7.3 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = αx2 + βx + γ Θα μελετήσουμε αρχικά τη συνάρτηση g(x ) = 2x2 +12x + 20 που είναι ειδική περίπτωση της ƒ(x) = αx2 + βx + γ με α ≠ 0. Για τη μελέτη της συνάρτησης g μετασχηματίζουμε τον τύπο της ως εξής:
Επομένως, για να παραστήσουμε γραφικά την g , χαράσσουμε πρώτα την y = 2(x + 3)2 που προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της y = 2x2 κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά, και στη συνέχεια χαράσσουμε την y = 2 (x + 3)2 + 2 που προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της y = 2(x + 3)2 κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.
Επομένως η γραφική της παράστα-ση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της παραβολής y = αx2, μιας οριζόντιας και μιας κατακόρυ-φης, έτσι ώστε η κορυφή της να συμπέσει με το σημείο . Συνεπώς είναι και αυτή μια παραβολή, που έχει κορυφή το σημείο άξονα συμμετρίας την ευθεία .
Άρα, η συνάρτηση ƒ(x) = αx2 + βx + γ:
Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παραπάνω πίνακα.
Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον πίνακα.
Τέλος η γραφική παράσταση της ƒ είναι μια παραβολή που τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Γ(0, y) , διότι ƒ(0) = γ, ενώ για τα σημεία τομής της με τον άξονα x'x παρατηρούμε ότι:
Η γραφική παράσταση της ƒ εξαρτάται από το πρόσημο των α και Δ και φαίνεται κατά περίπτωση στα παρακάτω σχήματα:
Τα συμπεράσματα της §3.2 για το πρόσημο του τριωνύμου προκύπτουν άμεσα και με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων. |
ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ƒ(x) = x2 – 4x + 3 ΛΥΣΗ Για τη συνάρτηση ƒ(x) = x2 – 4x + 3 είναι
Επομένως έχουμε τον πίνακα μεταβολών:
Δηλαδή η συνάρτηση ƒ,
Επιπλέον, η γραφική παράσταση της ƒ είναι μια παραβολή η οποία:
|