Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο

4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ

Πρόσημο γινομένου

Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = Α(x) · Β(x) · … · Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες Α(x), Β(x) , … , Φ(x) είναι της μορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx² + βx + γ (τριώνυμα).

Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x), όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του xR το πρόσημο του γινομένου

P(x) = (x – 1) (x² + x – 6)(2x² + x + 1) .

ΛΥΣΗ

Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής:

Επειδή

x – 1 ≥ 0 <=> x ≥ 1,

το x – 1 είναι θετικό για x > 1, μηδέν για x = 1 και αρνητικό για x < 1.

Επειδή

x² + x – 6 ≥ 0<=> (x + 3)(x – 2) ≥ 0 <=> x ≤ –3 ή x ≥ 2,

το x² + x – 6 είναι θετικό για x < –3 και για x > 2 , μηδέν για x = –3 και για x = 2 και αρνητικό για –3 < x < 2 .

Επειδή το 2x² + x +1 έχει διακρίνουσα Δ = 1 – 8 = –7 < 0, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε xR .

Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων.

x	–∞ –3 1 2 +∞
x –1	– \| – 0 + \| +
x² + x – 6	+ 0 – \| – 0 +
2x² + x + 1	+ \| + \| + \| +
P(x)	– 0 + 0 – 0 +

Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για –3 < x < 1 και για x > 2, ενώ είναι αρνητικό για x < –3 και για 1 < x < 2. Τέλος είναι μηδέν για x = –3, για x = 1 και για x = 2 .

Ανισώσεις της μορφής Α(x) · Β(x) · … · Φ(x) > 0 (< 0)

Άμεση εφαρμογή των παραπάνω έχουμε στην επίλυση ανισώσεων της μορφής Α(x) · Β(x) · … · Φ(x) > 0 (< 0), όπως είναι για παράδειγμα η ανίσωση

(x – 1)(x² + x – 6)(2x² + x + 1) < 0

Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές του xR για τις οποίες το γινόμενο P(x) = (x – 1)(x² + x – 6)(2x² + x + 1)είναι αρνητικό.

Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του P(x) διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x(–∞, –3) U (1,2) .

Ανισώσεις της μορφής

Όπως γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα.

Επομένως:

αφού, καμία από τις λύσεις της Α(x) · Β(x) > 0 και της Α(x) · Β(x) < 0 δεν μηδενίζει το Β(x).

Για παράδειγμα , έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση

Η ανίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την

(x – 1)(x² + x – 6)(2x² + x + 1) > 0,

δηλαδή με την P(x) > 0 , η οποία, από τον πίνακα προσήμου του P(x) αληθεύει όταν x(–3,1) U (2, +∞) .

ΣΧΟΛΙΟ

Μία ανίσωση της μορφής αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως

Α(x) · Β(x) > 0 και Β(x) ≠ 0.

Έστω για παράδειγμα η ανίσωση . Έχουμε:

Οι ρίζες του τριωνύμου x² – 4x + 3 είναι οι 1 και 3, ενώ του τριωνύμου x² + 3x – 4 είναι οι 1 και –4.

Συντάσσουμε τον πίνακα προσήμου του γινομένου:

P(x) = (x² – 4x + 3)(x² + 3x – 4)

x	–∞ –4 1 3 +∞
x² – 4x + 3	+ \| + 0 – 0 +
x² + 3x – 4	+ 0 – 0 + \| +
P(x)	+ \| – \| – \| +

Άρα η ανίσωση αληθεύει όταν x (–∞, –4) U [3, +∞) .

Ασκήσεις

Α' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου P(x) = (2 – 3x)(x² – x – 2)(x² – x +1) .
2.	Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου P(x) = (–x² + 4)(x² – 3x + 2)(x² + x + 1)
3.	Να λύσετε την ανίσωση (x – 1)(x² + 2)(x² – 9) > 0 .
4.	Να λύσετε την ανίσωση (3 – x)(2x² + 6x)(x² + 3) ≤ 0 .
5.	Να λύσετε την ανίσωση (2 – x– x²)(x² + 2x + 1) ≤ 0 .
6.	Να λύσετε την ανίσωση (x – 3)(2x² + x – 3)(x – 1 – 2x²) > 0 .
7.	Να λύσετε τις ανισώσεις:
8.	Να λύσετε την ανίσωση

B' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να λύσετε τις ανισώσεις:
2.	Να λύσετε την ανίσωση:
3.	Να λύσετε τις ανισώσεις:
4.	Να λύσετε την ανίσωση
5.	Μία εταιρεία παράγει ηλεκτρικούς λαμπτήρες. Για ένα συγκεκριμένο τύπο λαμπτήρων το τμήμα έρευνας αγοράς της εταιρείας εκτιμά ότι αν η τιμή πώλησης των λαμπτήρων είναι x ευρώ ανά λαμπτήρα, τότε το εβδομαδιαίο κόστος Κ και τα αντίστοιχα έσοδα Ε (σε χιλιάδες ευρώ) δίνονται από τους τύπους Κ = 7 – x και Ε = 5x – x². Να βρείτε τις τιμές πώλησης των λαμπτήρων για τις οποίες η εταιρεία έχει κέρδος.
6.	Ένα φάρμακο είναι αποτελεσματικό αν η συγκέντρωσή του στο κυκλοφορικό σύστημα υπερβαίνει μία ορισμένη τιμή, που καλείται ελάχιστο θεραπευτικό επίπεδο. Υποθέτουμε ότι η συγκέντρωση σ ενός φαρμάκου, t ώρες ύστερα από τη λήψη του, δίνεται από τον τύπο . Αν για το συγκεκριμένο φάρμακο το ελάχιστο θεραπευτικό επίπεδο είναι 4 mgr /lt, να βρείτε πότε η συγκέντρωσή του θα ξεπεράσει το επίπεδο σ.