ΘΕΟΔΩΡΟΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ

Η  Κυρήνη,  πρωτεύουσα  της  Λιβύης,  ήτο  κατά  την  αρχαιότητα  μεθ'  όλης  της

περιοχής  της  αποικίας  των  αρχαίων  Ελλήνων.  Εις  αυτήν  εγεννήθη  ο  σπουδαίος

μαθηματικός  Θεόδωρος∙  ο  οποίος,  φαίνεται∙  ότι  εσπούδασεν  εις  την  Σχολήν  του

Πρωταγόρα εις την Κάτω Ιταλίαν∙ εις την πόλιν Κρότων, ακολούθως δε έδρασεν εν

Αθήναις,  όπου  πιθανώς,  ήτο  διδάσκαλος  του  Πλάτωνος  εις  τα  Μαθηματικά.

Χρονολογίαι της γεννήσεως και του θανάτου αυτού δεν εσώθησαν. Ήτο σύγχρονος του

Σωκράτους  (449  ­399  π.Χ)  και  διδάσκαλος  του  διασήμου  Αθηναίου  μαθητικού

Θεαίτητου. Αι ελάχισται πληροφορίαι περί του Θεοδώρου προέρχονται εκ του διαλόγου

του Πλάτωνος Θεαίτητος. (147d)

Εις τον διόλογον καθίσταται ο Σωκράτης, ο Θεόδωρος, ο Θεαίτητος, και μερικοί

άλλοι. Ο Σωκράτης, εις μιαν στιγμήν, ερωτά τον Θεαίτητον. Δεν μου λες Θεαίτητε∙ τι

εκάνατε εκεί εις το Σχολείον; Να, Σωκράτη∙ ο Θεόδωρος, αυτός έδώ, νας απεδείκνυε

περί  της  3  και  5  ,  λέγων,  ότι  αύται  είναι  ασύμμετροι  προς  την  υπόρριζον

ποσότητα και εν  συνεχεία απεδείκνυε τούτο  δι' έκαστην,

μέχρι της  17 . Εκεί δε έσταμάτησε. Εμείς τότε εσκέφθημεν μήπως ήτο δυνατόν να

περιλάβωμεν όλα αυτά εις  ένα κανόνα, ο οποίος να τα διασαφηνίζη όλα. Σωκράτης.

Μήπως ευρήκατε αυτόν τον κανόνα:

Επί 2000 και πλέον έτη οι σχολιασταί του Θεαίτητου προσπαθούν, ματαίως μέχρι

σήμερον∙  να  εύρουν  πώς  ο  Θεόδωρος  απεδείκνυε  το  ασύμμετρον  των  αριθμών

3, 5, 6,..., 17 ,  και  διατί  εσταμάτησεν  εις  την  απόδειξιν  του  ασύμμετρου  της

17 ,και δεν επροχώρησεν έτι περαιτέρω, ως εις την απόδειξιν του ασύμμετρου της

18, 19  κλπ.

Όπως φαίνεται∙ εκ των εκτιθεμένων υπό του Πλάτωνος, δεν γίνεται λόγος περί του

ασύμμετρου της  2  (του ασύμμετρου δηλ. του λόγου της διαγωνίου τετραγώνου προς την

πλευράν  αυτού),  διότι  η  απόδειξις  αυτή  ήτο  ήδη  επί  της  εποχής  του  Σωκράτους,

γνωστή, ως θα μνημοναυθή κατωτέρω.

Περί το 1905 ο εκ Κωνσταντινουπόλεως  Ελλην φιλόλογος Σπύρος Μοραΐτης

εις τον τρίτον τόμον των εκδόσεων του Πλάτωνος, εδημοσίευσε το κατωτέρω σχήμμα

(σχ.  1)  λέγων,  ότι  ο  Θεόδωρος  εσταμάτησεν  εις  την  απόδειξιν  του  ασύμμετρου  της

17 , διότι τα αντίστοιχα τρίγωνα καλύπτουν όλον το επίπεδον. Δεν λέγει όμως πως

εγίνετο η απόδειξις.

Κατά  το  1918  ερασιτέχνης  τις  των  Μαθηματικών,  έδημοσίευσε  την  ίδέαν  του

Μαραΐτου,  ως  ιδικήν  του.  Τούτο  απεκαλύφθη  κατά  το  1956  (όρα  πρακτικά  της

Ακαδημίας Αθηνών τόμος 31ος. 1956 σελ. 11).

Και  το  μεν  πρώτον  ζήτημα,  το  πως  δηλ.  ο  Θεόδωρος  έκαμε  την  απόδειξιν  του

ασύμμετρου  της  3, 5, 6,..., 17  παραμένει  αναπάντητον.  Διά  το  δεύτερον  όμως

σημειώνομεν  μερικός  παρατηρήσεις  περιεχομένος  εις  τα  ανωτέρω  αναφερόμενα

Πρακτικά της Ακαδημίας Αθηνών.Σχήμα 1

Εκεί αναφέρεται ο λόγος δι' ων εσταμάτησεν ο Θεόδωρος την απόδειξιν  εις την  17

ήτο  θρησκευτικός   και καλλιτεχνικός, και όχι μαθηματικός. Ο αριθμός 17 εθεωρείτο

υπό των Πυθαγορείων ιερός, διότι είναι τα άθροισμα των αριθμών 9 + 8. Το κλάσμα δε

9:8  δηλοί  την  συχνότητα  του  μουσικού  φθόγγου,  δι'  ου  κατασκευάζεται  η  μουσική

Πυθαγόρειος  κλίμαξ.  Η  κλίμαξ  αυτή∙  ως  γνωστόν,  προέρχεται  εκ  της  μουσικής

αναλογίας,  την  οποίαν  αποδίδουν  εις  ανακάλυψιν  του  Πυθαγόρου,  6:8­9:12,  όπου ο

αριθμός 6  είναι  το  κάτω  do  της  μουσικής οκταφθόγγου  κλίμακος.  εν  ω ο διπλάσιος

τούτου ο 12 είναι το άνω do της κλίμακος ταύτης.

Η ονομασία των ανωτέρω φθόγγων της μουσικής αναλογίας είναι:

6  :  8  ­  9  :  12

υπάτη  μέση  παραμέση  νήτη

(ιταλιστί)  do  fa  sol  do

Δέον  να  σημειωθή  ενταύθα,  ότι  ο  κύβος,  δι'  ου  εσυμβολίζετο  υπό  των

Πυθαγορείων. Η γη, έχει όλα τα στοιχεία της ανωτέρω μουσικής αναλογίας, ήτοι 6

άδρας, 8 κορυράς και 12 ακμάς, εν ω ο 9 είναι το αριθμητικόν μέσον των αριθμών

6+12, ο δε 8 είναι το αρμονικόν μέσον των αριθμών αριθμών

2 6 12

8 8

6 12

Ê ˆ × ×

= -

Á ˜

Ë ¯ +

.

Η κατασκευή της μουσικής Πυθαγορείου κλίμακος η οποία ενδιαφέρη ενταύθα,

προκείμενου  να  γίνη  εμφανής  η  σημασία  του  μουσικού  φθόγγου  συχνότητος  9:8,

εκφράζεται απλώς ως εξής:

Διαιρούμεν τους όρους της ανωτέρω μουσικής αναλογίας 6 : 8 ­ 9 : 12 διά του 6

και λαμβάνομεν

4 3

1: 2

3 2

=

Πολλαπλασιάζομεν τον φθόγγον 1 επί 9/8 και λαμβάνομεν τον δεύτερον φθόγγον της

μουσικής κλίμακος 9/8.Πολλαπλασιάζομεν  τον 9/8 έπί 9/8 και   λωμβάνομεν 81/64  ως τρίτον φθόγγον της

μουσικής κλίμακος.

Ως τέταρτον φθόγγον λαμβάνομεν τον ανωτέρω  4/3.

Ως πέμτον φθόγγον λαμβάνομεν τον ανωτέρω 3/2.

Πολλαπλασιάζομεν τον 3/2  επί  9/8  και  λαμβάνομεν  27/18 ως έκτον φθόγγον

της μουσικής κλίμακος.

Πολλαπλασιάζομεν    τον  27/18  επί  9/8  και  λαμβάνομεν  243/144  ως  έβδομον

φθόγγον της μουσικής κλίμακος, ενώ τον όγδοον φθόγγον λαμβάνομεν  τον 2, όστις

είναι το διπλάσιον του πρώτου φθόγγου.

Κατά ταύτα η μουσική κλίμαξ η κατασκευαζόμενη υπό  του μουσικού φθόγγου

9/8 είναι η:

Σχήμα 2

Εις την τρίτην γραμμήν είναι τα 7 μουσικά διαστήματα, ήτοι ο λόγος εκάστου

φθόγγου προς τον προηγούμενόν του.

Αι  προγματικαί  συχνότητες  ευρίσκονται  διεθνός  μέ  βάιν  τον  φθόγγον  la —

435).

Αλλος λόγος διά τον όποιον ο Θεόδωρος εσταμάτησε εις την  17 είναι πιθανόν

ο έξης:

Το  τετράγωνον  πλευράς  4  είναι  το  μοναδικόν∙  το  οποίον  έχει  άθροισμα

πλευρών και εμβαδόν εκφραζόμενα δια του αυτού αριθμού 16.

Το όρθογώνιον πλευρών, 3 x 6 είναι το μοναδικόν, το οποίον έχει άθροισμα και

εμβαδόν τον αυτόν αριθμόν 18.

Μεταξύ  των  δυο  αυτών  σχημάτων  υπάρχη  το  τετράγωνον  εμβαδού  17  και

πλευράς ­  17 . (σχ. 3).

Σχήμα 3

Πιθανόν,  χάρις  εις  την  ιερότητα  του  αριθμού  17,  ο  Παρθενών  επί  της

Ακροπόλεως των Αθηνών, έχει αριθμόν κιόνων συμφώνως προς τον αριθμόν τούτον,

ήτοι η μεγάλη πλευρά του Παρθενώνος έχει 17 κίονας, ενώ η μικρά  έχει 8, και το 8

είναι   το αρμονικόν μέσον των άκρων όπως της μουσικής αναλογίας 6:8 – 9:12. (σχ.4)

ήτοι  ο  Παρθενών  έχει  κατασκευασθή  επί  τη  βάσει  των  κανόνων  κατασκευής  της

μουσικής κλίμακος.Σχήμα 4

Η αυτή παρατήρησις θεά την Ιερότητα του αριθμού 17  (εκ  του  αθροίσματος  των

όρων του  9/8)  είναι εις πλήθος μέγα δεκαπεντασυλλάβων στίχων της Οδυσσείαςκαι

της Ιλιάδος, του Ομήρου εξ ων αναφέρομεν τον πρώτον στίχον της 'Οδυσσείας:

άν  δρα  μοι  έν  νε  πε  μού  σα  πο  λύ  τρο  πον  ός  μά  λα  πολ  λά

1  2  3  4  5  6  7  8  1  2  3  4  5  6  7  8  9

9  10  11  12  13  14  15  16  17

Ο  Αριστοτέλης  τα  αναιρεί  όλα  αυτά  και  λέγει∙  ότι  είναι  τυχαία  συμπτώματα

(όμοιοι δή και ούτοι τοίς αρχαίοις Ομηρικοίς, δί μικράς ομοιότητας ορώσι μεγάλος δέ

παρορώσιν… διό και έσικε συμπτώμασιν).

Επίσης: Ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος, ο επονομαζόμενος Άθεος, που έζησε στο α΄ μισό του 3ου π.Χ. αι. κατά τον Διογένη Λαέρτη (2, 101-102) αφού εξορίστηκε για τη διδασκαλία του από την Αθήνα, κατέφυγε στην αυλή του Πτολεμαίου, και έπειτα στην Κυρήνη, όπου επίσης εξορίστηκε, για να καταφύγει ξανά στην Ελλάδα.

O Θεόδωρος ο Κυρηναιος ηταν φημισμενος ως γεωμετρης.Μαθητης του σοφιστη Πρωταγόρου του Αβδηρίτου διακρίθηκε επισης στην αστρονομια, την αριθμητικη και την μουσικη.Οταν τον γνωρισε ο Πλατωνας στην Κυρηνη του ζητησε να ερθει μαζι του στην Αθηνα και να γινει μελος της σχολης του.Μεγαλυτερη του προσφορα θεωρειται η επινοηση των ασσυμετρων αριθμων (τετραγωνικες ριζες μη τετραγωνων αριθμων) από το ‘’παραλογο’’

Οι εργασιες του Θεωδορου σχετικα με τους ασσυμετρους αριθμους αναφερονται στον π΄λατωνικο διαλογο ‘’Θεαιτητος’’ και αποτελουν το πρωτο βημα για την κατακτηση της εννοιας των πραγματικων αριθμων.Ο συγκεκριμενος διαλογος , με κυριους ομιλητες τον Σωκρατη, τον Θεοδωρο , και τον νεαρο Θεαιτητο,υποτιθεται οτι γινεται στο σπίτι του φιλοσοφου Ευκλειδου στα Μεγαρα στα τελη του 5ου π.Χ. αιώνα Στο διαλογο αναφερεται ότι ο Θεοδωρος απεδειξε ότι οι αριθμοι είναι ασσυμετροι.Ο Θεοδωρος σταματησε στον αριθμο 17 γεγονος που προκαλεσε πολλα ερωτηματα στους μαθηματικους.Δυο είναι οι επικρατεστερες αποψεις:Εχει διατυπωθει ότι ο Θεοδωρος σταματησε εκει και δεν προχωρησε στον επομενο αριθμο για λογους ιεροτητας του αριθμου 17 όπως υπαινισσεται και ο Πλατων.Η άλλη αποψη στηριζεται στη δυσκολια της αποδειξης του επομενου αριθμου αλλα και στην αβεβαιοτητα για την επαληθευση της θεωριας σε συνδυασμο με την χρονοβορα διαδικασια που χρειαζονταν η αποδειξη.