Η δική μας προσέγγιση

Για κατανοήσουμε το ζήτημα να το «αντικρίσουμε» όχι μόνο με τη ματιά ενός φυσικού αλλά περισσότερο με εκείνη ενός γεωμέτρη.

1.Το γεωμετρικό σημείο ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Ο, the origin of a reference frame

Για να προσδιορίσουμε τη ΘΕΣΗ –αλλά και την ταχύτητα- ενός υλικού σημείου χρησιμοποιούμε την έννοια ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ. Η γεωμετρική αναπαράσταση ενός συστήματος αναφοράς είναι ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων στο οποίο «πρωταγωνιστεί» το γεωμετρικό σημείο Ο , the origin of a reference frame, το αποκαλούμενο Αρχή των αξόνων,

2.Στροφορμή υλικού σημείου ως προς το γεωμετρικό σημείο ‘’Αρχή των αξόνων’’.

Η -αναφερόμενη σε μία χρονική στιγμή- στροφορμή υλικού σημείου είναι διανυσματικό μέγεθος που ορίζεται ως εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, της ορμής του υλικού σημείου κατά τη στιγμή εκείνη και της θέσης του υλικού σημείου την ίδια εκείνη στιγμή. Ας δούμε καθένα από αυτά.

Το ένα είναι η ορμή υλικού σημείου (mυ = mdr/dt) το γινόμενο δηλαδή της μάζας του υλικού σημείου επί την παράγωγο της θέσης. Αποκτά εννοιακή υπόσταση μόνον βάσει ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς το οποίο στη γεωμετρική του αναπαράσταση είναι ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων με κάποιο γεωμετρικό σημείο Ο να αποτελεί την Αρχή των αξόνων.

Το άλλο διάνυσμα είναι η θέση του υλικού σημείου, το οποίο επίσης έχει εννοιακή υπόσταση μόνον σε σχέση με κάποιο σύστημα αναφοράς και ορίζεται ως διάνυσμα με αρχή την αρχή των αξόνων Ο και πέρας το γεωμετρικό σημείο στο οποίο κατά τη στιγμή εκείνη κατοικεί το υλικό σημείο.

Ο.

Τόσο δηλαδή η ορμή όσο και η θέση αναφέρονται στο γεωμετρικό σημείο Ο που αποτελεί την αρχή των αξόνων, με λογική συνέπεια το εξωτερικό τους γινόμενο,

η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, να αναφέρεται στο γεωμετρικό αυτό σημείο Ο.

Συμπέρασμα: Η στροφορμή ορίζεται μόνο σε σχέση με κάποιο σύστημα αναφοράς. Με άλλα λόγια ορίζεται ως προς το γεωμετρικό σημείο (the origin of a reference frame) το οποίο, στη γλώσσα μας, αποδίδεται με τον όρο «Αρχή των αξόνων» και συμβολίζεται με το διεθνή συμβολισμό Ο.

Το μέτρο της στροφορμής είναι ίσο με το γινόμενο mυrημφ. Κατά μία άλλη θεώρηση είναι ίσο με το γινόμενο της ορμής επί την απόσταση από το σημείο Ο. L = mυrημφ

Από την άλλη το διάνυσμα ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τις τεμνόμενες ευθείες των δύο διανυσμάτων και στο οποίο –επίπεδο- ανήκει και το γεωμετρικό σημείο «Αρχή των αξόνων Ο». Το επίπεδο μάλιστα αυτό δεν ταυτίζεται υποχρεωτικά με κάποιο από τα επίπεδα xoy, yoz ή xoz πράγμα που σημαίνει ότι το διάνυσμα στροφορμή δεν είναι υποχρεωτικά παράλληλο με κάποιον από τους τρεις άξονες. Μπορούμε να φανταστούμε την ανάλυσή του σε τρεις συνιστώσες L_X, L_Y, L_Z, καθεμία παράλληλη σε έναν από τους άξονες x, y, z .

3.Στροφορμή συστήματος ως προς το γεωμετρικό σημείο ‘’Αρχή των αξόνων, Ο ’’

Προκειμένου τώρα για ένα σύστημα υλικών σημείων, η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ του συστήματος σχετιζόμενη πάντα με κάποιο σύστημα αναφοράς ορίζεται ως «άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείων» και εξυπακούεται ότι σχετίζεται με συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς, με point referential το γεωμετρικό σημείο Αρχή των αξόνων Ο.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο υλικά σημεία ίσων μαζών, με ταχύτητες αντίθετης κατεύθυνσης. Επιλέγουμε το τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς έτσι ώστε οι θέσεις των δύο υλικών σημείων να είναι συμμετρικές ως τον άξονα z΄z και οι ταχύτητες να είναι παράλληλες προς το επίπεδο xoy. Σε μια τέτοια περίπτωση μπορούμε να αποδείξουμε ότι η – ως προς την αρχή των αξόνων Ο - στροφορμή «του συστήματος των δύο υλικών σημείων» είναι παράλληλη στον άξονα z΄z.

4.Στροφορμή στρεφομένου στερεού, ως προς το γεωμετρικό σημείο ‘’Αρχή των αξόνων Ο’’.

Όσο για τη στροφορμή ενός στερεού σώματος, το «σώμα» (με την έννοια ενός rigid body και όχι solid body) το θεωρούμε ότι αποτελείται από σύνολο υλικών σημείων τα οποία είναι μεταξύ τους ακίνητα. Στην περίπτωση αυτή, το ενδιαφέρον εστιάζεται πριν απ’ όλα σε σώμα που στρέφεται περί σταθερό άξονα.

Πώς θα μετασχηματίσουμε την έννοια αυτή σε κατανοήσιμο από τους μαθητές διδακτικό αντικείμενο;

Έχει νόημα η διατύπωση

«Στροφορμή ενός στερεού ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ»;

1. Εάν πρόκειται για στροφορμή υλικού σημείου σε κυκλική κίνηση, για να απλοποιήσουμε την περιγραφή επιλέγουμε ως Αρχή των αξόνων Ο το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και ως επίπεδο xoy το επίπεδο στο οποίο ανήκει η κυκλική τροχιά. Κατ’ αυτόν τον τρόπο η -ως προς Ο- στροφορμή του υλικού σημείου είναι ίση με το γινόμενο της ορμής επί την ακτίνα του κύκλου, ενώ το σχετικό διάνυσμα είναι συνεχώς κάθετο στο επίπεδο του κύκλου, είναι παράλληλο με τον άξονα zz ΄ και έχει την ίδια κατεύθυνση με τη γωνιακή ταχύτητα

2. Η έννοια στροφορμή παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον όταν περιγράφει τη στροφική κίνηση ενός στερεού σώματος. Θεωρούμε το στερεό σώμα ( πρόκειται για το μοντέλο RIGID body και όχι για το solid body που και αυτό αποδίδεται «στερεό σώμα» στην ελληνική γλώσσα) ως σύνολο υλικών σημείων τα οποία εκτελούν κυκλικές κινήσεις με τα κέντρα των τροχιών να βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Η ευθεία αυτή - άξονας περιστροφής- συνιστά μία βασική γεωμετρική έννοια κατά την περιγραφή της κίνησης. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας ανήκει στον άξονα της περιστροφής.

Για να προσεγγίσουμε με απλό τρόπο την έννοια στροφορμή στερεού σώματος σε στροφική κίνηση επιλέγουμε το τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς έτσι ώστε ο άξονας zz΄να συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής. Σε αυτή την περίπτωση

α. εφόσον ο άξονας περιστροφής είναι και άξονας συμμετρίας για το στρεφόμενο αντικείμενο η –πάντοτε ως προς Ο- στροφορμή του στερεού είναι ως διάνυσμα παράλληλη προς τον zz΄ έχει την ίδια κατεύθυνση με τη γωνιακή ταχύτητα και είναι ίση (κατά μέτρο) με το γινόμενο Ιω, της ροπής αδράνειας του στερεού (ως προς τον άξονα περιστροφής) επί τη γωνιακή ταχύτητα. Σ’ αυτή την περίπτωση χαρακτηρίζεται και στροφορμή του στερεού κατά τον άξονα περιστροφής.

L₌Ιω

β. Εάν άξονας περιστροφής δεν είναι και άξονας συμμετρίας για το στρεφόμενο αντικείμενο το γινόμενο «Ιω» είναι ίσο (εννοείται κατά μέτρο) με τη διανυσματική συνιστώσα L_z , την παράλληλη δηλαδή προς τον άξονα περιστροφής. Σ΄ αυτή την περίπτωση χαρακτηρίζεται επίσης στροφορμή του στερεού κατά τον άξονα περιστροφής. L_z₌Ιω

Συμπεράσματα

1. Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ -είτε υλικού σημείου, είτε συστήματος υλικών σημείων είτε στρεφομένου στερεού- ορίζεται ΣΕ ΣΧΕΣΗ με κάποιο ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ. Μπορούμε ισοδύναμα να πούμε ότι ορίζεται ΣΕ ΣΧΕΣΗ με το γεωμετρικό σημείο ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΌΝΩΝ Ο.

2. Η διατύπωση Στροφορμή ως προς Ο είναι εννοιακώς ακριβής, εφόσον το Ο είναι η αρχή των αξόνων.

3. Για τη ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ -είτε υλικού σημείου, είτε συστήματος υλικών σημείων είτε στρεφομένου στερεού- δεν μπορούμε να δεχθούμε ότι ορίζεται ΣΕ ΣΧΕΣΗ με κάποιο άξονα

4. Για τη ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ενός στρεφομένου στερεού ειδικό ενδιαφέρον έχει η συνιστώσα της ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ του άξονα περιστροφής (τον οποίον στη γεωμετρική τρισορθογώνια αναπαράσταση του referential frame τον θεωρούμε παράλληλο προς ένα από τους τρεις άξονες, συνήθως προς τον z΄z ) .

Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιούμε τη διατύπωση «ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ενός στρεφομένου στερεού ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ» -εννοώντας τη συνιστώσα της ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ- και όχι τη διατύπωση «ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ».

Η διατήρηση της στροφορμής

Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ενός συστήματος σωμάτων διατηρείται σταθερή εφόσον η ολική εξωτερική ΡΟΠΗ είναι μηδέν.

α. Τόσο η στροφορμή όσο και η ροπή αναφέρονται σε κάποιο σύστημα αναφοράς και ειδικά στο γεωμετρικό σημείο « αρχή των αξόνων»

β. Πρόκειται για έναν από τους μεγάλους νόμους διατήρησης.

γ. Μπορούμε βασιζόμενοι σ’ αυτόν να αποδείξουμε ότι για κάθε πλανήτη του ηλιακού συστήματος «τα εμβαδά που διαγράφει η επιβατική ακτίνα –από τον Ήλιο- είναι ανάλογα προς τους χρόνους διαγραφής», να αποδείξουμε δηλαδή τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ.

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/equalArea/equalArea.html

Δείτε επίσης και

Στροφορμή για κάθε ηλεκτρόνιο