ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η έκφραση `lim_(x→x_o )⁡f(x)=λ` διαβάζεται: το όριο της συνάρτησης f είναι το λ όταν το x τείνει στο `x_0`.

Ενώ σημαίνει ότι καθώς το x παίρνει τιμές ολοένα και πιο κοντά στο `x_0` οι τιμές τις f (x) πλησιάζουν όλο και περισσότερο στην τιμή λ .

Παρατήρηση: Η έκφραση `lim_(x→x_o )⁡f(x)=λ` έχει νόημα όταν η συνάρτηση ορίζεται σε περιοχή του `x_0` (δηλαδή σε διάστημα (α,`x_0`)U(`x_0`,β) ή (α, x0) ή (`x_0`, β) ), χωρίς να είναι απαραίτητο το `x_0` να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Ιδιότητες ορίων

Αν `lim_(x→x_o )⁡f(x)=l_1` και `lim_(x→x_o )⁡g(x)=l_2` με `l_1,l_1 in RR` τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

α) `lim_(x→x_o )⁡(f(x)+g(x) )=lim_(x→x_o )⁡f(x)+ lim_(x→x_o )⁡g(x)=l_1+ l_2

β) `lim_(x→x_o )⁡(kf(x))=k*lim_(x→x_o )⁡f(x)=k*l_1`

γ) `lim_(x→x_o )⁡(f(x)-g(x) )=lim_(x→x_o )⁡f(x)- lim_(x→x_o )⁡g(x) =l_1- l_2`

δ) `lim_(x→x_o )⁡(f(x).g(x) )=lim_(x→x_o )⁡f(x). lim_(x→x_o )⁡g(x) =l_1.l_2`

ε) Αν `l_2 ≠0`, `lim_(x→x_o )⁡(f(x)/g(x) )=lim_(x→x_o )⁡f(x) /lim_(x→x_o )⁡g(x) = l_1/l_(2 )`
στ) `lim_(x→x_0 )⁡f^ν (x)=[lim_(x→x_0 )⁡f(x)]^ν=l_1^ν` (ισχύει και όταν ο αριθμός ν είναι αρνητικός ακέραιος και `l_1≠0`.
ζ) Αν f(x)>0 σε περιοχή του `x_0`, τότε: `lim_(x→x_o )⁡sqrt(f(x))=sqrt(lim_(x→x_o )⁡f(x))=sqrt(l_1)`

Συνέχεια Συνάρτησης

Μια συνάρτηση `f : A -> RR`, λέγεται συνεχής στο `x_0 in A` αν ισχύει: `lim_(x→x_o )⁡f(x)=f(x_o)`
(δηλ πρέπει να υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο `x_ο` και να είναι ίσο με την τιμή της στο `x_ο`).

Συνέχεια σε διάστημα:

-Μια συνάρτηση `f : (α,β) -> RR` είναι συνεχής στο διάστημα (α,β), αν είναι συνεχής σε κάθε `x_0 in (α,β)`.

-Μια συνάρτηση `f : [α,β] -> RR` είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], αν είναι συνεχής σε κάθε `x_0 in (α,β)` και επιπλέον:
`lim_(x→α^+ )f(x)=f(α)`, και `lim_(x→β^- )f(x)=f(β)`

Παρατηρήσεις:

-Αν η f είναι συνεχής σε κάποιο διάστημα τότε η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής γραμμή.

-Όλες οι γνωστές μας συναρτήσεις και οι πράξεις μεταξύ τους είναι συνεχείς. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι για να υπολογίσουμε το όριο μιας συνεχούς συνάρτησης στο `x_0` αρκεί να αντικαταστήσουμε στον τύπο της συνάρτησης το `x_0`.

Παραδείγματα:

Για `x_0 in RR` έχουμε:

`lim_(x→x_o )⁡(3x+2)=3x_o +2`

`lim_(x→x_o )⁡ημ(x)=ημ(x_o)`

`lim_(x→x_o )⁡συν(x)=συν(x_o)`

`lim_(x→x_o )lnx=lnx_o`

`lim_(x→x_o )⁡e^x= e^(x_o )`

Πλευρικά Όρια
Αν η συνάρτηση ορίζεται με διαφορετικό τρόπο για `x < x_0` και για `x > x_0` , δηλαδή είναι της μορφής:
`f(x)={(h(x),, x < x_0),(g(x),,x > x_0):}` τότε πρέπει να υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια:
α. Βρίσκουμε το `lim_(x→x_o^- )h(x)=A` για `x < x_0` (όριο από αριστερά).
β. Βρίσκουμε το `lim_(x→x_o^+ )⁡g(x)=B` για `x > x_0` (όριο από δεξιά).
γ. Αν A=B=l τότε λέμε ότι υπάρχει το `lim_(x→x_o )⁡f(x)` και είναι: `lim_(x→x_o )⁡f(x)=l`

Παραδείγματα

1.Αν `f(x)={(x, x<0),(x^2, x>=1):}`
- Για x<1, έχουμε:`lim_(x→1^- )f(x)=lim_(x→1^- )x=1`
- Για x>1, έχουμε:`lim_(x→1^+ )f(x)=lim_(x→1^+ )x^2=1^2=1`
Άρα:`lim_(x→1^- )f(x)=lim_(x→1^+ )f(x)=1`
Επομένως:`lim_(x→1)f(x)=1`

2. Αν `f(x)={(2x, x<4),(x^2, x>=4):}`
- Για x < 4, έχουμε:`lim_(x→4^- )f(x)=lim_(x→4^- )2x=2*4=8`
- Για x > 4, έχουμε:`lim_(x→4^+ )f(x)=lim_(x→4^+ )x^2=4^2=16`
Επειδή: `lim_(x→4^- )⁡f(x)!=lim_(x→4^+ )⁡f(x)`
Δεν υπάρχει το `lim_(x→4)f(x)`.

Μια συνάρτηση `f : A -> RR` δεν είναι συνεχής στο `x_0 in Α` στις παρακάτω περιπτώσεις:

Το `lim_(x→x_o )⁡f(x)` δεν υπάρχει

Το `lim_(x→x_o )⁡f(x)` υπάρχει, όμως είναι διαφορετικό από την τιμή της συνάρτησης: `lim_(x→x_o )⁡f(x)≠f(x_o)`
Η συνέχεια μιας συνάρτησης εξετάζεται μόνο σε σημεία `x_ο` που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της.