Θέμα Β3 στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς `α_0`, `α_1` , `α_2` οι οποίοι ανήκουν στον
γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1. Αν ο μιγαδικός αριθμός ` v`
ικανοποιεί τη σχέση:
`v^3 + α_2 v^2 + α_1 v + α_0 = 0`
τότε να αποδείξετε ότι: `|v| < 4`
Λύση:
(Από ερώτημα Β1: `|α_0|<=3`, `|α_1|<=3` , `|α_0|<=3`)
`v^3 + α_2 v^2 + α_1 v + α_0 = 0 <=>`
`v^3 =- α_2 v^2 - α_1 v - α_0 =>`
`|v^3| =|- α_2 v^2 - α_1 v - α_0| <=>`
`|v^3| =| α_2 v^2 + α_1 v + α_0| =>`
`|v^3| <=| α_2 v^2| + |α_1 v| + |α_0| <=>`
`|v^3| <=| α_2| *|v^2| + |α_1|* |v| + |α_0| =>`
`|v^3| <=3 *|v^2| + 3* |v| + 3 <=>`
`|v^3| -3 *|v^2| - 3 *|v| - 3<=0 <=>`
`|v|^3 -3 *|v|^2 - 3 *|v| - 3<=0 `
θέτουμε `|ν|=x` και θεωρούμε την συνάρτηση `f(x)=x^3 -3* x^2 - 3* x - 3 , x>=0`
Μονοτονία της `f` :
`f'(x)=3x^2 -6 *x - 3 `
`f'(x)=0<=> x=1-sqrt(2)` ή `x=1+sqrt(2) `
`x` | `0` | | | | `1+sqrt(2)`
| | `+oo` |
`f'(x)` |
| | |
`-` | `0` | `+` | |
`f(x)` | `-3`
| | |
γ.φθίνουσα | ΤΕ | γ.αύξουσα | |
(1) `4>1+sqrt(2) `
(2) `f(4)=4^3 -3 *4^2 - 3 *4 - 3=64-48-12-3=1>0`
(3) `f(x)` γνησίως αύξουσα στο `[1+sqrt(2) , +oo]`
Από (1),(2) και (3) προκύπτει ότι: `x>=4=> f(x)>0`
οπότε `f(x)<=0=> x<4`
Αρα `|v|^3 -3 *|v|^2 - 3 *|v| - 3<=0 => |ν|<4`