}\]

και u_2,v_2, τέτοια, ώστε,

    \[(u_2+v_2\sqrt{-1})^3=-2+11\sqrt{-1}.\]

Αξίζει να διερευνήσουμε, ενδεικτικά, την πρώτη εξίσωση αφού η δεύτερη αντιμετωπίζεται παρόμοια. 

Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των πράξεων, όπως στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, εκκινώντας από την εφαρμογή της ταυτότητας του αναπτύγματος του κύβου, έπεται ότι, αρκεί να βρεθούν u_1,v_1, με,

    \[u_1(u_1^2-3v_1^2)=2\]

και

    \[v_1(3u_1^2-v_1^2)=11.\]

Αν αποπειραθούμε να περιορίσουμε την αναζήτηση των u_1,v_1 στο σύνολο των ακεραίων, τότε, με βάση τις παραπάνω ισότητες, θα προέκυπτε ότι,

(u_1=\pm 1 ή u_1=\pm 2) και (v_1=\pm 1 ή v_1=\pm 11).

Πλέον, εξετάζοντας, ακόμη και με δοκιμή, τις διάφορες δυνατότητες, δεν είναι δύσκολο να διαπιστωθεί ότι u_1=2 και v_1=1. Ομοίως, u_2=-2 και v_2=1.

Με άλλα λόγια, οδηγούμαστε στις ακόλουθες δύο ισότητες,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \left(2+\sqrt{-1}\right)^3&=2+11\sqrt{-1}\\ \left(-2+\sqrt{-1}\right)^3&=-2+11\sqrt{-1},\\ \end{aligned} \end{equation*}

που σημαίνει ότι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2+\sqrt{-1}-\left(-2+\sqrt{-1}\right)\\ &=2-(-2)+\sqrt{-1}-\sqrt{-1}\\ &=4. \end{aligned} \end{equation*}

Αναμφίβολα, αναδεικνύεται, ξανά, το ενδεχόμενο αξιοποίησης αυτών των “φανταστικών” εκφράσεων.

Το δίλημμα

Για άλλη μια φορά οι Μαθηματικοί βρέθηκαν μπροστά σ’ ένα δίλημμα:

Να αποδεχτούν, κατ’ αρχήν, αυτές τις εκφράσεις, από τη στιγμή που διαφαινόταν η συνεισφορά τους στο γενικό πρόβλημα της επίλυσης της τριτοβάθμιας εξίσωσης, ή να τις απορρίψουν διότι, μέχρι τότε, στερούνταν νοήματος και, στη συνέχεια, να στραφούν σε άλλες στρατηγικές για την επίλυσή του.

Επέλεξαν αυτό που ίσως, αρχικά, έμοιαζε αδιανόητο. Η πρόκληση ήταν σίγουρα σπουδαία μα το εγχείρημα καθόλου εύκολο. Έπρεπε να θεμελιωθεί ένα υπερσύνολο των πραγματικών αριθμών το οποίο να έχει ένα στοιχείο, έστω i, επιφορτισμένο να αναλάβει το ρόλο που είχε η έκφραση \sqrt{-1} παραπάνω. Επιπλέον, το σύνολο “επιβάλλεται” να έχει τις ίδιες πράξεις με το \mathbb{R} και τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων. Τα στοιχεία του, ως αποτέλεσμα των “προσμίξεών” του με τους πραγματικούς αριθμούς, εύλογα, θα έχουν τη μορφή,

    \[ \alpha+\beta\cdot i,\,\,\,\,\alpha,\beta\in \mathbb{R}, \]

όπου i ^2=-1.

Άραγε, οι αριθμοί, εκτός από το να «αριθμούν», θα μπορούσαν, απλά, να υπόκεινται στις ιδιότητες που απορρέουν από τις αριθμητικές πράξεις;

Όταν ο αρχικός σκεπτικισμός ξεπεράστηκε, δίνοντας τη θέση του σε μια κριτική αναθεώρηση των ορισμών των διάφορων συνόλων των αριθμών, άρχισε να συγκροτείται το σύνολο \mathbb{C} των μιγαδικών. Προτεραιότητα δεν αποτέλεσε τόσο η φυσική ερμηνεία των στοιχείων του, όπως αυτά περιγράφηκαν παραπάνω, όσο η συνεπής μεταφορά, κατά τη δόμηση του νέου συνόλου, των πράξεων των πραγματικών και η ταυτόχρονη απελευθέρωση από τα δεσμά που επέβαλλε η διάταξη.

Αναφορές

  1. Eves H., Great moments in Mathematics Before 1650, Mathematical Association Of America, 1983.
  2. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
  3. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Quadratic, Cubic and quartic equations, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1996.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.