Η ιστορία της Άλγεβρας

Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Al-jabr, al-Khwârizmi και ισλαμικά μαθηματικά

Ο λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ προέρχεται από τη λατινική Algebra η οποία με τη σειρά της προέρχεται από την αραβική λέξη al-jabr. Η αραβική λέξη πρωτοεμφανίζεται στο - γραμμένο γύρω στα 825- έργο του μεγάλου άραβα μαθηματικού al-Khwârizmi «Hisâb al-jabr w’ al- mugâbalah» ένας τίτλος που σε ελεύθερη απόδοση είναι « Επιστήμη της συνένωσης και της αντίθεσης» και η λέξη al-jabr ήταν για πολλά χρόνια συνώνυμο του «επιστήμη των εξισώσεων». Το αραβικό κείμενο έγινε γνωστό στην Ευρώπη από λατινικές μεταφράσεις. Από τη λέξη al-jabr γεννήθηκε ο λατινικός όρος Algebra που αποδόθηκε στα ελληνικά με το «Άλγεβρα». Το 1857 βρέθηκε μια λατινική μετάφραση που άρχιζε με το « Έχει πει ο Αλγορίθμι . . .». το όνομα δηλαδή του αλ – Χαυαρίσμι έγινε Αλγορίθμι και από την παράφραση αυτή γεννήθηκε και η λέξη ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ που σημαίνει «μια τυπική διαδικασία ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ με συγκεκριμένο τρόπο»

Το βιβλίο του al-Khwarizmi δεν χρησιμοποιεί τον σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό ούτε και εξισώσεις. Το οτιδήποτε είναι γραμμένο με λέξεις. Διαπραγματεύεται κυρίως εξισώσεις. Μελετά έξι διαφορετικούς τύπους εξισώσεων. Ωστόσο τα ισλαμικά μαθηματικά δεν ασχολούνται με ΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣ αριθμούς. Στη δευτεροβάθμια λόγου χάρη εξίσωση οι αρνητικές ρίζες αγνοούνται. Το ίδιο όμως βιβλίο περιέχει και κανόνες Αριθμητικής που διαμορφώθηκαν με τα ινδικά πρότυπα για την εκτέλεση πράξεων με ινδικά ψηφία . Αναφέρεται επίσης σε τετραγωνικές και κυβικές ρίζες, σε κλάσματα και στη μέθοδο των τριών.

Άλγεβρα των πολυωνύμων

Ο Abu Bakr al-Karaji συνέχισε την εργασία του al-Khwarizmi εστιάζοντας στο να εφαρμόσει τις τεχνικές της Αριθμητικής στην Άλγεβρα. Ανέπτυξε μια τεχνική κατά την οποία έδωσε όνομα στις νιοστές δυνάμεις xⁿ και στα αντίστροφά τους 1/xⁿ. Μπορούσε έτσι να εργαστεί σε πράξεις – πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση – στα πολυώνυμα.

Ο Al-Samaw’al εμπλούτισε την εργασία αυτή εισάγοντας αρνητικούς εκθέτες και πρότεινε έναν πίνακα της μορφής :

7	6	5	4	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
x^7	x^6	x^5	x^4	x^3	x^2	x^1	x^0	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4	x^-5	x^-6	x^-7
128	64	32	16	8	4	2	1	1/2	1/4	1/8	1/16	1/32	1/64	1/128

Τον χρησιμοποίησε για να εξηγήσει την τεχνική της πρόσθεσης εκθετών xⁿ x^m= x ^n+m.

Ο Ευκλείδης και η εξίσωση δευτέρου βαθμού

Μολονότι ο όρος Άλγεβρα δημιουργήθηκε κατά τον Μεσαίωνα πολλές «αλγεβρικές» έννοιες είχαν κάνει την εμφάνισή τους πολύ νωρίτερα Το Βιβλίο 2 των Στοιχείων του Ευκλείδη ασχολείται με δευτεροβάθμιες αλγεβρικές εξισώσεις. Ο αλγεβρικός συμβολισμός δεν έχει επινοηθεί και

ο Ευκλείδης αναπαριστά τους αριθμούς με ευθύγραμμα τμήματα .

Οι αλγεβρικές ταυτότητες όπως η (a+b)²=a²+2ab=b² παρουσιάζονται με μορφή γεωμετρική.

Οι πρωτοβάθμιες – γραμμικές – εξισώσεις λύνονται με γεωμετρικές κατασκευές.

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ανάγονταν σε γεωμετρικό ισοδύναμο μιας από τις μορφές η οποία στη συνέχεια λυνόταν με την εφαρμογή των ήδη θεμελιωμένων θεωρημάτων εμβαδού.

Αν και η μέθοδος δεν ήταν πολύ διαφορετική από εκείνη των Βαβυλωνίων, η «ελληνική» αυτή μέθοδος μπορούσε να οδηγήσει σε άρρητους αριθμούς. Η δευτεροβάθμια εξίσωση θεμελιώθηκε για τη λύση προβλημάτων και ειδικά εκείνων που εμπεριέχουν το πυθαγόρειο θεώρημα.

η λύση μιας δευτεροβάθμιας με τρόπο ελληνικά γεωμετρικό

x² – 13x + 36 = 0

ρ₁ρ₂ = 36 ρ₁+ ρ₂ = 13

κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 6

και ένα κύκλο διαμέτρου 13

Εύκολα αποδεικνύεται

ότι ρ₁ = ΑΓ= 4

και ότι ρ₂ = ΓΒ= 9

η λύση μιας άλλης δευτεροβάθμιας με τρόπο ελληνικά γεωμετρικό

x² – 5x - 36 = 0

η μία ρίζα ρ₁ είναι αρνητική = - Ιρ₁Ι

η άλλη ρ₂ θετική ρ₂ = Ιρ₂Ι

Ιρ₁Ι Ιρ₂Ι = 36 Ιρ₂Ι - Ιρ₁Ι = 5

Κατασκευάζουμε έναν κύκλο ακτίνας 5 . Σε ένα τυχαίο

σημείο του Α φέρουμε γεωμετρική εφαπτομένη ΑΓ = 6 .

Ενώνουμε το σημείο Γ με το κέντρο Ο του κύκλου.

Η σχετική ημιευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β και Δ.

Για τις δύο ρίζες θα ισχύει

Ιρ₁Ι = ΓΒ = 4 Ιρ₂Ι = ΓΔ = 9 ρ₁= - 4 ρ₂ = 9

ο Διόφαντος

Αρκετούς αιώνες αργότερα στην Αλεξάνδρεια του 3^ου μετά τον Χριστό αιώνα ο Διόφαντος με το βιβλίο του Αριθμητικά παρουσίασε μια όχι γεωμετρική Άλγεβρα στην οποία εντυπωσιάζει η απουσία γενικών μεθόδων και η επινόηση έξυπνων τεχνασμάτων για τη λύση 130 προβλημάτων. Το άλλο στοιχείο που χαρακτηρίζει το έργο του είναι τα πρώτα βήματα προς τον αλγεβρικό συμβολισμό. Δεν χρησιμοποιεί βέβαια γράμματα, χρησιμοποιεί όμως συντομογραφίες ενώ μέχρι την εποχή εκείνη η Άλγεβρα ήταν μόνο ρητορική. Το έργο του το ανακάλυψαν οι Ευρωπαίοι 1200 χρόνια μετά.

Στο μεταξύ το έργο των Ελλήνων φαίνεται ότι συνεχίστηκε από τους Άραβες

Οι Κινέζοι και τα εννέα κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης

Τα «εννέα κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης» ήταν μία καταγραφή των εξελίξεων στα πρώιμα κινεζικά μαθηματικά. Ο κύριος όμως στόχος τους είναι η παρουσίαση γνώσεων αστρονομίας και όχι ειδικά τα μαθηματικά. Πάντως παρουσιάζονται συστήματα πρωτοβάθμιων εξισώσεων στο κεφάλαιο 8. Η μέθοδος λέγεται «fang cheng » και οδηγεί στη λύση γραμμικών εξισώσεων. Η πρόσθεση και η αφαίρεση η οποία συμπεριλαμβάνει και αρνητικούς αριθμούς μνημονεύεται στο ίδιο αυτό βιβλίο στο οποίο γίνεται λόγος και για την «εξαγωγή» της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας με μέθοδο η οποία θυμίζει τη σύγχρονη

Η Άλγεβρα την Αναγέννηση

Στην Ευρώπη, η Άλγεβρα των Αράβων αναπτύχθηκε ιδιαίτερα κατά την Αναγέννηση καθώς η ανάπτυξη του εμπορίου ήταν ταχύτατη και οι έμποροι είχαν ανάγκη από κάποια καινούρια βελτιωμένα μαθηματικά. Οι περισσότεροι μαθηματικοί στηρίζονταν αρχικά μόνο στα κείμενα των Αράβων αλλά αργότερα και στην Ελληνική «γεωμετρική» Άλγεβρα

Οι Ιταλοί τον 14^ο και 15^ο αιώνα

Οι Ιταλοί δίδασκαν τους εμπόρους τις ινδοαραβικές τεχνικές για τη λύση προβλημάτων , και - αναπτύσσοντες και προεκτείνοντες τις ισλαμικές μεθόδους - έγραφαν κείμενα τα οποία δημιούργησαν τη βάση για παραπέρα ανάπτυξη. Οι Ιταλοί εισήγαγαν τον ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ ο οποίος δεν υπήρχε στην ισλαμική Άλγεβρα. Ωστόσο τα πράγματα άλλαζαν πολύ αργά και ο σύγχρονος αλγεβρικός συμβολισμός δεν καθιερώθηκα παρά μόνο κατά τον 17^ο αιώνα .

Οι Ιταλοί ανέπτυξαν επίσης τη μελέτη της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ενώ αναζητούσαν και τεχνικές για τη λύση τρίτου και τετάρτου βαθμού . Ο Maestro Dardi da Pisa εργάστηκε στις εξισώσεις τετάρτου βαθμού τις περισσότερες από τις οποίες τις ανήγαγε σε εξισώσεις δευτέρου βαθμού. O Piero della Francesca επιδόθηκε στη λύση εξισώσεων πέμπτου και έκτου βαθμού

16^ος αιώνας. Άγγλοι, Γάλλοι και κυρίως Γερμανοί

Ο Nicolas Chuquet στη Γαλλία και ο Christoff Rudolff στη Γερμανία ανέπτυξαν συστήματα εκθετικού συμβολισμού. Rudolff επισημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός των δυνάμεων αντιστοιχεί στην πρόσθεση των εκθετών. Ο Rudolff ήταν και ο πρώτος που θα εισάγει το σύμβολο Ö για την τετραγωνική ρίζα επειδή μοιάζει με το πεζό r, αρχικό της λέξης radix ριζικό. Στο βιβλίο του Die Coss , το 1526, ασχολείται με τη λύση αλγεβρικών εξισώσεων. Ερευνά τη λύση εξισώσεων τρίτου και μεγαλύτερου βαθμού αλλά τα καταφέρνει μόνο για εξισώσεις που μπορούν και ανάγονται σε δευτεροβάθμιες. Για τη λύση της δευτεροβάθμιας χρησιμοποιεί μια γενική μέθοδο που μοιάζει με τη σύγχρονη αλλά αδιαφορεί τις ρίζες που είναι αρνητικοί αριθμοί ή μηδέν. Στην Αγγλία παρουσιάζεται η εργασία του Robert Recorde ο οποίος έχει επηρεαστεί από τους Γερμανούς. Στο σημαντικότερο έργο του κάνει για πρώτη φορά την εμφάνισή του το σύμβολο «ίσον» (=) για την ισότητα δύο αλγεβρικών ποσοτήτων

Η λύση της τριτοβάθμιας, υπόθεση των Ιταλών

Η ιταλική μαθηματική παράδοση «αντέχει» και διεισδύει ακόμα και στον 16^ο αιώνα.

Η γενική λύση της εξίσωσης τρίτου βαθμού δεν είχε ακόμα επιτευχθεί και ήταν πολλοί οι μαθηματικοί που εργάζονταν προς αυτό τον στόχο. Ο Ιταλός Scipione del Ferro είχε στο μεταξύ ανακαλύψει μια μέθοδο για τη λύση της x³ + cx = d την οποία όμως δεν ανακοίνωσε αλλά λίγο πριν πεθάνει την εμπιστεύτηκε στον μαθητή του Antonio Maria Fiore και στον διάδοχό του Annibale della Nave. Λίγο αργότερα ο Niccolo Tartaglia από τη Brescia βρήκε τη λύση γης εξίσωσης x³ + bx² = d αλλά στη λογική της εποχής του δεν την αποκάλυπτε. Ο σχεδόν συνομίληκός του Gerolamo Cardano τον πίεσε να την αποκαλύψει και ο Tartaglia πείστηκε υπό τον όρο να μην δημοσιευτεί ποτέ και από κανέναν. Λίγα χρόνια μετά το έτος δηλαδή 1545 με το πρόσχημα ότι ο Scipione del Ferro ήταν ο πρώτος που έλυσε την τριτοβάθμια ο Cardano παρουσίασε το έργο του Ars Magna στο οποίο δημοσίευσε όλες τις λύσεις. Ο Tartaglia διαμαρτυρήθηκε έντονα αλλά η φόρμουλα της τριτοβάθμιας εξίσωσης ονομάζεται άδικα «φόρμουλα του Cardano»

Οι λογάριθμοι

Η ιδέα των λογαρίθμων γεννήθηκε πιθανόν από τους αστρονόμους οι οποίοι έπρεπε να πολλαπλασιάζουν και να διαιρούν πολύπλοκες τριγωνομετρικές ποσότητες. Στο μεταξύ οι πίνακες με τους αριθμούς και τις δυνάμεις έδειχναν ότι ο πολλαπλασιασμός στον ένα πίνακα αντιστοιχούσε σε πρόσθεση στον άλλο. Στην αυγή του 17^ου αιώνα ο σκωτσέζος John Napier ή Neper είχε την ιδέα της δημιουργίας ενός πίνακα λογαρίθμων ο οποίος θα διευκόλυνε τους πολλαπλασιασμούς οποιωνδήποτε ποσοτήτων ανάγοντάς τους σε προσθέσεις. Το 1617 δημοσίευσε τον σχετικό πίνακα και το όνομά του δημιούργησε αργότερα τον όρο “νεπέριοι λογάριθμοι”.

Σήμερα η έννοια λογάριθμος έχει διαφοροποιηθεί σε σχέση με εκείνη που πρότεινε Οο Neper. O λογάριθμος ενός αριθμού, όπως λόγου χάρη ο 50, είναι ο ΕΚΘΕΤΗΣ τον οποίο πρέπει να έχει o αριθμός e ( βάση ) ώστε να είναι ίσος με 50. e^ln50 = 50.

Η Άλγεβρα της εποχής μας

Η λεγόμενη «κλασική» Άλγεβρα ασχολείται με «συγκεκριμένα μαθηματικά αντικείμενα», με πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς, με πολυώνυμα και με ειδικές ομάδες μετασχηματισμών. Η μοντέρνα Άλγεβρα αντικατέστησε τα μαθηματικά αυτά αντικείμενα

με στοιχεία ενός συνόλου η φύση του οποίου είναι irrelevant

και για τα οποία η σχέση μεταξύ τους αποσαφηνίζεται με αξιώματα. Η μοντέρνα αυτή Άλγεβρα μελετά σύνολα εφοδιασμένα με ένα ή περισσότερους τελεστές των οποίων οι ιδιότητες απορρέουν από αξιώματα. Η νέα Άλγεβρα χαρακτηρίζεται από υψηλό βαθμό αφαίρεσης, σαφήνεια και γενικότητα. Οι μαθηματικοί χώροι που σχετίζονται μαζί της εμπεριέχουν διανυσματικούς χώρους, μήτρες και γραμμικούς χώρους, θεωρία αριθμών και θεωρία ομάδων