↶

↷

1

Σημείο Brocard 1

Σημείο Brocard 2

2

Σημεία \;Brocard

ω

ω

ω

ω'

ω'

ω'

ω

ω

ω

b1

Ιδέα κατασκευής 1ου σημείου Brocard

\widehat{BB_1Γ}=180^{0}-\widehat{Γ} \; , \; \widehat{ΑΒ_1Γ}=180^{0}-\widehat{Α}\
Άρα\; το \;σημείο\;Β_1\;είναι\;το\;σημείο\;τομής\
τόξων\;που\;δέχονται\ γωνίες\;180^{0}-\widehat{Γ},\
180^{0}-\widehat{Α}\;αντίστοιχα.

Κατασκευή 1ου σημείου Brocard

Μερικές ιδιότητες

Έστω\; Β_1\;,Β_2\;το\; 1o\;και\;2o\;σημείο\; Brocard\;αντίστοιχα\;του\;τριγώνου\;ΑΒΓ.\
1.\; Αν \;  \widehat{Β_1ΑΒ}=\widehat{Β_1ΒΓ}=\widehat{Β_1ΓΑ}=ω \; τότε:\\;\;\;σφω=σφΑ+σφΒ+σφΓ.\2.\;Αν \; \widehat{B_2AΓ} =\widehat{Β_2ΓΒ}=\widehat{Β_2ΒΑ}=ω'\;τότε\;είναι\;ω=ω'\\;\;\;Η\; γωνία\;ω\;ονομάζεται\;γωνία\;Brocard\;του\;τριγώνου\;ΑΒΓ\3.\;Είναι \;0<ω≤\frac{π}{6}\;με\;ω=\frac{π}{6}\;όταν\;το\;τρίγωνο\;είναι\;ισόπλευρο.\\;\;\;Όταν \;το\;τρίγωνο\;είναι\;ισόπλευρο\;τα\;σημεία\;Brocard\;ταυτίζονται\\;\;\;με\;το\;κέντρο\;βάρους\;του\:τριγώνου.

\mathscr{σπύρος\;γιαννακόπουλος}

Εισαγωγή

Ευκλείδεια Γεωμετρία,ένας δρόμος που χάσαμε

Υπάρχουν θεωρητικά «μικρές» στιγμές στην Ιστορία που καθορίζουν γενιές και γενιές ανθρώπων
στα πολλά χρόνια που ακολουθούν.
Μια τέτοια στιγμή ήταν και το συνέδριο που οργάνωσε τον Νοέμβριο του 1959 στις παρυφές του 
Παρισιού η Ευρωπαϊκή Οργάνωση για την Οικονομική Συνεργασία με αντικείμενο την αναμόρφω-
ση των εκπαιδευτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στη μέση εκπαίδευση.
Προϊόν της συνάντησης θεωρείται κατά ένα μεγάλο βαθμό η μεταρρύθμιση των «Μοντέρνων Μα-
θηματικών». Όσοι διδαχθήκαμε Μαθηματικά τις επόμενες δεκαετίες επηρεαστήκαμε σε μικρότερο 
ή μεγαλύτερο βαθμό από τις ιδέες εκείνες που σάρωσαν το πνεύμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. 
Σε κεντρική φιγούρα του συνεδρίου αναδείχθηκε ο κορυφαίος Γάλλος μαθηματικός Jean Dieudonné, 
κυρίαρχη μορφή της μαθηματικής σκέψης του 20ού αιώνα. Η ομιλία του, με τίτλο «Κάτω ο Ευκλείδης»
 (Α bas Euclide!), υπήρξε καθοριστική στη διαμόρφωση των σχολικών Μαθηματικών στον δυτικό κόσμο.
Σήμερα, η Ευκλείδεια Γεωμετρία έχει αλλού πλήρως εξοβελιστεί από τα προγράμματα και αλλού, όπως 
και στην Ελλάδα, έχει συρρικνωθεί και υποβαθμιστεί. Ωστόσο, το ερώτημα παραμένει: ποια διδακτικά 
αντικείμενα αντικαθιστούν επάξια την Ευκλείδεια Γεωμετρία;
Τα τελευταία 20 χρόνια σε αρκετές χώρες έχει αρχίσει μία επανεκτίμηση της σημασίας της Γεωμετρίας για 
την αφομοίωση του εποπτικού χώρου και την ανάπτυξη της ικανότητας συλλογισμού και λογικής επιχειρη-
ματολογίας.

Β_1

Β_2

Φέρουμε\;κάθετες\;ευθείες\;στις\;πλευρές\;ΓΑ→ΑΒ→ΒΓ\στις\;κορυφές\;Γ,Α,Β\;αντίστοιχα.\Ορίζεται\;το\;τρίγωνο\;ΤΠΣ.Οι \;περιγγεγραμμένοι\;κύκλοι\των\;ορθογωνίων\;τριγώνων\;ΓΑΤ,ΒΓΣ\;τέμνονται.\
Το\;σημείο\;τομής\;Β_1\;είναι\; το\;ζητούμενο\;σημείο\;γιατί:\\widehat{BAB_1}=\widehat{ΑΓΒ_1}=\widehat{ΓΒΒ_1}=\widehat{ω},λόγω\;της\;γωνίας\;χορδής\και\;εφαπτομένης.

Σε\;κάθε\;τρίγωνο\;ΑΒΓ\;υπάρχει\;ακριβώς\;ένα\;εσωτερικό\σημείο\;Β_1\;τέτοιο\;ώστε:\;\widehat{ΒΑΒ_1}=\widehat{ΓΒΒ_1}=\widehat{ΑΓΒ_1}=\widehat{ω}.

1o Σημείο Brocard

Σε\;κάθε\;τρίγωνο\;ΑΒΓ\;υπάρχει\;ακριβώς\;ένα\;εσωτερικό\σημείο\;Β_2\;τέτοιο\;ώστε:\;\widehat{ΑΒΒ_2}=\widehat{ΒΓΒ_2}=\widehat{ΓΑΒ_2}=\widehat{ω'}.

2ο Σημείο Brocard

ω

ω'

Α = (5.630263406571346, 11.10610968612256)
Β = (4.277488389709069, 5.1152488971610435)
Γ = (10.384301322973064, 5.095923539777304)
πολύγ1, γ, α, β = Polygon(Α, Β, Γ)
a = OrthogonalLine(Γ, β)
b = OrthogonalLine(Β, α)
c = OrthogonalLine(Α, γ)
d = LineBisector(Α, Γ)
e = LineBisector(Α, Β)
f = LineBisector(Β, Γ)
Δ = Intersect(c, d)
Ε = Intersect(a, f)
Ζ = Intersect(b, e)
g = Circle(Δ, Distance[Δ, Γ])
h = Circle(Ε, Distance[Ε, Β])
Η, Β_1 = Intersect(g, h)
t_1:0
Θ: Α + ((Β_1 - Α) * t_1)
Ι: Β + ((Β_1 - Β) * t_1)
Κ: Γ + ((Β_1 - Γ) * t_1)
i = Segment(Α, Β_1)
j = Segment(Β, Β_1)
k = Segment(Β_1, Γ)
Λ_1 = Intersect(i, j)
δ = Angle(Β, Α, Λ_1)
ε = Angle(Λ_1, Β, Γ)
ζ = Angle(Α, Γ, Λ_1)
Γ' = Rotate(Γ, δ, Α)
Γ'_1 = Rotate(Γ, (-δ), Α)
Α' = Rotate(Α, δ, Β)
Α'_1 = Rotate(Α, (-δ), Β)
l = Line(Β, Α'_1)
m = Line(Α, Γ'_1)
B_2 = Intersect(l, m)
n = Line(Α, B_2)
p = Line(Β, B_2)
t_2:0
Μ: Α + ((B_2 - Α) * t_2)
q = Segment(Α, B_2)
r = Segment(Β, B_2)
s = Segment(Γ, B_2)
ι = Angle(B_2, Α, Γ)
κ = Angle(B_2, Γ, Β)
λ = Angle(B_2, Β, Α)
Ο: Α + ((B_2 - Α) * t_2)
Ν: Γ + ((B_2 - Γ) * t_2)
Ξ: Β + ((B_2 - Β) * t_2)
a_1 = Segment(Α, Θ)
b_1 = Segment(Β, Ι)
d_1 = Segment(Γ, Κ)
e_1 = Segment(Α, Ο)
f_1 = Segment(Β, Ξ)
g_1 = Segment(Γ, Ν)
o = false
u = false
h_1 = OrthogonalLine(Γ, β)
i_1 = OrthogonalLine(Α, γ)
j_1 = OrthogonalLine(Β, α)
T = Intersect(h_1, i_1)
Π = Intersect(i_1, j_1)
Σ = Intersect(h_1, j_1)
k_1 = Segment(Σ, T)
l_1 = Segment(Π, T)
m_1 = Segment(Π, Σ)
n_1 = Segment(Σ, T)
p_1 = Segment(Π, T)
q_1 = Segment(Π, Σ)
η = Angle(Σ, Γ, Α)
θ = Angle(T, Α, Β)
μ = Angle(Π, Β, Γ)
Λ = Midpoint(Α, T)
M = Midpoint(Π, Β)
K = Midpoint(Σ, Γ)
r_1 = Circle(Λ, Distance[Λ, T])
c_2 = Circle(K, Distance[K, Γ])
e_2 = Circle(Λ, Distance[Λ, Γ])
Ρ, B_1 = Intersect(e_2, c_2)
s_1 = Segment(Α, B_1)
a_2 = Segment(Β, B_1)
b_2 = Segment(B_1, Γ)
ν = Angle(Β, Α, B_1)
ξ = Angle(Γ, Β, B_1)
ο = Angle(Α, Γ, B_1)
v = false
w = false
t = false
c_1 = OrthogonalLine(Γ, β)
d_2 = OrthogonalLine(Α, γ)
Τ = Intersect(c_1, d_2)
Υ = Midpoint(Α, Τ)
f_2 = Circle(Υ, Distance[Υ, Α])
g_2 = OrthogonalLine(Β, α)
Φ = Intersect(g_2, c_1)
Ψ = (21.59300860554622, 5.830287120359682)
Χ = Midpoint(Φ, Γ)
h_2 = Circle(Β, Γ, Φ)
Δ_1, Ε_1 = Intersect(h_2, f_2)
i_2 = Segment(Α, Δ_1)
j_2 = Segment(Β, Δ_1)
k_2 = Segment(Δ_1, Γ)
ρ = Angle(Β, Α, Δ_1)
σ = Angle(Δ_1, Β, Γ)
l_2 = OrthogonalLine(Γ, α)
m_2 = OrthogonalLine(Α, β)
Ω = Intersect(m_2, l_2)
Α_1 = Midpoint(Ω, Γ)
p_2 = Circle(Ω, Α, Γ)
n_2 = OrthogonalLine(Β, γ)
Γ_1 = Intersect(l_2, n_2)
q_2 = Circle(Γ, Γ_1, Β)
Ζ_1, Η_1 = Intersect(q_2, p_2)
r_2 = Segment(Α, Η_1)
s_2 = Segment(Β, Η_1)
a_3 = Segment(Η_1, Γ)
υ = Angle(Η_1, Α, Γ)
ϕ = Angle(Η_1, Γ, Β)
τ = Angle(Δ_1, Γ, Α)
χ = Angle(Η_1, Β, Α)