Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β].
Αν f(α)f(β)<0,τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ_0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(χ_0)=0.

f(α)

f(β)

α

β

Θεώρημα Bolzano

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και f(χ)≠0 για κάθε χ∈Δ,τότε η f στο Δ διατηρεί στα-
θερό πρόσημο.

Συνέπεια Θεωρήματος Bolzano

Θεώρημα Bolzano

Θεώρημα Ενδιάμεσων τιμών

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
με f(α)≠f(β),τότε για κάθε n μεταξύ των f(α),f(β) υπάρχει
ένα τουλάχιστον χ_0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(χ_0)=n.

f(α)

f(β)

ψ=n

Θεώρημα Ενδιάμεσων τιμών

Συνέπεια θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών

Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β],τότε
στο διάστημα αυτό η f παίρνει μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμη.
Δηλαδή υπάρχουν χ_1,χ_2 στο [α,β] τέτοια ώστε:
f(χ_1)=m≤f(χ)≤f(χ_2)=M,για κάθε χ∈[α,β].

Συνέπεια του θεωρήματος ελάχιστης και μέγιστης τιμής
σε συνδιασμό με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Αν η συνάρτηση f΄είναι συνεχής και μη σταθερή στο κλειστό διάστημα [α,β] και
m,M είναι η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της f στο [α,β] αντίστοιχα,τότε f([α,β])=[m,Μ]

Θεώρημα ελάχιστης και μέγιστης τιμής

Σύνολο τιμών

Α=\lim_{ x \to α^+ }f(χ)

,  Β=\lim_{ x \to β^- }f(χ)

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής και γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ.
α. Αν Δ=[α,β] και
∙ f γνησίως αύξουσα στο Δ,τότε f(Δ)=[f(α),f(β)].
∙ f γνησίως φθίνουσα στο Δ,τότε f(Δ)=[f(β),f(α)]..
β. Έστω
i Αν Δ=(α,β) και
∙ f γνησίως αύξουσα στο Δ,τότε f(Δ)=(A,B).
∙ f γνησίως φθίνουσα στο Δ,τότε f(Δ)=(B,A).
ii. Αν Δ=[α,β) και
∙ f γνησίως αύξουσα στο Δ,τότε f(Δ)=[f(α),B).
∙ f γνησίως φθίνουσα στο Δ,τότε f(Δ)=(B,f(α)].
iii. Αν Δ=(α,β] και
∙ f γνησίως αύξουσα στο Δ,τότε f(Δ)=(A,f(β)].
∙ f γνησίως φθίνουσα στο Δ,τότε f(Δ)=[f(β),A)..

Σύνολο τιμών

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

O

Σπύρος Γιαννακόπουλος

f = Function(-2 * sin(x) + 1, -5, 3)
Α: (-5, f(-5))
Β: (3, f(3))
a = OrthogonalLine(Α, xAxis)
b = OrthogonalLine(Α, yAxis)
Γ = Intersect(a, xAxis)
c = Segment(Α, Γ)
Δ = Intersect(b, yAxis)
d = Segment(Α, Δ)
e = OrthogonalLine(Β, xAxis)
g = OrthogonalLine(Β, yAxis)
Ε = Intersect(e, xAxis)
h = Segment(Β, Ε)
Ζ = Intersect(g, yAxis)
i = Segment(Β, Ζ)
α_1 = Intersect(xAxis, c)
β_1 = Intersect(xAxis, h)
Η = Intersect(f, xAxis, (0.5235987755982988, 1.1102230246251565E-16))
Θ = Intersect(f, xAxis, (2.6179938779914944, 1.1102230246251565E-16))
Ι = Intersect(f, xAxis, (-3.6651914291880923, -2.220446049250313E-16))
j = 0.22 (slider from 0 to 1, step 1.0E-4)
k = false
p = Function(2 * sin(x) / x + 1, -2, 4)
Κ: (-2, p(-2))
Λ: (4, p(4))
l = OrthogonalLine(Κ, xAxis)
m = OrthogonalLine(Κ, yAxis)
n_1 = OrthogonalLine(Λ, xAxis)
q = OrthogonalLine(Λ, yAxis)
α = Point(l)
r = Segment(Κ, α)
Ν = Intersect(m, yAxis)
s = Segment(Κ, Ν)
β = Point(n_1)
t = Segment(Λ, β)
Ο = Intersect(q, yAxis)
a_1 = Segment(Λ, Ο)
Μ = (-3.008571428571429, 1.28)
b_1 = Line(Μ, xAxis)
Ξ = Point(b_1)
c_1 = Segment(Μ, Ξ)
n = Intersect(c_1, yAxis)
Π = Intersect(p, c_1, (2.7468609550217193, 1.2799999999693894))
o = 0.493 (slider from 0 to 1, step 0.0010)
u = false
v = false
w = false
z = true
Ρ = Point(xAxis)
Σ = Point(xAxis)
u_1 = Vector(Ρ, Σ)
Τ = Point(yAxis)
Υ = Point(yAxis)
v_1 = Vector(Τ, Υ)
O = Point(v_1)
Φ = Point(xAxis)
Χ = Point(xAxis)
w_1 = Vector(Φ, Χ)
Ψ = Point(yAxis)
Ω = Point(yAxis)
z_1 = Vector(Ψ, Ω)
Α_1 = Point(z_1)