4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2^ου ΒΑΘΜΟΥ

Μορφές τριωνύμου

Η παράσταση αx² + βx + γ, α = 0 λέγεται τριώνυμο 2^ου βαθμού ή, πιο απλά, τριώνυμο. Η διακρίνουσα Δ της αντίστοιχης εξίσωσης αx² + βx + γ = 0 λέγεται και διακρίνουσα του τριωνύμου. Οι ρίζες της εξίσωσης αx² + βx + γ = 0, δηλαδή οι ονομάζονται και ρίζες του τριωνύμου.

Το τριώνυμο αx² + βx + γ, α ≠ 0 μετασχηματίζεται ως εξής:

Επομένως:

Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις:

• Δ > 0 . Τότε ισχύει, οπότε έχουμε:

Επομένως:

αx² + βx + γ = α(x – x₁)(x – x₂) ,

όπου x₁, x₂ οι ρίζες του τριωνύμου.

Άρα, όταν Δ > 0, τότε το τριώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί δύο πρωτοβάθμιους παράγοντες.

• Δ = 0 . Τότε από την ισότητα (1) έχουμε:

Άρα, όταν Δ = 0, τότε το τριώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί ένα τέλειο τετράγωνο.

• Δ < 0 . Τότε ισχύει |Δ| = –Δ, οπότε έχουμε:

Επειδή για κάθε x R , η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι θετική, το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.

Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα για τις μορφές του τριωνύμου αx² + βx + γ, α ≠ 0 με διακρίνουσα Δ έχουμε:

Για παράδειγμα:

• Το τριώνυμο 2x² + 3x – 2 έχει Δ = 9 + 16 = 25 > 0 και ρίζες και x₂ = –2. Επομένως:

• Το τριώνυμο . Eπομένως:

• Το τριώνυμο 2x² – 6x + 5 έχει Δ= – 4 < 0 . Επομένως:

Πρόσημο των τιμών του τριωνύμου

Για να μελετήσουμε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου αx² + βx + γ, α ≠ 0, θα χρησιμοποιήσουμε τις μορφές του ανάλογα με τη διακρίνουσα.

• Αν Δ > 0, τότε, όπως είδαμε προηγουμένως, ισχύει:

αx² + βx + γ= α (x – x₁ )(x – x₂) (1)

Υποθέτουμε ότι x₁ < x₂ και τοποθετούμε τις ρίζες σε έναν άξονα.

Παρατηρούμε ότι:

Αν x < x1 < x2 (Σχήμα) , τότε x – x1 < 0 και x – x2 < 0, οπότε (x – x1)(x – x2) > 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είναι ομόσημο του α .
Αν x1 < x < x2 (Σχήμα), τότε x – x1 > 0 και x – x2 < 0, οπότε (x – x1)(x – x2) < 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α .
Αν x1 < x2 < x (Σχήμα), τότε x – x1 > 0 και x – x2 > 0, οπότε (x – x1)(x – x2) > 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είναι ομόσημο του α .

• Αν Δ = 0, τότε ισχύει:

Επομένως, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε πραγματικό , ενώ μηδενίζεται για

• Αν Δ < 0, τότε ισχύει:

Όμως η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι θετική για κάθε πραγματικό αριθμό x. Επομένως το τριώνυμο είναι ομόσημο του α σε όλο το R.

Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα:

Ανισώσεις της μορφής αx² + βx + γ > 0 ή αx² + βx + γ < 0

Τα προηγούμενα συμπεράσματα χρησιμοποιούνται στην επίλυση ανισώσεων της μορφής αx² + βx + γ > 0 ή αx² + βx + γ < 0, α ≠ 0 , τις οποίες ονομάζουμε ανισώσεις δευτέρου βαθμού. Ο τρόπος επίλυσης αυτών φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1^o

Να λυθούν οι ανισώσεις

i) 2x² – 3x – 2 > 0             ii)2x² – 3x – 2 < 0

ΛΥΣΗ

Ζητάμε τις τιμές του x, για τις οποίες το τριώνυμο 2x² – 3x – 2 είναι θετικό στην περίπτωση (i) και αρνητικό στην περίπτωση (ii).

Το τριώνυμο έχει ρίζες τους αριθμούς και 2 και, επειδή α = 2 > 0, το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι:

i)     Η ανίσωση 2x² – 3x – 2 > 0 έχει λύσεις τα x R για τα οποία ισχύει x < ή x > 2 , δηλαδή τα Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

ii) Η ανίσωση 2x² – 3x – 2 < 0 έχει λύσεις τα x R για τα οποία ισχύει x< ή x> 2, δηλαδή τα . Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2^o

Να λυθεί η ανίσωση 2x² – 3x – 2 ≤ 0

ΛΥΣΗ

Ζητάμε τις τιμές του x, που είναι λύσεις της ανίσωσης 2x² – 3x – 2 < 0 ή ρίζες της εξίσωσης 2x² – 3x – 2 = 0. Επομένως σύμφωνα με το 1^o παράδειγμα οι λύσεις της ανίσωσης 2x² – 3x – 2 ≤ 0 είναι τα xR , με – ≤ x ≤ 2 δηλαδή τα . Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3^o

Να λυθούν οι ανισώσεις

i) x² – 2x + 1 > 0 ii) x² – 2x + 1 < 0

ΛΥΣΗ

Η διακρίνουσα του τριωνύμου x² – 2x + 1 είναι Δ = 0, οπότε έχει διπλή ρίζα την x = 1. Άρα το τριώνυμο είναι ομόσημο του α = 1, δηλαδή θετικό, για κάθε xR με x ≠ 1.

Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης (i) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί x, με x ≠ 1, ενώ η ανίσωση (ii) είναι αδύνατη.

Οι λύσεις της (i) εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4^o

Να λυθεί η ανίσωση x² + x + 1 > 0

ΛΥΣΗ

Η διακρίνουσα του τριωνύμου x² + x + 1 είναι Δ = –3 < 0, οπότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του α = 1, δηλαδή θετικό, για κάθε xR . Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1η Να βρεθούν οι τιμές του xR για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

x² – 4x – 5 < 0 και x² – x – 6 > 0.

ΛΥΣΗ

Λύνουμε κάθε ανίσωση χωριστά και μετά βρίσκουμε τις κοινές λύσεις

Έχουμε:

• x² – 4x – 5 < 0 <=> (x – 5)(x +1) < 0 <=> –1< x < 5

• x2 – x – 6 > 0<=> (x + 2)(x – 3) > 0 <=> x < –2 ή x > 3

Άρα οι ανισώσεις συναληθεύουν για x(3,5).

2η Δίνεται η εξίσωση x² – (α + 1)x + α + 4 = 0, αR

i) Να βρεθεί η διακρίνουσα της εξίσωσης και να μελετηθεί το πρόσημό της.

ii) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες;

iii) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει διπλή ρίζα;

iv) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση είναι αδύνατη στο R ;

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε:

Δ = [–(α +1)]² – 4 · 1 · (α + 4) = α² – 2α – 15.

Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα είναι ένα τριώνυμο του α με διακρίνουσα

Δ' = (–2 )² – 4 · 1 · (–15) = 64 > 0.

Επομένως η διακρίνουσα Δ έχει ρίζες:

και το πρόσημό της φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Από τον πίνακα αυτό προκύπτει ότι:

ii) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες αν Δ > 0 , δηλαδή αν α < –3 ή α > 5.

iii) Η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα αν Δ = 0 , δηλαδή αν α = –3 ή α = 5.

iv) Η εξίσωση είναι αδύνατη αν Δ < 0, δηλαδή –3 < α < 5.