Θέμα Β3 στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς `α_0`, `α_1` , `α_2` οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1. Αν ο μιγαδικός αριθμός ` v` ικανοποιεί τη σχέση:

`v^3 + α_2 v^2 + α_1 v + α_0 = 0`

τότε να αποδείξετε ότι: `|v| < 4`

Λύση:

(Από ερώτημα Β1: `|α_0|<=3`, `|α_1|<=3` , `|α_0|<=3`)

`v^3 + α_2 v^2 + α_1 v + α_0 = 0 <=>`

`v^3 =- α_2 v^2 - α_1 v - α_0 =>`

`|v^3| =|- α_2 v^2 - α_1 v - α_0| <=>`

`|v^3| =| α_2 v^2 + α_1 v + α_0| =>`

`|v^3| <=| α_2 v^2| + |α_1 v| + |α_0| <=>`

`|v^3| <=| α_2| *|v^2| + |α_1|* |v| + |α_0| =>`

`|v^3| <=3 *|v^2| + 3* |v| + 3 <=>`

`|v^3| -3 *|v^2| - 3 *|v| - 3<=0 <=>`

`|v|^3 -3 *|v|^2 - 3 *|v| - 3<=0 `

θέτουμε `|ν|=x` και θεωρούμε την συνάρτηση `f(x)=x^3 -3* x^2 - 3* x - 3 , x>=0`

Μονοτονία της `f` :

`f'(x)=3x^2 -6 *x - 3 `

`f'(x)=0<=> x=1-sqrt(2)` ή `x=1+sqrt(2) `

`x``0``1+sqrt(2)` `+oo`
`f'(x)` `-``0``+`
`f(x)``-3` γ.φθίνουσαΤΕγ.αύξουσα

(1) `4>1+sqrt(2) `

(2) `f(4)=4^3 -3 *4^2 - 3 *4 - 3=64-48-12-3=1>0`

(3) `f(x)` γνησίως αύξουσα στο `[1+sqrt(2) , +oo]`

Από (1),(2) και (3) προκύπτει ότι: `x>=4=> f(x)>0`

οπότε `f(x)<=0=> x<4`

Αρα `|v|^3 -3 *|v|^2 - 3 *|v| - 3<=0 => |ν|<4`

home