GI_A_ALG_2_478 ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η εξίσωση: `x^2 -λx +(λ^2+λ-1)=0` (1) , με παράμετρο λ∈ℝ.
α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες πραγματικές. (Μονάδες 12)
β) Να λύσετε την ανίσωση: `S^2-P-2≥0`, όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1). (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) `Δ=β^2-4αγ=(-λ)^2-4*1*(λ^2+λ-1)=λ^2-4λ^2+4λ-4=-3λ^2-4λ+4`
Λύση της Εξίσωσης: `-3λ^2-4λ+4=0`

α=-3

β=-4

γ=4

Δ=`β^2-4αγ=(-4)^2-4*(-3)*4` =16+48=64

Η εξίσωση έχει δύο λύσεις:

`x_1=(-β-sqrt(Δ))/(2α)=(-(-4)-sqrt(64))/(2*(-3))=(4-8)/-6=(4-8)/-6=-4/-6=2/3`

`x_2=(-β+sqrt(Δ))/(2α)=(-(-4)+sqrt(64))/(2*(-3))=(4+8)/-6=(4+8)/-6=12/-6=-2`

Πρόσημο Τριωνύμου:

Επειδή Δ>0 το τριώνυμο εκτός των ριζών έχει το πρόσημο του α δηλ (-), και εντός των ριζών αντίθετο του α δηλ (+)
x-oo-2`2/3`+oo
f(x)-0+0-

Άρα πρέπει: `-2<λ<2/3`

β)
`S=-β/α=-(-λ)/1=λ`
`P=γ / α=(λ^2+λ-1)/1=λ^2+λ-1`
`S^2-P-2=λ^2-(λ^2+λ-1)-2=λ^2-λ^2-λ+1-2=-λ-1`
`S^2-P-2≥0<=>-λ-1≥0<=>-1≥λ<=>λ<=-1`