ε

ψ=χ,διχοτόμος της γωνίας χΟψ

Εκθετική συνάρτηση f

Λογαριθμική συνάρτηση g

Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης

1. \,Πεδίο \,ορισμού: \,D_f=R.\
2.\,Σύνολο\, τιμών :\,f(R)=(0,+∞)\
3.\,Αν\,\,0<α<1,τότε \,f↓R.Αν\,α>1,τότε\,f↑R.\
4. \,Για\, κάθε\, χ_1,χ_2∈R\, με χ_1≠χ_2⇒α^{x_1}≠a^{x_2}.\
\,\,\,\,\,ή\,για\,κάθε\,χ_1,χ_2∈R\,με\,α^{χ_1}=α^{χ_2}⇒χ_1=χ_2.\
    \,\,\,\,\,Η\,παραπάνω\,ιδιότητα\,χαρακτηρίζει \,τη\,συνάρτηση\
            \,\,\,\,\,  ως\, “ένα\,προς\,ένα”\,(1-1).\
5.\,Ο\,άξονας\,χ'χ\,είναι \,ασύμπτωτη\,της\,γραφικής\,παράστασης.\

   

6.\,O\,γωμετρικός\,τόπος\,των\,συμμετρικών\,σημείων\,της\,C_f\,\,ως \,προς\,την\,ευθεία\,ψ=χ\
\,\,\,\,\,\,(μετακινήστε\, το \,σημείο\, Α)\,είναι\,σημεία\,μιας\,γραμμής\,που\,είναι\,γραφική\,παράστασης\,μιας\,συνάρτησης\
\,\,\,\,\,\,g\,,\,τη \,συμβολίζουμε\,log_α\,και\,η\,τιμή\,της\,g(χ)=log_αχ\,χ>0\,ονομάζεται \,λογάριθμος
\,του\,χ\,με\,βάση\,το\,α.\
\,\,\,\,\,Αφού \,έχουμε\,την\,αντιστίχοιση\,\,(χ,ψ)∈C_f↔(ψ,χ)∈C_g,αντιστρέφονται\,οι\,ρόλοι \
\,\,\,\,\,του\,“πεδίο\,ορισμού\,και\,συνόλου\,τιμων”\των\,δύο\,συναρτήσεων.\
\,\,\,\,\,\,Έτσι\,το\,πεδίο\,ορισμού\,της\,g\,είναι\,το\,(0,+∞)\,και\,το\,σύνολο\,τιμών\,της\,το\,R.\
\,\,\,\,\,\,Για\,τις\, συναρτήσεις\,f,g\,λέμε\,οτι\,η\,μία\,είναι\,αντίστροφη\,της\,άλλης\,(f^{-1}=g\,και\,g^{-1}=f ).\
\,\,\,\,\,\,Βασικός\,τύπος\,αντιστροφής:\,α^χ=ψ⇔χ=log_αψ.

f(χ)=α^χ\,\,με\,0<α≠1

Παρατηρήσεις
Μετακινήστε το δρομέα “α”
1. Όσο μεγαλώνει το α τι παρατηρείτε;
2.Ποια είναι η σχέση της C_g με τον άξονα ψ'ψ;

Μετακινήστε το δρομέα “α” για να δείτε τις μεταβολές

Σπύρος Γιαννακόπουλος

α = 2 (slider from 0.1 to 10, step 0.1)
f(x) = α^(x)
f_1 = Mirror(f, g)
A = Point(f)
A' = Mirror(A, g)
a = Segment(A, A')