Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

ΦΥΣΙΚΗ Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου 2005

Τα θέματα, οι λύσεις και τα σχόλια

Το πρώτο θέμα

1. Η αρχή της επαλληλίας των κυμάτων:

α. Παραβιάζεται μόνο όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά, ώστε οι δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια του μέσου, δεν είναι ανάλογες των απομακρύνσεων

β. δεν παραβιάζεται ποτέ

γ. ισχύει μόνον όταν τα κύματα που συμβάλλουν, προέρχονται από πηγές που βρίσκονται σε φάση

δ. δεν ισχύει, όταν συμβάλλουν περισσότερα από δύο κύματα

Μια άποψη: Η επιλογή του θέματος υπήρξε ατυχής

2. Μία κρούση λέγεται πλάγια όταν:

α. δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ορμής

β. δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ενέργειας

γ. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση είναι παράλληλες

δ. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας πριν από την κρούση είναι παράλληλες

3. Η μετάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στις οπτικές ίνες στηρίζεται στο φαινόμενο : της συμβολής β. της διάθλασης γ. της ολικής ανάκλασης

4. Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F = - b υ, με b = σταθερό, το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση α. Α = Α₀ –bt β. A =A₀e^Λt γ. A =A₀e^-Λt δ. A =A₀/Λt

Στην παρακάτω ερώτηση 5 να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη λανθασμένη

α. Στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων κύριος λόγος απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση του πηνίου Σ

β. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση ο ρυθμός μείωσης του πλάτους μειώνεται, όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης b Λ

γ. Κατά τον συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά τον βέλτιστο τρόπο, γι αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο Σ

δ. Ένας αθλητής καταδύσεων, καθώς περιστρέφεται στον αέρα συμπτύσσει τα άκρα του. Με την τεχνική αυτή αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του Σ

ε. Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή της διατήρησης της ενέργειας Σ

Το δεύτερο θέμα

Για τις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

1. Δίνονται τα πιο κάτω ζεύγη εξισώσεων όπου Ε η ένταση ηλεκτρικού πεδίου και Β η ένταση μαγνητικού πεδίου:

α. Ε = 75 ημ 2π ( 12.10¹⁰ t – 4.10⁴x )

B = 25. 10^-8 ημ 2π (12.10¹⁰ t – 4.10⁴x )

β. Ε = 300 ημ 2π ( 6. 10¹⁰t – 2.10⁴x )

B = 100 .10^-8 ημ 2π ( 6.10¹⁰t – 2.10⁴x )

γ. Ε = 150 ημ 2π ( 9. 10¹⁰t – 3.10⁴x )

B = 50 .10^-8 ημ 2π ( 9.10¹⁰t + 3.10⁴x ) (Μονάδες 3 )

Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη περιγράφει ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδιδόμενο στο κενό; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 6 )

΄

Οι εξισώσεις που περιγράφουν ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδιδόμενο στο κενό είναι

η Ε = Ε_max ημ2π(tf – x/λ ) και η Β = Β_maxημ2π (tf – x/λ) με τις προϋποθέσεις

το πηλίκο Ε/Β να είναι ίσο μ ε την ταχύτητα του φωτός και

το γινόμενο της συχνότητας επί το μήκος κύματος να είναι επίσης ίσο με την ταχύτητα του φωτός.

Το μόνο ζεύγος που τα ικανοποιεί αυτά είναι το β.

2. Δύο ίδιοι οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι (α) και (β) μπορούν να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ΓΔΕΖ χωρίς τριβές όπως στο σχήμα. Αρχικά οι δύο δίσκοι είναι ακίνητοι και τα κέντρα τους απέχουν ίδια απόσταση από την πλευρά ΕΖ. Ίδιες

σταθερές δυνάμεις F με διεύθυνση παράλληλη προς τις πλευρές ΔΕ και ΓΖ ασκούνται σ’ αυτούς. Στο δίσκο (α) η δύναμη ασκείται πάντα στο σημείο Α του δίσκου. Στον δίσκο (β) η δύναμη ασκείται πάντα στο σημείο Β του δίσκου. Αν ο δίσκος χρειάζεται χρόνο t_α για να φθάσει στην απέναντι πλευρά ΕΖ, ενώ ο δίσκος (β) χρόνο t_β, τότε : α. t_α >t _β β. t_α = t_β γ. t_α <t_β

( Μονάδες 4 ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ( Μονάδες 6)

Το κέντρο μάζας οποιουδήποτε στερεού σώματος - μολονότι σχετικά αδικείται κατά τη διδασκαλία μας- είναι ένα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ με ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

Μία από τις βασικές ιδιότητές του η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον ορισμό του είναι ότι ως κέντρο μάζας ενός σώματος εκτελεί την κίνηση ενός υποθετικού ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ με μάζα ίση με εκείνη του σώματος στο οποίο θα δρούσαν όλες οι ασκούμενες στο σώμα δυνάμεις. Το αρχικά ακίνητο κέντρο μάζας τόσο του ενός όσο και του άλλου δίσκου θα εκτελέσει εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Λόγω της ισότητας των μαζών και της ισότητας των δύο ασκουμένων δυνάμεων οι δύο επιταχύνσεις είναι ίσες, άρα και τα δύο χρονικά διαστήματα t_α και t_β .

Και αυτό ανεξάρτητα από το είδος της κίνησης του ενός και του άλλου σώματος

3. Σώμα μάζας Μ έχει προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οποίου το άνω άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω και το αφήνουμε ελεύθερο να κάνει ταλάντωση. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα με ένα άλλο ελατήριο σταθεράς 4k. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυναμικών ενεργειών των δύο ταλαντώσεων σε συνάρτηση με την απομάκρυνση στο ίδιο διάγραμμα (Μονάδες 6)

Η δυναμική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι ανάλογη με το τετράγωνο της απομάκρυνσής του. Η μεταξύ τους σχέση είναι η U = ½ Dx² στην οποία το παριστάνει τη σταθερά της ταλάντωσης. Εφόσον ο ταλαντωτής είναι σώμα κρεμασμένο σε ελατήριο η σταθερά D είναι ίση με τη σταθερά k του ελατηρίου. Αν δούμε τη σχέση U = ½ kx² ως συνάρτηση με μεταβλητές τα U και x, από το γεγονός ότι η συνάρτηση είναι δευτέρου βαθμού, συμπεραίνουμε ότι η γραφική παράσταση και στις δύο περιπτώσεις είναι παραβολή με το κοίλο προς τα πάνω και με άξονα συμμετρίας τον άξονα με τις τιμές της δυναμικής ενέργειας. Η μέγιστη τιμή στην περίπτωση του ελατηρίου με τη σταθερά 4k είναι τετραπλάσια από την αντίστοιχη του άλλου πειράματος

Η διατύπωση του ερωτήματος υπονοεί ότι στα δύο πειράματα τα πλάτη των ταλαντώσεων είναι ίσα.

Το τρίτο θέμα

Κατά μήκος του άξονα x΄x εκτείνεται ελαστική χορδή. Στη χορδή διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου Π₁ της χορδής περιγράφεται με την εξίσωση y₁= Αημ30πt (SI) ενώ η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου Π₂, που βρίσκεται 6cm δεξιά του σημείου Π₁, περιγράφεται με την εξίσωση:

y₁= Α (ημ30πt + π/6 ) (SI) . Η απόσταση μεταξύ των σημείων Π₁ και Π₂ είναι μικρότερη από ένα μήκος κύματος

α. Ποια είναι η φορά διάδοσης του κύματος; ( Μονάδες 3 )

Θεωρούμε δύο τυχαία ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ σημεία του ελαστικού μέσου το τα οποία απέχουν κατά x . Υποθέτουμε ότι στα γεωμετρικά αυτά σημεία «κατοικούν » αντίστοιχα σε δύο αρχικώς ακίνητα ΥΛΙΚΑ σημεία του ελαστικού μέσου το Ρ και το Σ. Στο μοντέλο που χρησιμοποιούμε όλα τα υλικά σημεία του μέσου είναι ταλαντωτές και λόγω του κύματος πρόκειται να ενεργοποιηθούν. Ας υποθέσουμε ότι το κύμα διαδίδεται με κατεύθυνση από το Ρ προς το Σ.

Θεωρούμε ως αρχή των χρόνων μία στιγμή κατά την οποία το ήδη ενεργοποιημένο

Ρ περνάει από τη θέση ισορροπίας με υ>0 οπότε η κίνησή του περιγράφεται με την

y = Aημωt. Η διαταραχή φθάνει στο σημείο Σ σε χρόνο x/c. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε χρονική στιγμή, ΣΕ ΚΑΘΕ "ΤΩΡΑ", ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Σ ΕΧΕΙ ΤΗΝ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ ΠΟΥ ΕΙΧΕ ΤΟ Ρ «ΠΡΙΝ» ΑΠΌ ΧΡΟΝΟ x/c .

Η απομάκρυνση αυτή είναι y = Aημω(t- x/c) κι αυτό διότι "τώρα" το υλικό σημείο Ρ έχει απομάκρυνση y = Aημωt. Βέβαια για να μπορεί η ποσότητα x να είναι συγχρόνως και απόσταση αλλά και τετμημένη του άξονα για να ισχύει δηλαδή x > 0 πρέπει ο άξονας να προσανατολισμένος με θετικό πρόσημο στην κατεύθυνση της διάδοσης. Και η επιλογή αυτή κάνει το όλο ζήτημα πιο κατανοητό από τους διδασκόμενους.

Η ποσότητα ωt – μετρούμενη σε rad – είναι η ΦΑΣΗ του ταλαντούμενου Ρ ενώ η ποσότητα

ω(t- x/c) είναι η φάση του Σ. Σε κάθε χρονική στιγμή η φάση του Σ είναι μικρότερη από εκείνη του Ρ. Καθώς δηλαδή το κύμα διαδίδεται από Ρ προς Σ, ΤΟ Σ ΕΧΕΙ – σε κάθε χρονική στιγμή - ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ΦΑΣΗ ΑΠΟ ΕΚΕΙΝΗ ΤΟΥ Ρ και αυτό εκφράζει στη μαθηματική γλώσσα της φυσικής το γεγονός ότι «το Σ ενεργοποιείται μετά το Ρ». Κατά τη φορά διάδοσης του κύματος οι τιμές των φάσεων ελαττώνονται.

Στο συγκεκριμένο ερώτημα, εφόσον το η φάση του Π₁ είναι ωt και η φάση του Π₂ ωt + π/6 το κύμα διαδίδεται από Π₂ προς Π₁ . Στο σχήμα δηλαδή ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ.

Πέραν όλων αυτών για να δημιουργήσουμε τη ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = Aημω(t- x/c) ΧΡΕΙΑΖΟΜΑΣΤΕ ΧΩΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ και ΧΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ τα οποία στη διδασκαλία μας «συγκαλύπτονται» ενώ κατά κανόνα το γεωμετρικό σύστημα αξόνων στο οποίο αποκτά νόημα η ποσότητα x κατά κανόνα ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟ + ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ.

Αυτά όλα σημαίνουν ότι η διδασκαλία της μαθηματικής περιγραφής του κύματος χρησιμοποιεί λογικομαθηματικές έννοιες και γεωμετρικές δομές ιδιαίτερα προχωρημένης αφαίρεσης και έχει ως στόχο τη δημιουργία ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ οι οποίες εμπεριέχουν τα παραπάνω. Πέραν αυτού η χρήση του ότου ΣΗΜΕΙΟ ( και όταν λέμε σημείο στη γλώσσα μας «σημείο» εννοούμε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ) για το υποκείμενο σε κίνηση δημιουργεί μια γεωμετρική σύγχυση . Διότι είναι γεγονός ότι το ελαστικό μέσο είναι έννοια και ότι συγκροτείται από ΥΛΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ - ( γαλλικά point materiels, αγγλικά particles) και ότι ένα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟΝ ΝΑ ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΘΕΙ. Κι όμως επιμένουμε να μιλάμε για «σημεία» τόσο στα βιβλία μας όσο και στα θέματα των εξετάσεων τα οποία οφείλουν βέβαια να σέβονται την ορολογία των επίσημων σχολικών εγχειριδίων .

Είναι επίσης γεγονός ότι κατά κανόνα η διδακτική παρουσίαση του ζητήματος τόσο στον πίνακα όσο και στα επίσημα σχολικά εγχειρίδια γίνεται με τη ΦΟΡΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ – όπως δηλαδή γράφουμε όλοι πλην των Αράβων. Και με βάση αυτό - με εξαίρεση τη διδασκαλία του στάσιμου κύματος στο οποίο αναγκάζεται να εμφανίσει και την αντίθετης φορά διάδοση – ασκούνται οι διδασκόμενοι σε δεκάδες προβλήματα, σε όλα με το κύμα να διαδίδεται προς τα δεξιά. . Ένα κύμα, όπως αυτό που διαδίδεται από δεξιά προς τα αριστερά είναι φυσικό να φέρνει σε αμηχανία τους διδασκόμενους.

Κοντολογίς: Η μαθηματική περιγραφή της έννοιας κύμα ως αντικείμενο της διδασκαλίας είναι μια υπόθεση πολύ δυσκολότερη από όσο συνήθως νομίζουμε εάν βέβαια μας ενδιαφέρει η επίτευξη των διδακτικών στόχων. Και το τρίτο ζήτημα των θεμάτων έριξε φως στην υπόθεση αυτή.

β. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; ( Μονάδες 6 )

Από την εξίσωση y₁= Αημ30πt προκύπτει ότι η γωνιακή συχνότητα της περιοδικής κίνησης κάθε ταλαντωτή είναι ω =30π rad/s .

Σύμφωνα με τη συνάρτηση y = Aημω(t- x/c) η οποία συνήθως αναφέρεται ως «εξίσωση αρμονικού κύματος» η διαφορά φάσης Δφ δύο υλικών σημείων που απέχουν κατά x ισχύει Δφ = ωx/c.

Εάν εφαρμόσουμε τη σχέση αυτή για τους ταλαντωτές Π₁ και Π₂ οι οποίοι απέχουν

d = 6 cm και έχουν διαφορά φάσης π/6 προκύπτει η ταχύτητα διάδοσης του κύματος c.

c = ωd/Δφ c = 10,8 m/s.

Αντί για την προτεινόμενη - τόσο από την κεντρική επιτροπή όσο και από τις αθηναϊκές εφημερίδες – λύση στην οποία χρειάζεται να υπολογιστεί προηγουμένως η συχνότητα και το μήκος κύματος είμαστε βέβαιοι ότι θα βρεθούν πολλοί μαθητές που θα προτείνουν μία λύση όπως αυτή που παρουσιάζουμε .

γ. Αν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων της χορδής να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος (Μονάδες 5 )

Η μέγιστη ταχύτητα κατά την αρμονική ταλάντωση ενός οποιουδήποτε υλικού σημείου της χορδής είναι ίση με το γινόμενο ωΑ της γωνιακής συχνότητας ω επί το πλάτος Α

Εξισώνουμε την ποσότητα ω Α με την ταχύτητα διάδοσης την οποία μόλις υπολογίσαμε,

ωΑ = c άρα Α = c /ω Α = 11,5 cm = 0,115 m

δ. Στο σχήμα που ακολουθεί, απεικονίζεται ένα στιγμιότυπο του κύματος. Εκείνη τη στιγμή σε ποια από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η, η ταχύτητα ταλάντωσης είναι μηδενική και σε ποια είναι μέγιστη ( κατ΄ απόλυτη τιμή ) ; Ποια είναι η φορά της ταχύτητας της ταλάντωσης των σημείων Β, Δ, και Ζ; ( Μονάδες 7 )

Το στιγμιότυπο κύματος υποδηλώνει ότι, τη κατά τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή t, καθένα από τα υλικά σημεία Γ και Η βρίσκεται στο άκρο της «δικής του» ταλάντωσης άρα η ταχύτητά του είναι ίση με μηδέν.

Από το ίδιο στιγμιότυπο υποδηλώνεται ότι καθένα από τα υλικά σημεία Α και Ε βρίσκεται στη «δική του» θέση ισορροπίας, άρα το μέτρο της ταχύτητάς του έχει τη μέγιστη τιμή.

Δυσκολότερο βέβαια για ένα μαθητή είναι να διακρίνει τη φορά της ταχύτητας των υλικών σημείων Β, Δ και Ζ. Ένα ς τρόπος – όχι ο μοναδικός – είναι να φανταστεί ένα στιγμιότυπο κύματος το οποίο θα ακολουθήσει χρονικά το παραπάνω. Στο επόμενο αυτό στιγμιότυπο – ΕΦΟΣΟΝ ΤΟ ΚΥΜΑ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ - η «καμπούρα» στην οποία βρίσκεται το Γ θα έχει μετακινηθεί προς τα ΑΡΙΣΤΕΡΑ. Εφόσον η προβολή του Β στον x΄x είναι το ίδιο πάντα γεωμετρικό σημείο, η κατεύθυνση του Β τη χρονική στιγμή t είναι προς τα πάνω. Το επόμενο αυτό στιγμιότυπο θα δείξει ότι τόσο το υλικό σημείο Δ, όσο και το Ζ, τη χρονική στιγμή t, κινούνται προς τα κάτω.

Σχόλιο. Ο προσδιορισμός της κατεύθυνσης της ταχύτητας των υλικών σημείων Β, Δ και Ζ απαιτεί εκτός από τη βαθύτερη κατανόηση του ζητήματος και ιδιαίτερες νοησιακές δεξιότητες.

ε. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος που όταν συμβάλλει με το προηγούμενο, δημιουργεί στάσιμο κύμα. ( Μονάδες 7 )

Για να γράψουμε την εξίσωση του «άλλου» κύματος – ας το λέμε Κ2 - χρειάζεται να συγκροτήσουμε την εξίσωση για το δεδομένο κύμα ( Κ1) και αυτό σημαίνει ότι χρειαζόμαστε ένα χωρικό και ένα χρονικό σύστημα αναφοράς, και ΜΠΟΡΕΙ ΚΑΝΕΙΣ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΕΙ ΟΠΟΙΟ ΘΕΛΕΙ. Μπορούμε λόγου χάρη να «σεβαστούμε» το χρονικό σύστημα αναφοράς στο οποίο παραπέμπει η εξίσωση κίνησης του υλικού σημείου Π₁. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ως αρχή των χρόνων τη χρονική στιγμή κατά την οποία το υλικό σημείο Π₁ βρίσκεται στη «δική του» θέση ισορροπίας κινούμενο προς τον θετικό ημιάξονα οπότε για την ταλάντωσή του ισχύει y= Αημ30πt . Ας θεωρήσουμε επίσης ως αρχή των αξόνων το ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ «θέση ισορροπίας του Π₁» και ως θετική φορά του άξονα x προς τα αριστερά και ως θετική φορά του άξονα y προς τα πάνω. Εφόσον το κύμα Κ1 διαδίδεται προς τα αριστερά η σχετική συνάρτηση που το περιγράφει

( εξίσωση κύματος ) είναι η y= Αημ30π (t - x/c ) ή y= 0,115ημ30π (t - x/10,8 ) (SI) . Για να δημιουργηθεί από τη συμβολή το στάσιμο κύμα πρέπει το κύμα Κ2 να έχει την ίδια ταχύτητα – πράγμα ευνόητο εφόσον διαδίδεται στο ίδιο ελαστικό μέσο - αλλά και την ίδια συχνότητα με το Κ1 και αντίθετη φορά διάδοσης από εκείνο. Η εξίσωση κύματος για το Κ2, με το ίδιο χωρικό και χρονικό σύστημα, θα είναι η y= 0,115ημ30π (t + x/10,8)

Εξυπακούεται ότι εάν επιλέξουμε την ίδια αρχή χρόνων αλλά ως θετική φορά του άξονα x «την προς τα δεξιά,» οι εξισώσεις θα είναι

y= 0,115ημ30π (t + x/10,8) για το Κ1 και

y= 0,115ημ30π (t - x/10,8) για το Κ2. Αλλά αυτό είναι θέμα δικής μας επιλογής

«Δεν υπάρχουν προνομιούχα συστήματα αναφοράς» έλεγε κάποιος κάποτε.

Σχόλιο. Υπάρχει μια ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ στην κουλτούρα των συστημάτων αναφοράς η οποία εκδηλώνεται ως υποτίμηση κατά τη διδασκαλία. Ο απόηχος είναι εμφανής και στο στυλ των λύσεων που προτείνονται από τις εφημερίδες.

Το τέταρτο θέμα

Έστω σώμα Σ μάζας Μ = 1kg και κωνικό βλήμα β μάζας m = 0,2 kg. Για να σφηνώσουμε με τα χέρια μας ολόκληρο το βλήμα στο σταθερό σώμα, όπως φαίνεται στο σχήμα πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια 100 J.

Έστω τώρα ότι το σώμα Σ που είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο πυροβολείται με το βλήμα β . Το βλήμα αυτό κινούμενο οριζόντια με κινητική ενέργεια Κ προσκρούει στο σώμα Σ και ακολουθεί πλαστική κρούση.

α. Για Κ = 100 J θα μπορούσε το βλήμα να ενσωματωθεί ολόκληρο στο σώμα Σ; (Μονάδες 7)

Συμβολίζουμε με το γράμμα Q την ποσότητα της ενέργειας η οποία υποβαθμίστηκε κατά την ενσφήνωση όταν την επιχειρήσαμε με τα χέρια μας . Η ενεργειακή αυτή ποσότητα είναι ίση με την ενέργεια των 100 τζάουλ που μεταβιβάσαμε κατά το σφήνωμα του κωνικού βλήματος με τα χέρια μας. Διότι σύμφωνα με τον γενικό νόμο Διατήρησης της ενέργειας εφόσον στο τέλος της περιπέτειας το σύστημα είναι ακίνητο, ολόκληρη η ενέργεια την οποία μεταβιβάσαμε, προκειμένου να ενσφηνωθεί το βλήμα, υποβαθμίστηκε χωρίς να αλλοιωθεί η ποσότητά της . Q = 100 J

Ας δούμε και αυτό που συμβαίνει κατά την ενσφήνωση του αντικειμένου με τη μορφή κινουμένου βλήματος. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ποσότητα ενέργειας που υποβαθμίστηκε και στην περίπτωση αυτή είναι επίσης 100 J. Αυτό διότι και στις δύο περιπτώσεις πρόκειται για το ίδιο βλήμα και τα 100 τζάουλ είναι το – σε απόλυτη τιμή – έργο των δυνάμεων που αντιστάθηκαν στην ενσφήνωση. Χρειάζεται ωστόσο να αποδεχθούμε ότι το χρονικό διάστημα της ενσφήνωσης του κινουμένου βλήματος είναι ασήμαντο έτσι που να μην λαμβάνεται υπόψη η μεταβαλλόμενη κίνηση του συστήματος αναφοράς σε εκείνη τη φάση της ενσφήνωσης

Υπό αυτή την προϋπόθεση η με οποιονδήποτε τρόπο πλήρης ενσφήνωση του συγκεκριμένου βλήματος επιφέρει υποβάθμιση ενέργειας 100 τζάουλ.

Στην περίπτωση όμως του προβλήματος η ενσφήνωση γίνεται πάνω σε ΛΕΙΟ οριζόντιο επίπεδο, το συσσωμάτωμα έχει τη δυνατότητα να κινηθεί και θα κινηθεί. Θα αποκτήσει όπως λέμε στη φυσική, κινητική ενέργεια η οποία δεν γεννιέται βέβαια από το μηδέν. Είναι συνεπώς αδύνατον να πραγματοποιηθεί η πλήρης ενσφήνωση με το κινούμενο βλήμα να έχει κινητική ενέργεια 100 τζάουλ .

β. Ποια είναι η ελάχιστη κινητική ενέργεια Κ που πρέπει να έχει το βλήμα ώστε να σφηνωθεί ολόκληρο μέσα στο σώμα Σ; (Μονάδες 12 )

Από τη στιγμή που το κινούμενο βλήμα έχει φθάσει στο σώμα Σ και αρχίζει η ενσφήνωση μέχρι τη στιγμή που έχει ολοκληρωθεί η συσσωμάτωσή του στο σύστημα «βλήμα- ξύλο» δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις. Σύμφωνα με την Αρχή της διατήρησης της ορμής, η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. Αν συμβολίσουμε με υ την ταχύτητα του βλήματος και με V την ταχύτητα του συσσωματώματος ισχύει mυ = (m + M ) V

Με άλλα λόγια η υπακοή στη Διατήρηση της ορμής «επιβάλλει» στο συσσωμάτωμα να έχει ταχύτητα ορισμένης τιμής V = mυ/( m+ M ) άρα και κινητική ενέργεια ίση με

½ (Μ+m) m²υ²/( m +M )² ή ½ m²υ²/( m +M )

Για να πραγματοποιηθεί η πλήρης ενσφήνωση του κινουμένου βλήματος -σύμφωνα με τον γενικό νόμο Διατήρησης της ενέργειας για το ίδιο σύστημα- το βλήμα πρέπει να έχει κινητική ενέργεια τουλάχιστον ίση με το άθροισμα της ενέργειας Q η οποία νομοτελειακά θα υποβαθμιστεί και της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος ½ m²υ²/( m +M )

Κ > Q + ½ m²υ²/( m +M ) . Αλλά ½ mυ² = Κ, άρα Κ > Q + Κm/( m +M ) οπότε

Κ > Q ( m+M)/M K _min = Q ( m+M)/M K _min = 120 J

γ. Για ποια τιμή του λόγου m/M το βλήμα με κινητική ενέργεια Κ=100J ενσφηνώνεται ολόκληρο στο Σ ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 6 )

Συμβολίζουμε τον λόγο των m /M των μαζών με το γράμμα λ, οπότε

K _min = Q (1+λ ) Γι α να πραγματοποιηθεί η ενσφήνωση με κινητική ενέργεια 100J

– επειδή και Q = 100 J – πρέπει 1 = 1+λ άρα λ = 0 m/M = 0

Η απαίτηση της Επιτροπής ήταν να γράψει ο εξεταζόμενος ότι « εφόσον η τιμή της μάζας m δεν μπορεί να είναι μηδενική, η τιμή του Μ πρέπει να ΤΕΙΝΕΙ στο άπειρο.

Ένα σχόλιο. Η πρώτη δύσκολη στιγμή για τη λύση του προβλήματος η διαχείριση των 100 τζάουλ. Το ζήτημα βρίσκεται έξω από το πνεύμα της ετήσιας διδασκαλίας η οποία δεν εστίασε σε ενεργειακά ζητήματα δεδομένου ότι το θέμα δεν ήταν κάποιος από τους στόχους της. Αναφέρθηκε ωστόσο μέσα από ειδικές αφορμές. Με αφορμή το φαινόμενο αρμονική ταλάντωση, με αφορμή τη Μηχανική του rigid body και με αφορμή το φαινόμενο κρούση. Πέραν αυτού το πρόβλημα απαιτεί κατανόηση της διατήρησης της ορμής, της υποβάθμισης της ενέργειας και της σχέσης της με το έργο μη διατηρητικών δυνάμεων καθώς και επιδέξιο μαθηματικό χειρισμό

Ένα ακόμα σχόλιο. Η δεύτερη δύσκολη στιγμή για είναι η διαχείριση της τιμής ΜΗΔΕΝ στην οποία καταλήγει ο υπολογισμός του λόγου των μαζών. Οι μαθητές μας έχουν διδαχθεί πώς όταν ένας λόγος α/β είναι ίσος με μηδέν ΕΝΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ, Η ΤΙΜΗ ΤΟΥ α είναι μηδέν.

Με δεδομένο όμως ότι στη θέση του α είναι η μάζα m του σώματος η οποία ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ να είναι μηδέν ο σκεπτόμενος μαθητής οδηγείται σε αδιέξοδο. Και αυτό έδειξε η διόρθωση αρκετών εξαιρετικών γραπτών.