Greek English
Είστε εδώ Αρχική » Μαθηματικά » Πυθαγόρειο Θεώρημα

Πυθαγόρειο Θεώρημα

print
email
Τελευταία ενημέρωση από Γιάννης Κονταξάκης

Θεωρήματα με ιστορία

Ένα όμορφο θέμα στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα και οι πολλές αποδείξεις του (περισσότερες από 370).

Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση).Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από την Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το, επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Ορθογώνιο τρίγωνο λέγεται το τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο, οι πλευρές που σχηματίζουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.

Η διατύπωση του Πυθαγορείου Θεωρήματος, όπως την διέσωσε ο Ευκλείδης στο 4ο Βιβλίο των Στοιχείων του είναι:

Πυθαγόρειο θεώρημα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας(της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία), είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών

 

Η εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος με νερό .

Μια έξυπνη κατασκευή που αποδεικνύει με νερό το Πυθαγόρειο θεώρημα

 

Δηλαδή : Το εμβαδό του μεγάλου τετραγώνου πλευράς α είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων πλευρών β και γ

ή  Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

ή  α2=β2+γ2

 

 

Μια άλλη εικόνα για το Πυθαγόρειο  με την εννοια του Εμβαδού

 

 

 

 

 

 

 

 

Μια περίεργη απόδειξη από τον Ινδό Μαθηματικό Bhaskara (Μπάσκαρα)

Κατασκεύασε ένα τετράγωνο πλευράς α .  Μέσα στο τετράγωνο κατασκεύασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β, γ, Από την κορυφή Β , έφερε κάθετο στο τμήμα β και από τη κορυφή Γ κάθετη στο προηγούμενο τμήμα. Με επέκταση της πλευράς γ δημιουργείται το παραπάνω σχήμα

Στο παραπάνω σχήμα εύκολα αποδεικνύεται ότι τα τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα που δημιουργούνται είναι ίσα.

Επίσης  το τετράγωνο που δημιουργείται στο κέντρο είναι πλευράς β-γ

 

Με λίγη άλγεβρα παίρνουμε ασφαλώς την απόδειξη, διότι αν γ είναι η υποτείνουσα και α και β οι κάθετες πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου, τότε:

(ΑΒΓΔ)=4Τρίγωνα+Μικρό Τετράγωνο  ή

 

α2 = 4(βγ/2) + (β-γ)222. ή  α222

Η απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος που δόθηκε από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Μπάσκαρα, που διέπρεψε γύρω στα 1150. Είναι μια απόδειξη διαμέρισης, που το μεγάλο τετράγωβο διαμερίζεται  , σε τέσσερα τρίγωνα και σε ένα τετράγωνο πλευράς ίσης με τη διαφορά των καθέτων. Ο Μπάσκαρα σχεδίασε το σχήμα και η μόνη επεξήγηση που έδωσε ήταν η λέξη «ιδού!».

 

 
 

Ιστορικά στοιχεία

Bhaskara Μπάσκαρα (1114 - περ. 1185). Ινδός μαθηματικός, ένας από τους κυριότερους εκπροσώπους των κλασικών ινδικών μαθηματικών. Στα συγγράμματά του, Λιλαβάτι και Μπιγιαγκανίτα, εφάρμοσε συστηματικά το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα. Ο Μπάσκαρα, που επονομαζόταν και «Ακάουα», δηλ. «σοφός»

 

Έχει διαβαστεί 1696 φορές

Σύνδεση

Πρόσφατα Σχόλια

Δεν υπάρχουν σχόλια.

Ποιός είναι online

Έχουμε online 3 επισκέπτες και 0 μέλη.