Α\left(χ_1,   \ψ_1) 

Γ

Β(χ_2,ψ_2)

Είναι \;Γ(χ_2,ψ_1)

Μήκος\; διαδρομής\; Α→Γ→Β\;:\;(ΑΓ)+(ΓΒ)=\left|x_2 -x_1| +\left|ψ_2 -ψ_1|

Ορίζουμε\;:\;d_T(A,B)=|χ_2-χ_1|+|ψ_2-ψ_1| \;\;  (1)

Στην \;Ευκλείδια \;γεωμετρία\; αλλάζοντας \;την\; έννοια\; της \;απόστασης\; εισάγωντας\; ως \;απόσταση\ 
δύο\; σημείων \;την\;(1) \;και \;με\; την\; παραδοχή\; ότι :\
1.\;Mιλάμε \;σε \;πλέγμα\;(δίκτυο)\ τετραγώνων\; με\; μήκος\; πλευράς\; 1.\2.\;Τα\;σημεία\;βρίσκονται\;στους\;κόμβους\;και\;έχουν\;ακέραιες\;συνταταγμένες.\3.\;Ένα \;φανταστικό\; ταξί\; κινείται\; περιμετρικά\; των\;τετραγώνων\; διανύοντας\;την\;ελάχιστη\; από-\\;\;\;\;\;σταση\;μεταξύ\; δύο\; σημείων .Η\; ελάχιστη\; αυτή\; απόσταση\; είναι\;ο \;μικρότερος\; αριθμός\; μο
     νάδων\\;\;\;\;\;του\; δικτύου\; (η\; διαδρομή\; της\; ελάχιστης\; απόστασης \;δεν \;είναι \;μοναδική)\; και\; ονομά
     ζεται \;από-\\;\;\;\;\;σταση\; Manhattan\;.Έτσι\;δημιουργείται\;μία\;μη\; Ευκλείδεια\; γεωμετρία\;που\;ονομάζεται \\;\;\;\;“γεωμετρία\;ταξί ”\;ή\;“γεωμετρία\;των\;πόλεων”.

Γεωμετρία\; ταξί\;  (taxicab)

Μiα απλή εισαγωγή στη γεωμετρία ταξί

1. Τα\; τμήματα\; με\;ίσο \;μήκος\; δεν\; είναι\; κατανάγκη\; ίσα.

Α

Β

(ΑΒ)=6

Γ

Δ

(ΓΔ)=6

ΑΒ≠ΓΔ

2.\;Δεν\;ισχύει\;το\;Πυθαγόρειο\;θεώρημα.

Μερικά αξιοσημείωτα συμπεράσματα

Α

Β

Γ

(ΑΒ)=5\;\,,(ΑΓ)=4

(ΒΓ)=9

(ΑΒ)^{2}+(ΑΓ)^{2}≠(ΒΓ)^{2}

3.\;Ένα\;ορθογώνιο\;τρίγωνο\;μπορεί\;να\;είναι\;ισόπλευρο.

Α

Β

Γ

(ΑΒ)=(ΑΓ)=(ΒΓ)

4.\;Δεν\;ισχύον\;τα\;κριτήρια\;ισότητας\;των\;τριγώνων.

σπύρος\;γιαννακόπουλος

Αρχική\; ιδέα\; του\; Hermann\; Minkowski

Έστω\; κύκλος\; με \;κέντρο \;Ο(0,0)\; και \;ακτίνα\; ρ=2.\;Αν\; Μ(χ,ψ)\; τυχαίο\; σημείο\; του\; κύκλου \;,τότε:\
\;d_T(O,M)=2⇔\left| χ \right| +\left| ψ \right| =2\;\;(1).

∙\;Αν\;χ≤0\;\;(1)⇔\left| ψ \right| =2+χ.\;Πρέπει\;2+χ≥0⇔χ≥-2

Άρα \;αν\;-2≤χ≤0\;έχουμε:ψ=χ+2\;ή\;ψ=-χ-2

∙\;Αν\;χ≥0\;(1)⇔\left| ψ \right| =2-χ.Πρέπει\;2-χ≥0⇔χ≤2

Άρα\;αν\;0≤χ≤2\;έχουμε:ψ=-χ+2\;ή\;ψ=χ-2.

Συνεπώς\;ο\;παραπάνω\;κύκλος\;είναι\;το\;σύνολο\;των\; κόμβων\;(κόκκινα\;σημεία)\που\;βρίσκονται\;στις\;πλευρές\;του\;τετραγώνου.

Παρατηρούμε\;ότι:\1.\;Ο\;Ευκλείδειος\;κύκλος\;είναι\;ο\;περιγγεγραμένος\;κύκλος\;του
\;τετραγώνου.

Κύκλος

2.\;Αν\;L_T\;είναι\;το\;μήκος\;του\;κύκλου\;ταξί,τότε\;είναι:\;\frac{L_T}{2R}=4.

Α = (5, 2)
Β = (7, 6)
Γ = (7, 2)
u = Vector(Α, Γ)
v = Vector(Γ, Β)
a = Segment(Α, Β)
Δ = (5, 6)
b = Vector(Δ, Β)
w = Vector(Α, Δ)
Ε = (6, 2)
c = Vector(Α, Ε)
Ζ = (6, 6)
d = Vector(Ε, Ζ)
e = false
Η = (-4, 1)
Θ = (-1, 4)
f = Segment(Η, Θ)
Ι = (2, 4.0000000000000036)
Κ = (8, 4.0000000000000036)
g = Segment(Ι, Κ)
Λ = (11, 4)
Μ = (11, 0)
h = Segment(Λ, Μ)
Ν = (16, 0)
i = Segment(Μ, Ν)
j = Segment(Λ, Ν)
k = false
Ξ = (-3, -6)
Ο = (-1, -4)
l = Segment(Ξ, Ο)
Π = (1.0000000000000002, -6)
m = Segment(Ο, Π)
n = Segment(Ξ, Π)
α = Angle(Ξ, Ο, Π)
β = Angle(Λ, Μ, Ν)
o = false
Ρ = Point(xAxis)
Σ = Point(yAxis)
p = Segment(Ρ, Σ)
Τ = Point(yAxis)
q = Segment(Ρ, Τ)
Υ = Point(xAxis)
r = Segment(Σ, Υ)
s = Segment(Υ, Τ)
Φ = Point(p)
Χ = Point(r)
Ψ = Point(s)
Ω = Point(q)
t = Circle(Ρ, Σ, Υ)