2.9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

Aσύμπτωτες

● Έστω η συνάρτηση (Σχ. 45). Όπως είδαμε :
Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο 0 από θετικές τιμές, η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία x = 0. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf . Γενικά :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια , είναι +∞ ή −∞, τότε η ευθεία x = x₀ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

● Για την ίδια συνάρτηση παρατηρούμε ότι :

Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο +∞, η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία y=0. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y = 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C_f στο +∞.

Επίσης παρατηρούμε ότι

Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο −∞, η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία y=0. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y=0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C_f στο −∞. Γενικά :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν (αντιστοίχως ), τότε η ευθεία y = ℓ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞).

● Έστω η συνάρτηση
και η ευθεία
g(x) = x − 1   (Σχ. 46). Επειδή , καθώς το x τείνει στο +∞, οι τιμές της f προσεγγίζουν τις τιμές της g. Δηλαδή, η γραφική παράσταση της f προσεγγίζει την ευθεία y = x − 1.
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y = x − 1 είναι ασύμπτωτη (πλάγια) της Cf στο +∞. Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Η ευθεία  y = λx + β  λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞, αντιστοίχως στο −∞, αν

αντιστοίχως

Η ασύμπτωτη y = λx + β είναι οριζόντια αν λ = 0, ενώ αν λ ≠0 λέγεται πλάγια ασύμπτωτη.

Για τον προσδιορισμό των ασυμπτώτων μιας συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Η ευθεία  y = λx + β  είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης f στο +∞, αντιστοίχως στο −∞, αν και μόνο αν

αντιστοίχως

ΣΧΟΛΙΑ

1. Αποδεικνύεται ότι :

— Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.

— Οι ρητές συναρτήσεις , με βαθμό του αριθμητή P(x) μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

2. Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε:

— Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται.

— Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής.

— Στο +∞, −∞, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,+∞), αντιστοίχως (−∞,α).

ΕΦΑΡΜΟΓH

Nα βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

ΛΥΣΗ

Επειδή η f έχει πεδίο ορισμού το R^* και ειναι συνεχής σ' αυτό, θα αναζητήσουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 0 και πλάγιες στο −∞ και +∞ . Είναι

Άρα, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

Eξετάζουμε, τώρα, αν υπάρχει στο +∞ ασύμπτωτη της μορφής y = λx + β. Έχουμε :

Επομένως, η ευθεία y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞.

Ανάλογα βρίσκουμε ότι η ευθεία y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f και στο −∞.

Κανόνες de L' Hospital

Έστω η συνάρτηση . Για να εξετάσουμε αν η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C_f , χρειάζεται να υπολογίσουμε το

(1)

Παρατηρούμε ότι, αν εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής . Οι μέθοδοι που εφαρμόσαμε στο κεφάλαιο του ορίου για την άρση της απροσδιοριστίας (απλοποίηση κτλ.) δεν εφαρμόζονται στο πιο πάνω όριο.
Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές , ισχύουν τα επόμενα θεωρήματα (η απόδειξή τους παραλείπεται), που είναι γνωστά ως κανόνες de l' Hospital.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (μορφή   )

Αν ,  x0 ϵ R ∪{−∞,+∞}, και υπάρχει το (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

Έτσι το παραπάνω όριο (1) υπολογίζεται ως εξής :

Έχουμε:

και

Επομένως :

που σημαίνει ότι η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή  )

Αν ,  x0 ϵ R ∪{−∞,+∞}, και υπάρχει το (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

Για παράδειγμα, ο υπολογισμός του γίνεται ως εξής :

Έχουμε :

και

Επομένως :

ΣΧΟΛΙΑ

1. Το θεώρημα 2 ισχύει και για τις μορφές .

2. Τα παραπάνω θεωρήματα ισχύουν και για πλευρικά όρια και μπορούμε, αν χρειάζεται, να τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις τους.

ΕΦΑΡΜΟΓEΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση . Να αποδειχτεί ότι :

i) Η ευθεία y = x + 2 είναι ασύμπτωτη της  C_f  στο  −∞

ii) Η ευθεία y = x − 2 είναι ασύμπτωτη της  C_f  στο  +∞.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Αρκεί να δείξουμε ότι

Πράγματι, έχουμε

ii) Αρκεί να δείξουμε ότι

Πράγματι, έχουμε

2. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

ΛΥΣΗ

Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R η γραφική της παράσταση δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Θα αναζητήσουμε, επομένως, ασύμπτωτες στο −∞ και στο +∞.

Άρα, η ευθεία y = 0, δηλαδή ο άξονας xʹx, είναι ασύμπτωτη της C_f στο +∞.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα βρείτε (αν υπάρχουν) τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:

2. Nα βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων :

3. Nα βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:

4. Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :

1. Δίνεται η συνάρτηση και οι ευθείες  ε₁ : y = −x − 1  και  ε₂ : y = x + 1. Να αποδείξετε ότι

i) H ε₁ είναι ασύμπτωτη της  C_f  στο  −∞, ενώ η ε₂ είναι ασύμπτωτη της  C_f  στο  +∞.

ii) Για κάθε  x ϵ R   ισχύει  x² + 2x + 2 > (x + 1)² ≥ 0  και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η  C_f  βρίσκεται πάνω από την ε₁ κοντά στο  −∞  και πάνω από την ε₂ κοντά στο  +∞ .

2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f όταν :

3. Nα βρείτε τις τιμές των α,β ϵ R, ώστε η συνάρτηση

να είναι παραγωγίσιμη στο x₀ = 0.

4. Δίνεται η συνάρτηση   Να αποδείξετε ότι :

5. Δίνονται οι συναρτήσεις

Να αποδείξετε ότι :

i) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο x₀ = 1, ενώ

ii) Η g είναι συνεχής αλλά μη παραγωγίσιμη στο x₀ = 1.

6. Δίνεται η συνάρτηση

i) Να υπολογίσετε τα όρια

ii) Nα αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της  C_f  στο σημείο Ο(0,0).