Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι, οι Κινέζοι

και η πρώιμη Γεωμετρία

Έχει ιστορικά καταγραφεί ότι οι αρχαίοι λαοί της Βαβυλώνας, της Αιγύπτου και της Κίνας ήξεραν να υπολογίζουν τα εμβαδά των ορθογώνιων σχημάτων. Οι φόρμουλες για τους υπολογισμούς των εμβαδών παραλληλογράμμων και τριγώνων ήταν γνωστές στους Βαβυλώνιους. Όσο για το εμβαδόν του κύκλου κάθε πολιτισμός είχε τις δικές του προσεγγίσεις, ήταν όμως όλες μεταξύ τους διαφορετικές. Οι Βαβυλώνιοι και οι Κινέζοι είχαν βρει μια σχέση ανάμεσα στο εμβαδόν Α ενός κύκλου και στο μήκος C της περιφέρειας.

A = Cd/4 όπου d η διάμετρος

Πιστεύεται ότι το είχαν βρει διαιρώντας τον κύκλο σε ίσους κυκλικούς τομείς και αναδιατάσσοντας τους ώστε να δημιουργήσουν ένα κατά προσέγγιση ορθογώνιο. Οι φόρμουλες για τη Γεωμετρία των τρισδιάστατων σωμάτων ήταν επίσης γνωστές. Οι όγκοι των κύβων και των κυλίνδρων μπορούσαν να υπολογιστούν. Οι Αιγύπτιοι γνώριζαν και τη φόρμουλα για την πυραμίδα αλλά δεν είχαν κανενός είδους αυστηρή ΑΠΟΔΕΙΞΗ και οι μέθοδοι ήταν σχετικά ανακριβείς. Το πυθαγόρειο θεώρημα αν και έχει το όνομα του Πυθαγόρα ήταν ήδη γνωστό κατά τους αρχαίους εκείνους χρόνους. Ορισμένοι αρχαιολόγοι ερευνητές πιστεύουν ότι ορισμένες από τις πανάρχαιες κατασκευές που έγιναν 1000 χρόνια πριν από τον 6^ο αιώνα του Πυθαγόρα, έγιναν με τους κατασκευαστές να γνωρίζουν το θεώρημα. Εκτός από αυτό οι άνθρωποι της εποχής είχαν προσδιορίσει και αρκετές «πυθαγόρειες τριάδες» τριάδες δηλαδή ακεραίων α, β, γ, που ικανοποιούν τη σχέση α² + β² = γ² .

Τα ελληνικά μαθηματικά

πριν από τον Ευκλείδη

Τα ελληνικά μαθηματικά δεν είναι μόνο Γεωμετρία. Οι Έλληνες είχαν βέβαια εντυπωσιακή πρόοδο στη Γεωμετρία αλλά και κυρίως άλλαξαν τον τρόπο σκέψης των μυημένων στα μαθηματικά. Έδωσαν πρωταρχικό ρόλο στις ΑΦΗΡΗΜΕΝΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Ο Θαλής εισήγαγε τη χρήση της λογικής απόδειξης σε έναν επαγωγικό συλλογισμό ενώ ο Ευκλείδης αξιοποίησε τις δικές του ιδέες για την οικοδόμηση των αξιωμάτων και των πορισμάτων.

Ο Θαλής πρέπει να διδάχθηκε Γεωμετρία από τους Αιγυπτίους ανακάλυψε πολλές γεωμετρικές ιδιότητες. Ανάμεσά τους και η ιδιότητα ότι η γωνία που εγγράφεται σε ένα ημικύκλιο είναι ορθή, οι περί την βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες καθώς και οι ιδιότητες των ομοίων τριγώνων και το συναφές θεώρημα του Θαλή. Είναι πιθανόν αλλά όχι τεκμηριωμένο ότι ήταν δάσκαλος του Πυθαγόρα.

Ο Πυθαγόρας δημιούργησε τη περίφημη σχολή με πολιτικούς, φιλοσοφικούς και θρησκευτικούς στόχους. Οι μαθητές της Σχολής διδάσκονταν Αριθμητική, Μουσική , Γεωμετρία και Αστρονομία

Οι μουσικές οκτάβες και οι νότες κατάγονται από εκείνους τους λεγόμενους πυθαγόρειους οι οποίοι ερεύνησαν και τη θεωρία των αριθμών.

Ο Ιπποκράτης ο Χίος ήταν ο πρώτος που ερεύνησε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και του διπλασιασμού ενός κύβου. Ευκαιριακά ανέπτυξε και την ιδέα της αναλογίας ανάμεσα σε όμοια σχήματα και στερεά

Ο Πλάτων ήταν εκείνος που έκανε τη διάκριση ανάμεσα σε θεωρητική και πρακτική Γεωμετρία, θεωρώντας μάλιστα την πρώτη – τη θεωρητική Γεωμετρία - ως ΙΔΕΑΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ενώ η πρακτική Γεωμετρία είναι τα εξαιρετικά σχήματα που φτιάχνουν οι άνθρωποι. Κινήθηκε επίσης και στην περιοχή της Γεωμετρίας των στερεών. Ο Αριστοτέλης συνέβαλλε στην οικοδόμηση των ελληνικών μαθηματικών με την διεξοδική έρευνά του στα θεμέλια της Λογικής πάνω στην οποία στηρίζονται.

Τα Στοιχεία: η μέγιστη συνεισφορά

Το «Στοιχεία Γεωμετρίας» του Ευκλείδη θεωρείται το σημαντικότερο κείμενο των Ελλήνων μαθηματικών. Το έργο αναπτύσσεται σε 13 βιβλία. Αν και προέρχεται από διάφορες πηγές η όλη οργάνωση του έργου είναι του Ευκλείδη. 2300 χρόνια αργότερα μπορούμε να πούμε ότι μόνο η Βίβλος έχει περισσότερες εκδόσεις από τα Στοιχεία.

Η παρουσίαση των Στοιχείων βασίζεται σε μια αυστηρή οικοδόμηση θεωρημάτων τα οποία αποδεικνύονται βάσει ενός συνόλου ΟΡΙΣΜΩΝ, ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ και ΑΞΙΩΜΑΤΩΝ χωρίς να είναι ιδιαίτερα σαφής η σημασιακή διαφορά των εννοιών αίτημα και αξίωμα.

Ο Ευκλείδης προσπαθεί να ΟΡΙΣΕΙ τις έννοιες που εμφανίζει αν και οι ορισμοί του είναι περισσότερο διευκρινίσεις και εξηγήσεις. Ανάμεσα στα βασικά του ΑΞΙΩΜΑΤΑ είναι το ότι

από ένα σημείο σε ένα άλλο μόνο μία ευθεία γραμμή μπορεί να φέρουμε

κάθε κύκλος μπορεί να έχει ένα μόνο κέντρο

όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες

Το πέμπτο από τα αξιώματα στους αιώνες που ακολούθησαν προκάλεσε έξαψη στους μαθηματικούς: «Από ένα σημείο εκτός ευθείας μόνο μία παράλληλος φέρεται προς αυτήν»

Προτείνει επίσης αποδείξεις αλγεβρικών κανόνων με τρόπο γεωμετρικό συμπεριλαμβανόμενης και της ταυτότητας (α + β)² = α² + 2αβ + β² .

Τα τέσσερα πρώτα βιβλία ασχολούνται με την επίπεδη γεωμετρία χωρίς καμία αναφορά στη θεωρία των λόγων. Ξεκινώντας από τις βασικές ιδιότητες γραμμών και γωνιών φθάνει στην ισότητα – με επίθεση – τριγώνων, στην ισότητα εμβαδών, στο θεώρημα του Πυθαγόρα, στην κατασκευή τετραγώνου ίσου σε εμβαδόν με δεδομένο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, στη χρυσή τομή, στον κύκλο και στα κανονικά πολύγωνα. Το πυθαγόρειο θεώρημα και η χρυσή τομή εισάγονται ως ιδιότητες των εμβαδών.

Το πέμπτο βιβλίο παρουσιάζει τη θεωρία των λόγων του Εύδοξου στην καθαρά γεωμετρική μορφή της. Στο έκτο βιβλίο εφαρμόζεται η θεωρία αυτή για τη μελέτη της ομοιότητας των επίπεδων σχημάτων και επανέρχεται στο πυθαγόρειο θεώρημα και στη χρυσή τομή τα οποία επανεξετάζει βάσει της θεωρία των λόγων.

Τα τρία τελευταία βιβλία των Στοιχείων ασχολούνται με τη στερεομετρία. Ξεκινούν από τις στερεές γωνίες, προχωρούν στους όγκους παραλληλεπιπέδων, πρισμάτων πυραμίδων, φθάνουν στη σφαίρα και τελικά σε αυτό που, όπως φαίνεται, ο Ευκλείδης θεωρούσε κορύφωση του έργου του: στη μελέτη των πέντε κανονικών – «πλατωνικών» στερεών και στην απόδειξη ότι μόνο πέντε τέτοια σώματα υπάρχουν

Οι Άραβες

Οι Άραβες μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν και για τη Γεωμετρία. Η παλαιότερη αραβική Γεωμετρία είναι το έργο του al-Khwarizmi. Εμπεριείχε τις φόρμουλες για τον υπολογισμό του εμβαδού και της περιφέρειας του κύκλου δίδοντας στο π την τιμή 22/7. Οι μεταγενέστεροι ισλαμιστές συγγραφείς επηρεάστηκαν από τους Έλληνες . Ο Ibn al-Haytham επεχείρησε να ξαναδιατυπώσει το θεώρημα των παραλλήλων.

Οι Γάλλοι κυρίως αλλά και οι Γερμανοί

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έφθασαν στην Ευρώπη και έκαναν αίσθηση.

Τον 16^ο αιώνα η ελληνίδα Γεωμετρία έχει ήδη ανθίσει κυρίως στα μοναστήρια των γαλλόφωνων Ιησουητών.

Το μεγάλο γεγονός του 17^ου αιώνα είναι το Philosophiae Naturalis Principia Mathematica του Newton που κυκλοφορεί το έτος 1687. Εκτός από τη σημασία που έχει για τη γέννηση του ευρωπαϊκού Calculus το Principia, ευαγγέλιο της νεογέννητης Φυσικής, είναι και μία «χωρίς προηγούμενο συνάντηση» της εμπειρίας με τη Γεωμετρία. Ο Isaac Newton δεν υπήρξε βέβαια κάποιος μεγάλος γεωμέτρης – εξάλλου το είδος μεγάλος γεωμέτρης στην Αγγλία είναι σπάνιο. Ωστόσο η νεογέννητη Φυσική είναι πριν από όλα μία συγκρυστάλλωση της ανθρώπινης «αριστοτελικής» εμπειρίας με την «πλατωνική» Γεωμετρία.

Στο μεταξύ την εποχή εκείνη - 17^ος αιώνας - η Γεωμετρία έχει ήδη συνδεθεί με την Άλγεβρα και με τον Calculus, αφού είχε προηγηθεί η «εμφάνιση» της Γαλλιδας Αναλυτικής Γεωμετρίας. Ο Descartes ο Fermat o Desargues ήταν εκείνοι που τη θεμελίωσαν και συγχρόνως εμπλούτισαν τις ιδέες του Ευκλείδη και προσπάθησαν να καλύψουν τις αδυναμίες του. Στο πεδίο της ανάπτυξης τον 18^ο αιώνα τον ρόλο του πρωταγωνιστή τον έπαιξαν και πάλι κυρίως οι Γάλλοι.

Ο Monge δημιούργησε την παραστατική Γεωμετρία, o Poncelet και o Chasles συνέβαλαν στην οικοδόμηση της προβολικής, o Legendre υπήρξε ένας μεγάλος γεωμέτρης, o Clairaut συνέβαλε στη οικοδόμηση της διαφορικής Γεωμετρίας.

Στις πρώτες δεκαετίες του 19^ου αιώνα ο μεγάλος γεωμέτρης είναι Ελβετός. Ο Jacob Steiner.

Κατά τον δέκατο ένατο αιώνας η ευκλείδια Γεωμετρία θα γνωρίσει την αμφισβήτηση της μοναδικότητάς της και οι γερμανόφωνοι – κυρίως ο Gauss και o Rieman - θα είναι τώρα οι πρωταγωνιστές. Στο μεταξύ ο Ρώσος Lobatchevsi και ο Ούγγρος Bolyai θα έχουν διατυπώσει και εκείνοι την αμφισβήτηση τους.

Με ελάχιστες εξαιρέσεις μεγάλοι Άγγλοι γεωμέτρες δεν υπήρξαν ποτέ.

Στη δεύτερη δεκαετία του 20^ου αιώνα - λίγο πριν ο Einstein παρουσιάσει τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητα- ο μεγαλύτερος μαθηματικός της εποχής, ο David Hilbert,

είχε συμβουλεύσει του φυσικούς ότι «εάν θέλουν να προχωρήσουν πρέπει να πάψουν να βλέπουν τα πράγματα μόνο σαν φυσικοί και να γίνουν λίγο περισσότερο γεωμέτρες».