2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επαναλήψεις – Συμπληρώσεις) Εισαγωγή Στο Γυμνάσιο μάθαμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών.
Θυμίζουμε ότι:
Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι οι ρητοί αριθμοί αποτελούνται από τους δεκαδικούς και τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς.
Υπάρχουν όμως και αριθμοί, όπως οι |
Πράξεις Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και, με τη βοήθειά τους, η αφαίρεση και η διαίρεση.
Στον πίνακα αυτόν, αλλά και στη συνέχεια του βιβλίου, τα γράμματα που χρησιμοποιούνται παριστάνουν οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς , εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά. ΣΧΟΛΙΟ
Ομοίως, ένα γινόμενο με περισσότερους από δυο παράγοντες ισούται με οποιοδήποτε άλλο γινόμενο που μπορεί να σχηματισθεί από τους ίδιους αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε.
(Η απόδειξη των παραπάνω ισχυρισμών είναι αρκετά πολύπλοκη και παραλείπεται).
|
Δηλαδή: ΣΗΜΕΙΩΣΗ
1.
δηλαδή, δυο ισότητες μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη. 2.
δηλαδή, δυο ισότητες μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη. 3.
δηλαδή, μπορούμε και στα δυο μέλη μιας ισότητας να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό. 4.
δηλαδή, μπορούμε και τα δυο μέλη μιας ισότητας να τα πολλαπλασιάσουμε ή να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. 5.
δηλαδή, το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν. α · β ≠ 0 <=> α ≠ 0 και β ≠ 0 |
ΣΧΟΛΙΟ α = 1 Όμως έχουμε και α = 1, οπότε το 1 θα είναι ίσο με το 0. Οδηγηθήκαμε στο λανθασμένο αυτό συμπέρασμα, διότι στην ισότητα (α + 1)(α – 1) = (α – 1) · 1 διαγράψαμε τον παράγοντα (α – 1) ο οποίος, λόγω της υπόθεσης, ήταν ίσος με μηδέν. |
Δυνάμεις Είναι γνωστή από το Γυμνάσιο η έννοια της δύναμης αριθμού με εκθέτη ακέραιο. Συγκεκριμένα, αν ο α είναι πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός, έχουμε ορίσει ότι: αν = α · α · α
– α, για ν > 1 και
Αν επιπλέον είναι α ≠ 0, τότε ορίσαμε ότι: ΣΧΟΛΙΟ
|
Αξιοσημείωτες ταυτότητες Η έννοια της ταυτότητας είναι γνωστή από το Γυμνάσιο. Συγκεκριμένα, κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα.
|
Μέθοδοι απόδειξης 1η) Ευθεία Απόδειξη Έστω ότι για τρεις πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει η συνθήκη α + β + γ = 0 και θέλουμε να αποδείξουμε ότι α3 + β3 + γ3 = 3αβγ, δηλαδή έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή: « Αν α + β + γ = 0, τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ ». Επειδή α + β + γ = 0, είναι α = –(β + γ) , οπότε θα έχουμε: ΣΧΟΛΙΑ (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (y
– βx)2 Έχουμε διαδοχικά: |
3ο) Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός δεν είναι πάντα αληθής, αρκεί να βρούμε ένα παράδειγμα για το οποίο ο συγκεκριμένος ισχυρισμός δεν ισχύει ή, όπως λέμε, αρκεί να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα. Έτσι ο ισχυρισμός «για κάθε α > 0 ισχύει α2 > α » δεν είναι αληθής, αφού για
2η) Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο «Αν ο α2 είναι άρτιος αριθμός, τότε και ο α είναι άρτιος αριθμός» Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού σκεπτόμαστε ως εξής: Στην παραπάνω απόδειξη υποθέσαμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις φθάσαμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο. |
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1η Να αποδειχθούν οι εξής ιδιότητες των αναλογιών: i) ii) iii)
iv)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Για βδ ≠ 0 έχουμε: ii) Για βγδ ≠ 0 έχουμε:
iii) Για βδ ≠ 0 έχουμε: iν) Για βδ (β + δ) ≠ 0, αν θέσουμε 2η Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός
|
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι ο
που σημαίνει ότι ο κ2 είναι άρτιος, οπότε (σελ. 60–61) και ο κ2 είναι άρτιος, δηλαδή είναι της μορφής
κ = 2μ. κ2 = 2λ2 Που σημαίνει ότι ο λ2 είναι άρτιος, άρα και ο λ είναι άρτιος.
Στο σημείο Α του πραγματικού άξονα που παριστάνει τον αριθμό 1 υψώνουμε κάθετο τμήμα ΑΒ με μήκος 1. Τότε η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ έχει μήκος ίσο με
|
Ασκήσεις
|