Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Στο μοντέλο «ιδανικό αέριο» η ενέργεια κάθε μορίου είναι κινητική. Το μόριο δηλαδή δεν αλληλεπιδρά άρα δεν υφίσταται δυναμική ενέργεια

Για ΜΟΝΑΤΟΜΙΚΟ ιδανικό αέριο το μοντέλο κάθε μορίου θεωρείται

ένα particle ( point materiele )

Η κινητική ενέργεια ενός μορίου Το τυχαίο μόριο σε κάθε χρονική στιγμή έχει μία ταχύτητα υ_x, υ_y, υ_z άρα η κινητική του ενέργεια περιγράφεται με τρεις όρους Κ = ½mυ_x² +½mυ_y² +½mυ_z².

Οι τρεις αυτοί όροι αντιστοιχούν σε τρεις ΒΑΘΜΟΥΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ.

Η κινητική ενέργεια ενός συνόλου μορίων ως άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μορίων θα είναι Κ =Σ½mυ_x² + Σ½mυ_y² +Σ½mυ_z². Πρόκειται για την εσωτερική ενέργεια του μονατομικού αερίου.

Με τη στατιστική μηχανική μπορούμε να αποδείξουμε κάτι που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον:

ότι εάν ο αριθμός των μορίων είναι μεγάλος οι τρεις όροι Σ½mυ_x² Σ½mυ_y² και Σ½mυ_z²

έχουν ΙΣΕΣ τιμές Σ½mυ_x² = Σ½mυ_y² = Σ½mυ_z²

Αυτό σημαίνει ότι η εσωτερική ενέργεια ενός αερίου κατανέμεται σε ίσα ποσά στους τρεις βαθμούς ελευθερίας. U = ³/₂nRT = ½nRT+ ½nRT+ ½nRT

Δεδομένου δε ότι η μέση τιμή της κινητικής ενέργειας είναι ίση με 3/2kT

η μέση τιμή σε κάθε βαθμό ελευθερίας είναι ίση με ½kT

Το θεώρημα αυτό διατυπώθηκε χωρίς απόδειξη από τον James Clerk Maxwell και λέγεται

ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΣΟΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Στο μεταξύ για να δοθεί μια ερμηνεία στο « αίνιγμα» των τιμών των γραμμομοριακών ειδικών θερμοτήτων ο Rudolf Clausius, το 1857, είχε προτείνει μια τροποποίηση του αρχικού μοντέλου του ιδανικού αερίου. Το μοντέλο του μορίου έγινε ένα αντικείμενο με εσωτερική δομή και κέντρο μάζας.

Για ΔΙΑΤΟΜΙΚΟ ΑΕΡΙΟ τα άτομα του οποίου βρίσκονται σε σταθερή απόσταση.

Η κίνηση του μορίου μπορεί να αναλυθεί σε μεταφορά με την ταχύτητα του κέντρου μάζας και περιστροφή περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας. Το μόριο μπορεί να στέφεται γύρω από οποιονδήποτε από τρεις αμοιβαία κάθετους άξονες x, y , z . Αν θεωρήσουμε ως z τον άξονα που ανήκει στην ευθεία των δύο ατόμων η ροπή αδράνειας ως προς z θα είναι αμελητέα σε σύγκριση με τις αντίστοιχες Ι_x, Ι_y, ( Ι_x = Ι_y = Ι ) ως προς τους δύο άλλους άξονες. Η κινητική του ενέργεια του μορίου θα είναι ίση με το άθροισμα « Κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς + Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής» Κ =½mυ_x² +½mυ_y² +½mυ_z² +½Ιω_x² +½Ιω_y² , θα συγκροτείται δηλαδή από ΠΕΝΤΕ όρους οι οποίοι θα αντιστοιχούν σε πέντε ΒΑΘΜΟΥΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ.

Η εσωτερική ενέργεια του διατομικού αυτού αερίου θα είναι U =Σ½mυ_x² + Σ½mυ_y² +Σ½mυ_z²+ Σ ½Ιω_x² + Σ ½Ιω_y² και σύμφωνα με το θεώρημα ισοκατανομής θα κατανέμεται εξίσου στους πέντε βαθμούς ελευθερίας, σε καθένα μία ποσότητα ενέργειας½nRT. Όσο για τη μέση κινητική ενέργεια σε κάθε βαθμό ελευθερίας θα είναι ίση με ½kT, άρα η μέση κινητική ενέργεια θα είναι 5.½kT .

Αν τα άτομα του μορίου δεν βρίσκονται σε σταθερή απόσταση θα χρειαστεί εκτός από τη μεταφορά και την περιστροφή να πάρουμε υπόψη μας και την ταλάντωση. Σε αυτή την περίπτωση οι όροι που περιγράφουν την ενέργεια του μορίου θα πρέπει να προστεθούν δύο ακόμα, ο ένας για την κινητική ενέργεια και ο άλλος για δυναμική ενέργεια.

Οι βαθμοί ελευθερίας θα γίνουν επτά και η μέση κινητική ενέργεια θα είναι 7½kT

Εάν το μόριο είναι ΠΟΛΥΑΤΟΜΙΚΟ στο σχετικό μοντέλο με άτομα σε σταθερή απόσταση μεταξύ τους κάθε μόριο θα εκτελεί μεταφορική κίνηση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας και στροφική κίνηση. Σε αυτή την περίπτωση το μόριο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οποιονδήποτε από τους τρεις κάθετους άξονες, άρα η κινητική του ενέργεια θα περιγράφεται με έξι όρους Κ =½mυ_x² +½mυ_y² +½mυ_z² +½Ι_xω_x² +½Ι_yω_y² +½Ι_zω_z²

Θα έχουμε έξι βαθμούς ελευθερίας, η εσωτερική ενέργεια του αερίου θα είναι 6.½nRT

και η μέση κινητική ενέργεια ίση με 6.½kT.

Γενικότερα θα είναι U = f.½nRT, όπου f, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας.

ΔU = f.½ nRΔT και εφόσον ΔU = nc_vΔT προκύπτει c_v = f.½R

Οπότε οπότε c_p = f.½R + R και γ = c_p /c_v γ = (f+2)/f

Τα θεωρητικά αυτά συμπεράσματα δείχνουν να εναρμονίζονται μέχρις ενός σημείου με τα πειραματικά δεδομένα.

Αν θέλουμε μεγαλύτερη προσέγγιση θεωρητικού μοντέλου και εργαστηριακών δεδομένων χρειάζεται ένα μοντέλο που να διαφέρει από αέριο σε αέριο. Στις σχετικές μετρήσεις το υδρογόνο, λόγου χάρη , σε χαμηλές θερμοκρασίες – μέχρι 250 Κ - παρουσιάζει c_v = 3R/2, σε θερμοκρασίες 250Κ έως 750 Κ παρουσιάζει c_v = 5R/2, και σε υψηλότερες θερμοκρασίες c_v = 7R/2. Στο σχετικό μοντέλο απαιτείται να δεχθούμε ότι σε χαμηλές θερμοκρασίες για κάποιο λόγο το μοριο του υδρογόνου δεν στρέφεται ενώ σε υψηλές θερμοκρασίες λόγω και των συγκρούσεων προκαλούνται και ταλαντώσεις.

Αν θέλουμε ακόμα μεγαλύτερες συγκλίσεις θα χρειαστεί να εγκαταλείψουμε την Κλασική Μηχανική και να καταφύγουμε στην αγκαλιά της Κβαντομηχανικής σύμφωνα με την οποία η ενέργεια ενός ατόμου ή και ενός μορίου είναι ΚΒΑΝΤΙΣΜΕΝΗ. Η ενέργεια του σωματιδίου δεν μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή αλλά μόνο ορισμένες τιμές. Όταν ανυψωθεί από τη χαμηλότερη ενεργειακή του κατάσταση Ε_i σε κάποια ανώτερη E_f το άτομο εκπέμπει ακτινοβολία με μορφή ενός φωτονίου του οποίου η ενέργεια είναι ίση με τη διαφορά των ενεργειών E _f- Ε_i .