Μεγέθυνση, σμίκρυνση και μετακίνηση στις μικροεφαρμογές GeoGebra

? Για να μετακινήσετε το φόντο, κρατήστε πατημένο το πλήκτρο Shift ενώ κάνετε κλικ πάνω στο φόντο για να το σύρετε .
? Για μεγέθυνση ή σμίκρυνση, κρατήστε πατημένο το πλήκτρο Shift και ταυτόχρονα χρησιμοποιείτε τη ροδέλα κύλισης του ποντικιού σας.
? Δημιουργήστε ένα παράθυρο ζουμ κάνοντας κλικ και σύροντας το δεξί πλήκτρο του ποντικιού.
? Για να προσαρμόσετε την κλίμακα ενός άξονα, κρατήστε πατημένο το Shift ενώ κάνετε κλικ πάνω στον άξονα για να τον σύρετε.
? Για γρήγορη μεγέθυνση ή σμίκρυνση , κρατήστε πατημένο το Alt-Shift ταυτόχρονα με την κύλιση.
? Μπορείτε να επαναφέρετε το αρχικό ζουμ κάνοντας δεξί κλικ και επιλέγοντας «πρότυπη προβολή” από το μενού περιβάλλοντος.
Προσοχή, δεν είναι όλα τα παραπάνω επιτρεπτά σε κάθε εφαρμογή.
Μπορείτε να κάνετε δοκιμή και εξάσκηση στη μικροεφαρμογή που ακολουθεί:

Διαδραστικά μαθηματικά – μικροπειράματα

Σ? αυτό το χώρο δημοσιεύονται μικροπειράματα που έχουν δημιουργηθεί με το λογισμικό Geogebra. Μπορείτε να μεταβάλλετε κατάλληλα διάφορα μεγέθη σε καθεμία από τις δραστηριότητες και ταυτόχρονα να παρατηρήσετε τις επιπτώσεις αυτών των μεταβολών και να εξάγετε κατάλληλα συμπεράσματα. Συνήθως, τα βήματα που ακολουθούμε στα μικροπειράματα για μια αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση, είναι τα εξής: α) αρχικά με το δυναμικό χειρισμό αντικειμένων, μεταβάλλουμε κάποιο μέγεθος ή μεγέθη και παράλληλα παρατηρούμε τις επιπτώσεις της μεταβολής σε άλλα μεγέθη, β) στη συνέχεια κάνουμε εικασίες και υποθέσεις βασιζόμενοι στην παρατήρηση και τις προηγούμενες γνώσεις και εμπειρίες μας, γ) ακολουθεί ο έλεγχος των υποθέσεων μετη βοήθεια του λογισμικού και γ) στο τέλος εξάγουμε συμπεράσματα.
Τα μικροπειράματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν προγράμματα επίδειξης, δηλαδή ο διδάσκων μπορεί να ετοιμάσει μια παρουσίαση για να βελτιώσει το επίπεδο της κατανόησης των μαθητών. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν και σαν μέσα πειραματισμού με τη βοήθεια των οποίων οι μαθητές μπορούν να διατυπώσει και να ελέγξουν εικασίες.
Τα μικροπειράματα εμπεριέχουν διασυνδεδεμένες αναπαραστάσεις και η βασική χρήση τους από μαθητές προβλέπει δυναμικό χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων ώστε συμπεριφορές, σχέσεις και ιδιότητες να γίνονται αντικείμενο προβληματισμού, διερεύνησης και διαπραγμάτευσης (τι μένει σταθερό και τι αλλάζει καθώς μετεξελίσσονται τα μαθηματικά αντικείμενα). Για παράδειγμα, με αφετηρία μια δραστηριότητα ? άσκηση του σχολικού βιβλίου, ένα μικροπείραμα μπορεί να στοχεύει στην επεξήγηση μιας έννοιας ή στην απαραίτητη εμβάθυνση για την κατανόησή της από τους μαθητές. Έτσι, το κάθε μικροπείραμα μπορεί να καλύπτει μια έννοια με στενό τρόπο ή ένα ευρύτερο εννοιολογικό πεδίο όπου εμπλέκονται συνδεδεμένες μαθηματικές έννοιες.

Για να βλέπετε τα μικροπειράματα  θα πρέπει να εγκαταστήσετε στον υπολογιστή σας, το λογισμικό JAVA. Αυτό μπορεί να γίνει από τη διεύθυνση http://www.java.com/en/

Τριγωνομετρικός κύκλος

Ο βασικός στόχος της δραστηριότητας είναι να δοθεί στους οι μαθητές η δυνατότητα να οπτικοποιήσουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας και να συνδέσουν διαισθητικά, τις τιμές τους και τις μεταβολές τους με τις τιμές και τις μεταβολές της γωνίας
Ενδεικτικές οδηγίες προς τους μαθητές
Δείτε πως υπολογίζονται και πως μεταβάλλονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας.
Παρατηρήστε πως μεταβάλλεται το πρόσημο του ημω καθώς μεταβάλλεται η γωνία ω.
Παρατηρήστε για ποιές τιμές της γωνίας ω ισχύει καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις:
α) αύξηση της ω συνεπάγεται και αύξηση του ημω.
β) αύξηση της ω συνεπάγεται και μείωση του ημω.
Εργαστείτε όμοια και για τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Αξονική & κεντρική συμμετρία

Οι μαθητές πειραματίζονται με την αξονική και την κεντρική συμμετρία με σκοπό να ανακαλύψουν τις ιδιότητες τους, τις ομοιότητες και τις διαφορές τους.

Πρόσθεση ακεραίων

Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα:
α) Να χρησιμοποιούν κάποιο μοντέλο για να παριστάνουν και να οπτικοποιούν την πρόσθεση δύο ρητών και να δικαιολογούν εποπτικά το αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Εδώ το μοντέλο μας είναι τα «βήματα» πάνω στον άξονα.
β) Να ανακαλύψουν με ποιους κανόνες γίνεται η πρόσθεση δύο ρητών και να τους χρησιμοποιούν στον υπολογισμό αθροισμάτων.
γ) Να ανακαλύψουν τις ιδιότητες της πρόσθεσης ρητών και να τις χρησιμοποιούν στον υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων.
Για να κατανοήσουμε το νόημα των θετικών και των αρνητικών ακεραίων αριθμών, καθώς και των πράξεων μεταξύ τους, ένας πολύ καλός τρόπος είναι να παριστάνουμε καθέναν από αυτούς με αντίστοιχα «βήματα» πάνω στον άξονα των ακεραίων και μάλιστα αν είναι θετικός τότε τα βήματα είναι προς τα δεξιά ενώ αν είναι αρνητικός τότε τα βήματα είναι προς τα αριστερά.
Για να παραστήσουμε εποπτικά (σχηματικά) την πρόσθεση δύο ακεραίων π.χ. (-6) + (-2) κάνουμε τα εξής:

Δηλαδή ξεκινώντας από την αφετηρία (που είναι το 0) , πηγαίνουμε 6 βήματα αριστερά (γιατί έχουμε -6) και στη συνέχεια δύο βήματα αριστερά (γιατί έχουμε -2). Έτσι καταλήγουμε στο -8 που είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης του -6 με το -2 και γράφουμε: (-6) + (-2) = -8


Mε τη βοήθεια του μοντέλου να βρείτε τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων:
(+3) + (+5) = ??..
(-6) + (-2) = ???.
(-1) + (-4) = ???.
(-4) + (-1) = ???
Να παρατηρήσετε τα παραδείγματα που προηγήθηκαν και να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα ? κανόνα για το πώς προσθέτουμε δύο ΟΜΟΣΗΜΟΥΣ ρητούς
Επίσης με τη βοήθεια του μοντέλου να βρείτε τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων:
(+6) + (-2) = ??.
(+6) + (-7) = ???
(-3) + (+1) = ???
(-3) + (+5) = ???.
Παρατηρώντας προσεκτικά τα παραδείγματα που προηγήθηκαν να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα ? κανόνα για το πώς προσθέτουμε δύο ΕΤΕΡΟΣΗΜΟΥΣ ρητούς

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας

Διδακτικοί στόχοι.
Με τη βοήθεια της μικροεφαρμογής και με κατάλληλες ερωτήσεις του διδάσκοντα, οι μαθητές:
θα θυμηθούν πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου.
Θα μάθουν πως ορίζονται (και για ποιο λόγο ορίζονται έτσι) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οποιασδήποτε γωνίας από 00 έως 3600 με τη βοήθεια ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων.
Θα μάθουν να υπολογίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας.
Θα υπολογίσουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 0, 90, 180, 270, και 360 μοιρών.
Μερικές ενδεικτικές ερωτήσεις προς τους μαθητές:
Ποια σχέση έχει η απόσταση ΜΟ με τις συντεταγμένες του σημείου Μ; Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του Μ, πώς μπορούμε να βρούμε την απόσταση ΜΟ;
Ελέγξτε την ορθότητα των εικασιών σας κάνοντας κλικ στη επιλογή ρ = ΜΟ.
Για μια οποιαδήποτε οξεία γωνία θ, κάνετε κλικ στην επιλογή ημίτονο της γωνίας θ και αιτιολογήστε την παράσταση που εμφανίζεται με βάση γνωστούς ορισμούς τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου.
Να κάνετε το ίδιο για το συνημίτονο και την εφαπτομένη.
Μετακινήστε το σημείο Μ και παρατηρήστε τι συμβαίνει με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της θ. Μπορείτε να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Εμβαδόν χωρίου και η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος

Ερευνητικά αποτελέσματα δείχνουν ότι πολλοί μαθητές, ενώ είναι ικανοί να υπολογίζουν ορισμένα ολοκληρώματα, δεν έχουν κατανοήσει την έννοια αυτή. Με αυτή τη μικροεφαρμογή, που αφορά στον υπολογισμό του εμβαδού ενός επιπέδου χωρίου το οποίο δεν μπορεί να υπολογιστεί με τις γνωστές στους μαθητές μεθόδους υπολογισμού εμβαδού, γίνεται προσπάθεια οι μαθητές να προσεγγίσουν διαισθητικά την έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος συνεχούς συνάρτησης. Τα αθροίσματα Riemann χρησιμοποιούνται για την επίτευξη αυτού του στόχου.
Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές:
? Να εισαχθούν στον υπολογισμό του εμβαδού ενός μη ευθυγράμμου επιπέδου χωρίου.
? Να κατανοήσουν διαισθητικά τη διαδικασία προσέγγισης του ζητουμένου εμβαδού με τα αθροίσματα Riemann.
? Να χειριστούν διαδραστικά την διαδικασία προσέγγισης συνδέοντας αριθμητικά, γεωμετρικά και συμβολικά τα απαραίτητα στοιχεία.
Μερικές ερωτήσεις για τους μαθητές θα μπορούσαν να είναι οι παρακάτω:
Χρησιμοποιώντας δύο κατάλληλα ορθογώνια παραλληλόγραμμα καθώς και τον τύπο υπολογισμού εμβαδού ορθογωνίου, να βρείτε δύο αριθμούς μεταξύ των οποίων θα περιέχεται το εμβαδόν Ε του ζητούμενου χωρίου.
Εμφανίστε διαδοχικά το άνω και κάτω άθροισμα. Καθώς αυξάνετε το πλήθος ν των άνω και κάτω ορθογωνίων, τι παρατηρείτε σχετικά με τις τιμές των άνω και κάτω αθροισμάτων;
Τι σχέση έχει το ζητούμενο εμβαδόν Ε με το άνω και κάτω άθροισμα;
Με ποια διαδικασία θα μπορούσατε να πάρετε μια ακόμη καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε;

Πολυωνυμική συνάρτηση

Μεταβάλλετε τους συντελεστές της πολυωνυμικής συνάρτησης f (με τους δρομείς α, β, γ, δ, ε, ζ) και παρατηρήστε τις αλλαγές στη γραφική της παράσταση.
Μετακινήστε το σημείο Σ για να δείτε τις συντεταγμένες οπουδήποτε σημείου της γραφικής παράστασης της f.
Εντοπίστε τις ρίζες, τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της f.

Εκτιμώντας τον αριθμό π με τη μέθοδο του Αρχιμήδη

Ο πρώτος επιστημονικός αλγόριθμος για τον ακριβή υπολογισμό του αριθμού π, έγινε γύρω στο 250 π.Χ. από τον Έλληνα μαθηματικό Αρχιμήδη και ήταν μια γεωμετρική προσέγγιση χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα. Αυτός ο υπολογιστικός αλγόριθμος κυριαρχείται για πάνω από 1000 χρόνια, και γι αυτό ο αριθμός π, μερικές φορές αναφέρεται ως “Σταθερά του Αρχιμήδη”. Ο Αρχιμήδης υπολόγισε την ανώτερη και την κατώτερη τιμή του π ξεκινώντας με κανονικά 6-γωνα, εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα σε κύκλο και στη συνέχεια με διαδοχικό διπλασιασμό του αριθμού των πλευρών τους, έφτασε στα κανονικά 96-γωνα, βρίσκοντας όλο και καλύτερες προσεγγίσεις για τον αριθμό π. Έτσι απέδειξε ότι 310/71 ? π ? 3 1/7 δηλαδή 3.14085? ? π ? 3.142857?
Στη μικροεφαρμογή που ακολουθεί, για την προσέγγιση του π, η διαδικασία αρχίζει με κανονικά τρίγωνα και αυξάνοντας κάθε φορά την πλευρά κατά 1, φτάνουμε έως τη προσέγγιση με κανονικά 48-γωνα.

Μέτρηση κύκλου.

Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε έναν κύκλο και ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.
Υπάρχουν επίσης δύο δρομείς τους οποίους μπορείτε να μεταβάλλετε κατάλληλα κάποια μεγέθη:
ο δρομέας n, που αντιστοιχεί στο πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου και
ο δρομέας r, που αντιστειχεί στην ακτίνα του κύκλου.
Να μεταβάλλετε το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει με την περίμετρο και το εμβαδόν του αντίστοιχου πολυγώνου.
Να συγρίνετε τα παραπάνω στοιχεία με το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.
Τι συμπεράσματα προκύπτουν;
Που μπορεί να χρησιμεύσει η παραπάνω διαδικασία;
Πως μπορουμε να τη γενικεύσουμε;