Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

α. Η κινητική ενέργεια στην κλασική Φυσική

Μπορεί κανείς πολύ εύκολα να κρίνει εάν ένα σώμα έχει κινητική ενέργεια. Αρκεί να έχει την πληροφορία ότι το σώμα κινείται ως προς κάποιο Σύστημα Αναφοράς. Η τιμή της είναι ίση με την ενέργεια που χρειάστηκε να μεταβιβαστεί στο σώμα ώστε από την κατάσταση μηδενικής ταχύτητας να βρεθεί στην «τωρινή» κατάσταση κίνησης. Με άλλα λόγια, η τιμή της, στην κλασική Φυσική, είναι ίση με το έργο της (ολικής) δύναμης που απαιτήθηκε για να συμβεί αυτό.

Η κινητική ενέργεια είναι φυσικό μέγεθος, παριστάνεται με το γράμμα Κ και έχει για μονάδα μέτρησης το ένα τζάουλ.

Κινητική ενέργεια ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ. Οποιαδήποτε και να είναι η κίνηση του υλικού σημείου (ευθύγραμμη , κυκλική ή κάτι άλλο) ως προς κάποιο Σύστημα αναφοράς, η τιμή της κινητικής του ενέργειας, σε κάποια χρονική στιγμή, είναι ίση με ½mυ² . Το m συμβολίζει τη μάζα του υλικού σημείου και το υ την ταχύτητά του ως προς το Σύστημα αναφοράς,

Κινητική ενέργεια ενός συστήματος (συνόλου) ΥΛΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ.

Οποιαδήποτε και να είναι η κίνηση των υλικών σημείων η κινητική ενέργεια του συστήματος, σε κάποια χρονική στιγμή είναι ένα άθροισμα θετικών ποσοτήτων . Είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των υλικών σημείων ως προς συγκεκριμένο Σύστημα αναφοράς. Εάν τα υλικά σημεία είναι ν το πλήθος γράφουμε:

Κ = ½m₁υ₁²+ ½m₂υ₂²+ ½m₃υ₃² +. . . . . . + ½m_νυ_ν²

Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος υλικών είναι ίση με μηδέν μόνο εφόσον όλα τα υλικά σημεία είναι ακίνητα

Κινητική ενέργεια ενός RIGID BODY σε μεταφορική κίνηση

Το «RIGID BODY σε μεταφορική κίνηση, ως προς κάποιο Σύστημα αναφοράς» θεωρείται σύνολο υλικών σημείων τα οποία, σε κάθε χρονική στιγμή, έχουν κοινή ταχύτητα ως προς το Σύστημα αναφοράς, οπότε η κινητική του ενέργεια, σε κάποια χρονική στιγμή, είναι ίση με το άθροισμα ½m₁υ²+ ½m₂υ²+ ^{. . . .} + ½m_νυ² . Μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα την ποσότητα ½υ² , οπότε, μέσα στην παρένθεση, θα εμφανιστεί το άθροισμα των μαζών των υλικών σημείων, το οποίο θεωρείται μάζα του RIGID BODY. Τελικά Κ= ½mυ²

Κινητική ενέργεια ενός RIGID BODY σε στροφική κίνηση

Το «RIGID BODY σε στροφική κίνηση , ως προς κάποιο Σύστημα αναφοράς» θεωρείται σύνολο υλικών σημείων τα οποία εκτελούν κυκλικές κινήσεις και, σε κάθε χρονική στιγμή, έχουν κοινή γωνιακή ταχύτητα. Το άθροισμα ½m₁υ₁²+ ½m₂υ₂²+ ½. . . . . . + ½m_νυ_ν² θα είναι η κινητική ενέργεια του στρεφόμενου στερεού.

Αν όμως αντικαταστήσουμε την τιμή της ταχύτητας κάθε υλικού σημείου με το γινόμενο της γωνιακής του ταχύτητας (ω) επί την ακτίνα (r) της τροχιάς θα έχουμε το άθροισμα ½m₁ω²r₁² + ½m₂ω²r₂² + . . . . . . + ½m_ν ω²r _ν² και μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα την ½ω² , οπότε θα έχουμε την αλγεβρική παράσταση ½ ω² (m₁r₁² + m₂r₂² + . . . . . . + m_νr _ν²) . Η φυσική ποσότητα μέσα στην παρένθεση είναι η ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ του RIGID BODY ως προς τον άξονα περιστροφής. Τη συμβολίζουμε με το γράμμα Ι, οπότε Κ = ½Ιω²

Κινητική ενέργεια ενός RIGID BODY σε κύλιση χωρίς ολίσθηση.

Η κύλιση ενός κυλινδρικού RIGID BODY μπορεί να αναλυθεί σε μεταφορική με την ταχύτητα του κέντρου μάζας (υ_cm ) και σε στροφική κίνηση περί άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας, με γωνιακή ταχύτητα ω, οπότε η κινητική του ενέργεια θα θεωρείται άθροισμα της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορική κίνησης και της κινητικής ενέργειας λόγω της στροφικής περί άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας. Κ = ½mυ_cm² + ½Ι_cmω²

Η κύλιση χωρίς ολίσθηση μπορεί να μελετηθεί και σαν «στροφική κίνηση περί στιγμιαίο άξονα που περνάει από το σημείο επαφής, οπότε η κινητική ενέργεια ενός κυλιομένου σώματος θα είναι ίση με ½Ι_σω2,όπου Ι_σ η ροπή αδράνειας ως προς τον στιγμιαίο άξονα περιστροφής.

β. Η κινητική ενέργεια στη Φυσική του εικοστού αιώνα Σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας η μάζα ενός σωματιδίου δεν είναι σταθερή αλλά αυξάνεται καθώς αυξάνεται η ταχύτητα του σωματιδίου. Η κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου με μάζα ηρεμίας m₀ είναι ίση με τη διαφορά mc² - m₀c ², όπου το m παριστάνει τη μάζα του σωματιδίου, όταν βρίσκεται σε κίνηση, το mc² την ενέργεια ύπαρξης του σωματιδίου όταν βρίσκεται σε κίνηση και το m₀c² την ενέργεια ύπαρξης του σωματιδίου όταν βρίσκεται σε ηρεμία. Για τιμές της ταχύτητας μικρές σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός ποσότητα mc² - m₀c ² «συναντά» την ποσότητα ½mυ² .

Κατά την κύλιση χωρίς ολίσθηση, ποια είναι περισσότερη; Η κινητική ενέργεια λόγω της μεταφορικής κίνησης ή

η κινητική ενέργεια λόγω της στροφικής;

Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής που περνάει από το κέντρο μάζας κατά την κύλιση αν το rigid body είναι συμπαγής κύλινδρος είναι ½mR² , αν είναι συμπαγής σφαίρα είναι ίση με ²/5 mR² και αν είναι κυκλικός δακτύλιος ( σφόνδυλος ) είναι ίση με mR². Και στις τρεις αυτές σχέσεις το m παριστάνει τη μάζα του σώματος και το R την αντίστοιχη ακτίνα. Αν χρησιμοποιήσουμε το γράμμα λ για να παραστήσουμε τον διαφορετικό κάθε φορά συντελεστή του mR²

( ½, ²/5 ,1) μπορούμε να γράψουμε για τη ροπή αδράνειας Ι =λmR²

Η κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς είναι Κμεταφ = ½mυ_cm² και η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι Κπεριστρ = ½Ιω²= ½λmR²ω² και εφόσον ωR= υ_cm προκύπτει ότι

Κ_{περιστρ} = λ Κ_μεταφ

Κατά την κύλιση χωρίς ολίσθηση, μόνο εάν το rigid body είναι δακτύλιος θα ισχύει Κ_{περιστρ} = Κ_μεταφ.

Τόσο σε περίπτωση που το κυλιόμενο σώμα είναι τροχός (κύλινδρος) όσο και στην περίπτωση που είναι σφαίρα, η κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς θα είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη λόγω περιστροφής.

Μπορούμε επίσης να γράψουμε για την κινητική ενέργεια του κυλιόμενου σώματος ότι

Κ = Κ_μεταφ + Κ_{περιστρ} οπότε Κ = ( λ+1) Κ_μεταφ και

Κ = ( λ+1)½mυ_cm² και να έχουμε μια σχέση ανάμεσα στην τιμή της ταχύτητας του κέντρου μάζας και στη ροπή αδράνειας του κυλιομένου σώματος.

Εάν ένας τροχός (λ=1/2), μία σφαίρα (λ = 2/5) και ένας δακτύλιος (λ=1)με ίσες μάζες έχουν και ίσες κινητικές ενέργειες η σφαίρα θα «φεύγει» πιο γρήγορα και ο τροχός θα την ακολουθεί. Αν αφήσουμε και τα τρία αντίστοιχα αντικείμενα από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου η σφαίρα θα κατέβει «σα σφαίρα».

Κινητική ενέργεια ενός συστήματος σωμάτων

Εάν έχουμε ένα οποιοδήποτε σύστημα σωμάτων ( λόγου χάρη ένα κινούμενο υλικό σημείο και ένα rigid body σε στροφική κίνηση) η κινητική ενέργεια του συστήματος θα είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σωμάτων