Yπολογισμός του ΑΒ2 της κάθετης πλευράς ΑΒ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (1) Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης β2 = α.ΔΒ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ και ΔΒ είναι η προβολή της κάθετης β στην υποτείνουσα α;
| | | |
| | | |
Yπολογισμός του ΑΒ2 της κάθετης πλευράς ΑΒ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (2) Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης β2 = α.ΔΒ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ και ΔΒ είναι η προβολή της κάθετης β στην υποτείνουσα α;
| | | |
| | | |
Yπολογισμός του ΑΓ2 της κάθετης πλευράς ΑΓ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης γ2 = α.ΔΓ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ και ΔΓ είναι η προβολή της κάθετης γ στην υποτείνουσα α;
| | | |
| | | |
Yπολογισμός του ΑΓ2 της κάθετης πλευράς ΑΓ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (2) Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης γ2 = α.ΔΓ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ και ΔΓ είναι η προβολή της κάθετης γ στην υποτείνουσα α;
| | | |
| | | |
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα 1 Μια απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος
| | | |
| | | |
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα 2 Μια απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος
| | | |
| | | |
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα 3 Μια απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος
| | | |
| | | |
Το Πυθαγόρειο θεώρημα (παζλ) 4 Με την εφαρμογή αυτή αποδεικνύουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα , τοποθετώντας τα κομμάτια του ''παζλ'' στα τετράγωνα που δημιουργούνται με τις πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ εκτός του επιπέδου του | | | |
| | | |
Το Πυθαγόρειο θεώρημα (παζλ) 5 Με την εφαρμογή αυτή αποδεικνύουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα , τοποθετώντας τρίγωνα με κέθετες πλευρές β και γ και υποτείνουσα α σε ένα τετράγωνο με πλευρά α + β.
| | | |
| | | |
Γεννήτρια Πυθαγόρειων τριάδων Με την βοήθεια της εφαρμογής αυτής δημιουργούμε Πυθαγόρειες τριάδες , δηλαδή τριάδες της μορφής (α , β , γ) για τις οποίες ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Προσπαθείστε , κατόπιν τριών περιπτώσεων παραγωγής Πυθαγόρειων τριάδων , να εντοπίσετε τον γενικό τύπο παραγωγής των Πυθαγόρειων τριάδων με βάση την εφαρμογή αυτή.
| | | |
| | | |
| | |
|
Μελέτη του είδους του τριγώνου , ως προς τις γωνίες του Δώστε τις πλευρές α = ΒΓ , β = ΑΓ και γ = ΑΒ για να μελετηθούν τα παρακάτω α) Αν τα παραπάνω δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου β)Να εξεταστεί αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο , αμβλυγώνιο ή ορθογώνιο
| | | |
| | | |
Υπολογισμός όλων των προβλών των πλευρών σε τυχαίο τρίγωνο Δώστε τις πλευρές α = ΒΓ , β = ΑΓ και γ = ΑΒ για να βρείτε: α) Αν τα παραπάνω δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου β)Τα μήκη όλων των προβολών των πλευρών του τριγώνου | | | |
| | | |
Υπολογισμός του μήκους όλων των διαμέσων σε τυχαίο τρίγωνο Δώστε τις πλευρές α = ΒΓ , β = ΑΓ και γ = ΑΒ για να βρείτε: α) Αν τα παραπάνω δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου β)Τα μήκη όλων των διαμέσων του τριγώνου | | | |
| | | |
Υπολογισμός του μήκους των προβλών των διαμέσων σε τυχαίο τρίγωνο Δώστε τις πλευρές α = ΒΓ , β = ΑΓ και γ = ΑΒ για να βρείτε: α) Αν τα παραπάνω δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου β)Τα μήκη όλων των προβολών των διαμέσων του τριγώνου | | | |
Προβλήματα γεωμετρικών τόπων | | | |
Πρόβλημα 1 Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α και Β και ένα ευθύγραμμο τμήμα k. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων, των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα Α , Β ισούται με k2. | | | |
| | | |
Πρόβλημα 2 Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α και Β και ένα ευθύγραμμο τμήμα k. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων, για τα οποία η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα Α , Β ισούται με k2 | | | |
Bασικό Θεώρημα
| | | |
Θεώρημα του Stewart
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = γ , ΑΓ = β και ΒΓ = α. Έστω Δ τυχαίο σημείο της ΒΓ. Θέτουμε ΒΔ = λ , ΓΔ = μ και ΑΔ = δ. Να αποδείξετε τη μετρική σχέση:
μβ2 +λγ2 = α(δ2 + λμ) | | | |
Δύναμη σημείου ως προς κύκλο - Τέμνουσες κύκλου | | | |
Δύναμη σημείου ως προς κύκλο - Θεωρία Τι παριστάνει η δύναμη ενος σημείου Ρ ως προς ένα κύκλο (Ο,ρ) για τις διάφορες θέσεις του σημείου Ρ; | | | |
| | | |
Τέμνουσες κύκλου Αν σας δοθεί ένας κύκλος (Ο,ρ) και δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ αυτού , οι οποίες τέμνονται στο Ρ, τότε διαπιστώστε με βάση την εφαρμογή αυτή ότι ΡΑ.ΡΒ = ΡΓ.ΡΔ = R2 - δ2 , μετακινώντας τα σημεία Α , Β , Γ , Δ πάνω στον κύκλο | | | |
| | | |
Τέμνουσες κύκλου - Γενική περίπτωση Αν σας δοθεί ένας κύκλος (Ο,ρ) και δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ αυτού , οι οποίες τέμνονται στο Ρ (είτε στο εσωτερικό είτε στο εξωτερικό μέρος του κύκλου), τότε διαπιστώστε με βάση την εφαρμογή αυτή ότι ΡΑ.ΡΒ = ΡΓ.ΡΔ = |δ2 - R2| = ΡΣ2 (ΡΣ εφαπτομένη του κύκλου από το σημείο Ρ) μετακινώντας τα σημεία Α , Β , Γ , Δ πάνω στον κύκλο | | | |
| | | |
Το πρόβλημα της Χρυσής τομής Να διαιρεθεί ένα δοσμένο τμήμα ΑΒ = α σε δύο άνισα τμήματα ΑΓ ,ΓΒ ,ώστε , το μεγαλύτερο από αυτά τα τμήματα να είναι μέσο ανάλογο του μικροτέρου και του αρχικού τμήματος ΑΒ Δηλαδή, αν ΑΓ είναι το μεγαλύτερο τμήμα , να ισχύει: ΑΓ2 = ΑΒ.ΓΒ Διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο | | | |
| | | |
Χρυσή τομή - Εφαρμογή Ο Έλληνας γλύπτης Φειδίας , χρησιμοποιούσε τον αριθμό φ = 1,618034 για να έχουν τα γλυπτά του την αίσθηση της αρμονίας. Το ίδιο έκαναν οι αρχαίοι Έλληνες στην κατασκευή του Παρθενώνα. Είναι το δικό σας σώμα ''καλαίσθητο''; 1. Μετρήστε το α = συνολικό ύψος σας και β =το ύψος της μέσης σας 2. Βρείτε το πηλίκο α/β Αν -0.03 < α/β < 0.03 το σώμα σας έχει την αίσθηση της αρμονίας
| | | |
| | | |
Ριζικός άξονας δύο κύκλων Δίνονται δύο κύκλοι.Ζητάμε να βρούμε τα σημεία του επιπέδου που έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους. | | | |
| | | |
Κατασκευή τέταρτης αναλόγου 1 Κατασκευή ενός τμήματος x , τέτοιο, ώστε α/β = γ/x , όπου α , β , γ είναι γνωστά ευθύγραμμα τμήματα. | | | |
| | | |
Κατασκευή τέταρτης αναλόγου 2 Κατασκευή ενός τμήματος x , τέτοιο, ώστε α/β = γ/x , όπου α , β , γ είναι γνωστά ευθύγραμμα τμήματα. | | | |
| | | |