– Στην ακολουθία 3, 6, 12, 24,... κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί 2. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:
– Στην ακολουθία 27, –9, 3,–1, ... κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί .Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:
Όπως και προηγουμένως, η ακολουθία (αν) λέγεται γεωμετρική πρόοδος με λόγο
Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) υποθέτουμε πάντα ότι α1 # 0, οπότε, αφού είναι και λ ≠ 0, ισχύει αν ≠ 0 για κάθε v N*. Επομένως, η ακολουθία (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, αν και μόνο αν ισχύει:
Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της α. και το λόγο της λ, τότε ο αναδρομικός της τύπος αν+1=αν· λ μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε όρο της. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε κατευθείαν το ν° όρο αν μιας γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση των α1, λ και ν ως εξής: Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε:
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της της διαγραφής, βρίσκουμε αν=α1λν–1 Επομένως
Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, –6, 12, –24,... η οποία έχει α1 = 3 και ο ν–ος όρος της είναι αν = 3 · (–2)ν–1. Επομένως ο 5ος όρος της είναι ο δέκατος όρος της είναι |
Γεωμετρικός μέσος Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει
Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠0 ισχύει β2 = αγ, τότε που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Αποδείξαμε λοιπόν ότι:
|
Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου Ας θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27, ... στην οποία είναι α1 = 1 και λ = 3, και ας βρούμε το άθροισμα S7 των 7 πρώτων όρων της. Έχουμε S7=1+3+9+27+81+243+729 Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ=3 και έχουμε 3S7=3+9+27+81+243+729+2187 Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:
Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα αποδείξουμε ότι:
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (1) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ και έχουμε (2) Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:
Επομένως, αφού λ ≠ 1, έχουμε:
Παρατήρηση: Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι λ–1, τότε το άθροισμα των όρων της είναι Sv = ν · α1 αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με α1. |
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1° Να βρεθεί ο ν όρος μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 4ος όρος είναι και ο 9ος ΛΥΣΗ Έστω α1, ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου και λ ο λόγος της. Τότε έχουμε:
από την οποία προκύπτει ότι
Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του λ στην και έχουμε
Άρα ο ν όρος της γεωμετρικής προόδου, σύμφωνα με τον τύπο αν=α1λν–1 είναι |
2° Να υπολογιστεί το άθροισμα ΛΥΣΗ 2° Πρόκειται για το άθροισμα διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου με α1 = 1 και Για να εφαρμόσουμε τον τύπο , πρέπει να ξέρουμε το πλήθος ν των όρων. Από τον τύπο όμως του ν όρου αν=α1λν–1έχουμε και επομένως ν– 1 = 8 ή ν=9. Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι:
|
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ
|
B' ΟΜΑΔΑΣ
|