ΓΙΑΤΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ... Γιατί τα Μαθηματικά είναι χρήσιμα έως απαραίτητα;  Είναι σε μορφή .pdf και μπορείτε να το "κατεβάσετε" πατώντας το εικονίδιο.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ.   Το Μαθηματικό τυπολόγιο είναι πολύ χρήσιμο ιδίως στους υποψήφιους των πανελληνίων εξετάσεων. Είναι σε μορφή .pdf και μπορείτε να το "κατεβάσετε" πατώντας το εικονίδιο.
Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΚΑΙ Ο   ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ ΦΕΙΔΙΑ. Πληροφορίες σχετικά με τα θέματα αυτά μπορείτε να "κατεβάσετε" σε μορφή .pdf αν κάνετε κλικ στο εικονίδιο.
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ π ΚΑΙ ΤΑ ΨΗΦΙΑ ΤΟΥ. Ενδιαφέρον άρθρο δημοσιευμένο στον τύπο
ΤΟ ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Λίγα ιστορικά στοιχεία για το θέμα.
ΤΟ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Λίγα λόγια για το πρόβλημα.
Ο ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ EULER. Τι είναι;
Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΟΥ EULER. Τι είναι;
ΑΛΥΤΟ ή ΑΔΥΝΑΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ; Μια παρεξήγηση που πρέπει να λυθεί.

Περί το 430 π.Χ. είχε ξεσπάσει μεγάλος λοιμός στη Δήλο. Οι κάτοικοι της λοιπόν κατέφυγαν στο μαντείο το οποίο τους έδωσε χρησμό σύμφωνα με τον οποίο για να εξευμενιστούν οι Θεοί θα έπρεπε να κατασκευάσουν ένα κυβικό βωμό διπλάσιο απ' αυτόν που υπήρχε ήδη. Οι Δήλιοι κατέφυγαν ακόμα και στον Πλάτωνα για να δώσουν λύση στο πρόβλημα. Έτσι έμεινε στην ιστορία το πρόβλημα αυτό με το όνομα Δήλιο

Το Μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος είναι: "Να κατασκευαστεί κύβος με όγκο διπλάσιο από τον όγκο που έχει ένας άλλος δεδομένος κύβος".

Με το πρόβλημα αυτό ασχολήθηκαν πολλοί μαθηματικοί όπως οι: Ερατοσθένης, Ιπποκράτης ο Χίος, Αρχύτας, Εύδοξος, Μέναιχμος, Νικομήδης, Απολλώνιος, Διοκλής, Ήρωνας, Πάππος, Descartes, Longchamps.

Ο Ερατοσθένης κατασκεύασε τον "μεσολάβο" ένα όργανο ειδικό για την λύση του προβλήματος.

Ο Ιπποκράτης ο Χίος το 460 π.Χ. απέδειξε ότι το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων μεταξύ του δοθέντος τμήματος α και του διπλασίου του 2α.

Τέλος αποδείχθηκε ότι το πρόβλημα είναι αδύνατο να λυθεί γεωμετρικά δηλαδή με τη χρήση κανόνα και διαβήτη.

Άλλα αδύνατα προβλήματα είναι:

• Ο τετραγωνισμός του κύκλου:
  "Να κατασκευαστεί, με κανόνα και διαβήτη, τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το εμβαδόν δεδομένου κύκλου (Ο,R)."

• Η τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας (πλην ορθής):
  "Να διαιρεθεί, με κανόνα και διαβήτη, δοθείσα μη ορθή γωνία σε τρία ίσα μέρη"

Στο σημείο αυτό πρέπει να παρατηρήσω ότι ο όρος "άλυτο πρόβλημα" που χρησιμοποιείται από πολλούς για τα ανωτέρω προβλήματα δεν είναι σωστός.

Άλυτο λέγεται ένα πρόβλημα που δεν έχει λυθεί ακόμα (και υπάρχουν τέτοια).

Τα πιο πάνω προβλήματα έχουν λυθεί δηλαδή έχει δοθεί η απάντηση, ότι είναι αδύνατα.

Για παράδειγμα μια δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητική διακρίνουσα λέμε ότι είναι αδύνατη στο R και όχι άλυτη στο R

Ο Απολλώνιος "Μέγας Γεωμέτρης" της εποχής του διατύπωσε σε ένα από τα έργα του τις Επαφές το εξής γεωμετρικό πρόβλημα:

"Δοθέντων τριών σημείων ή τριών ευθειών ή τριών κύκλων, να κατασκευαστεί ένας κύκλος που να εφάπτεται και στα τρία"

Η πρώτη περίπτωση είναι εύκολη. Ο κύκλος που περνάει από τρία σημεία έχει το κέντρο του στο σημείο που συντρέχουν οι μεσοκάθετοι του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία αυτά. Προφανώς δεν υπάρχει λύση αν τα σημεία είναι συνευθειακά.

Η δεύτερη περίπτωση είναι επίσης εύκολη και δέχεται την εξής διερεύνηση:

• Αν οι ευθείες τέμνονται ανά δύο (χωρίς να συντρέχουν) σχηματίζουν τρίγωνο, οπότε ο ζητούμενος κύκλος είναι ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο αυτό.

• Αν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και η τρίτη τις τέμνει, ο ζητούμενος κύκλος έχει το κέντρο του μέσα στην ταινία των παραλλήλων, εκεί που τέμνονται οι διχοτόμοι των σχηματιζόμενων γωνιών. (2 λύσεις).

• Αν οι τρεις ευθείες συντρέχουν ή αν είναι παράλληλες, το πρόβλημα δεν έχει λύση.

Η τρίτη περίπτωση μπορεί να αντιμετωπιστεί ευκολότερα με αναλυτική γεωμετρία. Αν είναι (x₁,y₁), (x₂,y₂) και (x₃,y₃) τα κέντρα των τριών κύκλων και R₁, R₂, R₃ οι ακτίνες τους και (x,y), R το κέντρο και η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου, θα πρέπει να ισχύουν:

(x-x₁)²+(y-y₁)²=(R+R₁)²  ή  (x-x₁)²+(y-y₁)²=(R-R₁)²  και

(x-x₂)²+(y-y₂)²=(R+R₂)²  ή  (x-x₂)²+(y-y₂)²=(R-R₂)²  και

(x-x₃)²+(y-y₃)²=(R+R₃)²  ή  (x-x₃)²+(y-y₃)²=(R-R₃)²

Οπότε προκύπτουν 8 συστήματα και κατά συνέπεια είναι δυνατόν να έχουμε το πολύ μέχρι 8 λύσεις, ανάλογα με τη διερεύνηση των συστημάτων και το κατά πόσον οι προκύπτουσες λύσεις έχουν φυσική υπόσταση. Π.χ. αν οι κύκλοι είναι ομόκεντροι το πρόβλημα δεν έχει λύση. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κάποια ή κάποιες από τις ακτίνες R₁ R₂ R₃ να είναι μηδέν. Πάντως το πρόβλημα επιδέχεται και γεωμετρική λύση με κανόνα και διαβήτη.

Σε κάθε τρίγωνο, τα ίχνη των υψών του, τα μέσα των πλευρών του και τα μέσα των αποστάσεων του ορθοκέντρου από τις κορυφές είναι σημεία ομοκυκλικά. Ο κύκλος που διέρχεται από αυτά λέγεται κύκλος του Euler. Η ακτίνα του κύκλου του Euler είναι ίση με το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου περί το τρίγωνο κύκλου.

Σε κάθε τρίγωνο το ορθόκεντρο Η, το βαρύκεντρο G και το περίκεντρο K είναι συνευθειακά. Η ευθεία που διέρχεται απ' αυτά λέγεται ευθεία του Euler. Το βαρύκεντρο βρίσκεται μεταξύ ορθοκέντρου και περικέντρου και διαιρεί την μεταξύ τους απόσταση σε τμήματα με λόγο 2:1 δηλ GH=2GK.

Το κέντρο του κύκλου Euler βρίσκεται πάνω στην ευθεία Euler και μάλιστα στο μέσο της απόστασης ορθοκέντρου περικέντρου ΗΚ.

Σε ποιο ψηφίο του π έχουν φθάσει σήμερα οι αναζητήσεις των Μαθηματικών και για ποιο λόγο γίνεται όλη αυτή η προσπάθεια;

Φαίνεται μάταιο να έχουμε βρει τα πρώτα 51.539.600.000 ψηφία του π και ακόμη να ψάχνουμε για άλλα ζητώντας από τους ιδιοκτήτες PC να δανείσουν λίγο από τον χώρο και τον χρόνο των μηχανημάτων τους για να γίνουν οι χρονοβόροι υπολογισμοί.

Αλλά το π, που απασχόλη­σε τον άνθρωπο από την εποχή των Βαβυλωνίων ως και σήμερα, συ­νεχίζει να ασκεί γοητεία σε κάποιους συνανθρώπους μας. Πάντως εί­ναι παραδεκτό ότι για να υπολογιστεί η περιφέρεια ενός κύκλου με ακτίνα όση η απόσταση από τη Γη στον Ήλιο με ακρίβεια χιλιοστού δεν χρειαζόμαστε περισσότερα από 15 δεκαδικά ψηφία του π. Το π όμως, πέρα από την ευθύνη του για τον μη τετραγωνισμό του κύκλου, βρίσκεται στο επίκεντρο ενός ακόμη άλυτου για τον άνθρωπο πρo­βλήματος. Αυτό που από το 1909 ο Μπόρελ όρισε ως κανονικό αριθ­μό, δηλαδή έναν πολυψήφιο αριθμό όπου όλα τα ψηφία από το 1 ως το 9 να εμφανίζονται το ίδιο συχνά. Παραδόξως, ενώ έχει αποδειχθεί ότι κανονικοί αριθμοί πρέπει να υπάρχουν, δεν έχουμε συναντήσει έναν τέτοιο ακόμη (εκτός από τον τεχνητό 0;123456789101112.:.) και όλων η προσοχή έχει συγκεντρωθεί στο π και στα ψηφία του μετά την υποδιαστολή. Μήπως κάποια σπγμή προχωρώντας θα πέσουμε επά­νω σε μεγάλες περιοχές όπου Θα επικρατεί ένα μόνο ψηφίο, π.χ. το 0 ή το 1;

Οι... ψηφιοκυνηγοί του π αυξάνονται συνεχώς, ενώ κάποιοι προσπαθούν να απομνημονεύσουν όσα περισσότερα ψηφία του μπo­ρούν. Ένας Ιάπωνας αυτή τη σπηιή γράφει απ' έξω 42.000, ενώ μια' γνωσιή στα ελληνικά φράση βοηθά να Θυμόμαστε κι εμείς μερικά από αυτά, αφού τα γράμματα κάθε λέξης αντιστοιχούν κατά σειρά και σε ένα ψηφίο του π: «Αεί, ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και ον, φευ, ου­δέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι»  (3,1415926536897932384626 ).