Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Μια ενεργειακή προσέγγιση

Η διατύπωση της ερώτησης 2.2 με τους δύο δίσκους στο σημείο που λέει «Στον ΔΙΣΚΟ β Η ΔΥΝΑΜΗ ΑΣΚΕΙΤΑΙ ΠΑΝΤΑ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Β ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ» οδήγησε τόσο τους μαθητές όσο και τους καθηγητές σε δύο αναγνώσεις, που αντιστοιχούν σε δυο διαφορετικά προβλήματα.

Πρώτο πρόβλημα .

Η δύναμη F ασκείται στο ίδιο σημείο του δίσκου το οποίο στην αρχή των χρόνων βρίσκεται στην «ανώτερη – στο σχήμα - θέση» και στη συνέχεια το σημείο αυτό (σημείο εφαρμογής της δύναμης, ας το λέμε Β) κινείται κυκλικά και συγχρόνως παράλληλα προς την επιτάχυνση του κέντρου μάζας, ενώ η δύναμη διατηρείται σταθερή και φυσικά παράλληλη προς την τροχιά του κέντρου μάζας.

Όπως αποδείξαμε σε προηγούμενο σημείωμα Ο ΔΙΣΚΟΣ ΕΚΤΕΛΕΙ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ

( ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ +ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ η οποία είναι ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ) . Αυτό σημαίνει ότι κάθε η – λόγω στροφικής κίνησης - γωνιακή ταχύτητα του δίσκου περιοδικά μηδενίζεται. Και μηδενίζεται κάθε φορά που το σημείο εφαρμογής της F βρίσκεται στο ανώτερο ( στο σχήμα ) ή στο κατώτερο σημείο του δίσκου

Ας δούμε τι συμβαίνει με το ΕΡΓΟ και με την ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Αν εστιάσουμε μόνο στη στροφική ταλάντωση

σε κάθε κίνηση του Β κατά 180⁰ ( από τη στιγμή που βρίσκεται στην ανώτερη θέση μέχρι να φθάσει στην κατώτερη ) το έργο της F είναι συνολικά μηδέν.

Κάθε φορά που βρίσκεται είτε στην ανώτερη είτε στην κατώτερη θέση του δίσκου η κινητική ενέργεια του δίσκου είναι μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι τη στιγμή που ο δίσκος – η μπροστινή του βέβαια πλευρά -φθάνει στον τερματισμό ΕΖ ( σχήμα που δόθηκε ) το σημείο Β βρίσκεται στην ανώτερη θέση. Αυτό σημαίνει ότι έχει εκτελέσει ακέραιο αριθμό ταλαντώσεων και βρίσκεται στη θέση που ήταν στην αρχή των χρόνων. Τη στιγμή εκείνη η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι μηδέν και η κινητική ενέργεια του δίσκου είναι μόνο λόγω μεταφορικής κίνησης ίση συνεπώς με την κινητική ενέργεια του άλλου δίσκου (α) ο οποίος εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση.

Σε αυτή πάλι την περίπτωση

η ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ του σημείου εφαρμογής είναι ίση με την αντίστοιχη μετατόπιση του (α) ( φαίνεται ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ) συνεπώς και

το ΕΡΓΟ της σταθερής δύναμης F είναι ίσο με το αντίστοιχο της στον (α) .

Τα πράγματα είναι λοιπόν καθαρά . Και στα δύο φαινόμενα έχουμε ίσα ΙΣΑ ΕΡΓΑ και ίσες τιμές της ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και στην περίπτωση που τη στιγμή του τερματισμού το σημείο εφαρμογής της δύναμης βρίσκεται στην κατώτερη θέση, στην οποία η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής επίσης είναι μηδέν.

Τι συμβαίνει όμως εάν τη στιγμή του τερματισμού το σημείο εφαρμογής Β βρίσκεται σε μια τυχαία θέση;

Σε αυτή την περίπτωση, τη στιγμή του τερματισμού

1. Ο δίσκος (β) έχει κινητική ενέργεια ½mυ_cm² + ½Iω² περισσότερη από την αντίστοιχη κινητική ενέργεια ½mυ_cm² του δίσκου (α), ενώ είναι ο προσθετέος λόγω μεταφορικής κίνησης έχει τιμή ίση με την ολική κινητική ενέργεια ½mυ_cm² του (α) .

2. Η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη του (α) (φαίνεται ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ) άρα

3. το έργο της F είναι περισσότερο. Το παραπάνω αυτό έργο είναι ίσο με την ποσότητα ½Iω² με την παραπάνω δηλαδή κινητική ενέργεια

Όπως δηλαδή συμβαίνει σε όλη τη Φυσική, ισχύουν ταυτόχρονα το θεώρημα του κέντρου μάζας, η θεωρία για σύνθεση των κινήσεων και το θεώρημα έργου ενέργεια χωρίς το ότι «ισχύει» κάποιο από αυτά να οδηγεί σε παραβίαση της ισχύος κάποιου άλλου.

Δεύτερο πρόβλημα.

Λόγω της σχετικής ασάφειας που είχε η διατύπωση ( Στον ΔΙΣΚΟ β Η ΔΥΝΑΜΗ ΑΣΚΕΙΤΑΙ ΠΑΝΤΑ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Β ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ) ορισμένοι μαθητές και καθηγητές έκαναν μία ανάγνωση του προβλήματος διαφορετική η οποία οδηγεί σε ένα άλλο πρόβλημα.

Σύμφωνα με αυτήν «η δύναμη F ασκείται στο ΕΚΑΣΤΟΤΕ «ΑΝΩΤΕΡΟ» ( στο σχήμα ) ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ» . Πρόκειται για ένα άλλο πρόβλημα που οδηγεί όμως και πάλι σε ισότητα των δύο χρόνων δεδομένου ότι και σε αυτή την περίπτωση η κίνηση του κέντρου μάζας και των δύο δίσκων είναι ευθύγραμμη με σταθερή επιτάχυνση και οι δύο επιταχύνσεις είναι ίσες.

Η κίνηση του δίσκου β είναι βέβαια και σε αυτή την περίπτωση ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΙΚΗ αλλά η στροφική κίνηση δεν είναι ταλάντωση. Εδώ η ΡΟΠΗ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΗ και η στροφική κίνηση παρουσιάζει σταθερή γωνιακή επιτάχυνση.

Η δυναμική της περιστροφής. Εστιάζουμε μόνο στη στροφική κίνηση, Σύμφωνα με σχετικό νόμο– και με δεδομένο ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα της περιστροφής είναι ½mR² - ισχύει FR= ½mR²α_γων άρα α_γων = 2F/ m R

Για την επιτρόχια επιτάχυνση του περιφερειακού σημείου B ισχύει α_ε=α_γωνR άρα α_ε = 2F/ m

α_ε = 2 a_cm άρα και υ_B = 2υ_cm .

Η Κινηματική της σύνθετης κίνησης.

Η επιτρόχια επιτάχυνση του «ανώτερου» του σημείου Β εφαρμογής της F είναι τριπλάσια από την επιτάχυνση a_cm του κέντρου μάζας. Κάτι ανάλογο ισχύει και για την ταχύτητα του σημείου εφαρμογής της F. υ_B = 3υ_cm

Η ενεργειακή προσέγγιση Στην περίπτωση λοιπόν αυτή η ασκούμενη στον δίσκο β δύναμη F ασκείται σε σημείο με ταχύτητα τριπλάσια από την ταχύτητα του σημείου Α στο οποίο ασκείται η ίση δύναμη του δίσκου α. Αυτό σημαίνει ότι

η ισχύς της F_β είναι τριπλάσια από την ισχύ της F_α. Με άλλα λόγια, η ενέργεια στον δίσκο β μεταβιβάζεται με διαφορετικό ρυθμό συνεπώς και τα έργα των δύο δυνάμεων δεν είναι ίσα. Είναι δηλαδή μόνο φαινομενική και παραπλανητική η ισότητα των δύο έργων σε μια απλοϊκή βάση συλλογισμού «ίσες δυνάμεις και ίσες αποστάσεις άρα ίσα έργα» στον οποίο κατέφυγαν πολλοί και μαθητές και καθηγητές.

Όσο για την κινητική ενέργεια του δίσκου β τη στιγμή του τερματισμού είναι τριπλάσια από την αντίστοιχη του δίσκου α.

Το συμπέρασμαεναρμονίζεται με την ισότητα της κινητικής ενέργειας λογω μεταφοράς του β με την κινητική ενέργεια του δίσκου α και με την συνεπαγόμενη ισότητα των δύο χρόνων

Κ_α = ½ mυ_cm²

Κ_β = ½ mυ_cm² + ½ Ιω²

αλλά Ι= ½mR² και ω = υ_περ/R όπου υ_περ η ταχύτητα ενός περιφερειακού σημείου λόγω της στροφικής μόνο κίνησης για το οποίο δείξαμε ότι υ_περ = 2υ_cm R

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι ½ Ιω²= mυ_cm² άρα - εφόσον αποδεχθούμε την ισότητα των τελικών ταχυτήτων υ_cm των δύο κέντρων μάζας- καταλήγουμε στην Κ_β = 3 Κ_α η οποία εναρμονίζεται με την αντίστοιχη σχέση των έργων

Συμπέρασμα: Οι διάφορες θεωρίες της Φυσικής δεν συγκρούονται.

Αν έχουμε υπομονή θα το διαπιστώσουμε