Πώς ξέρουμε τόσα πράγματα για τον ρυθμό εκπομπής της Ραδιενέργειας; Μας οδήγησαν εκεί οι έμπρακτες εργαστηριακές ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ και τα Μαθηματικά ή τα συμπεράναμε βασιζόμενοι στη ΛΟΓΙΚΗ μας και στα Μαθηματικά; Ποιος δρόμος μας οδήγησε εδώ; Η οδός Λοκ, ο δρόμος δηλαδή των εμπειριστών ή η οδός Καρτέσιου, ο δρόμος των ορθολογιστών;

Είναι γεγονός ότι η Φυσική οικοδομήθηκε μέσα από ποικίλες διαδρομές κατά τις οποίες άλλοτε πρωταγωνίστησε το στοιχείο των εμπειρικών δεδομένων και άλλοτε το βασιζόμενο στον ορθολογισμό στοιχείο της εννοιακής σκέψης. Σε ορισμένες μάλιστα περιπτώσεις, όπως αυτή του νόμου των ραδιενεργών διασπάσεων, η οικοδόμηση υλοποιήθηκε μέσα από διαδρομές και των δύο τύπων.

1. Ο δρόμος των εμπειριστών. Μετρήσεις και Μαθηματικά.

ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ. Τι θα μπορούσαμε να μετρήσουμε από την αόρατη ραδιενέργεια; Από τις έρευνες του Μπεκερέλ είχε διαφανεί ότι η αόρατες αυτές «ακτίνες»

α. μαύριζαν το φωτογραφικό χαρτί β. προκαλούσαν τον φθορισμό ορισμένων υλικών και γ. δημιουργούσαν ιονισμό των αερίων.

Ποιο από αυτά τα εμπειρικά δεδομένα θα μπορούσαμε να αξιοποιήσουμε για να μετρήσουμε τον ρυθμό της «αόρατης» εκπομπής;

Δεκαπέντε περίπου χρόνια αργότερα (το έτος 1913) ο Γερμανός Hans Geiger αξιοποιώντας τον προκαλούμενο «ιονισμό των αερίων» έφτιαξε ένα εξαιρετικό «εργαλείο» με το οποίο οι ερευνητές μπορούσαν να καταμετρούν αριθμούς εκπεμπομένων σωματιδίων. Είναι ο περίφημος απαριθμητής Geiger. Στη σημερινή ψηφιακή μετεξέλιξή του μπορούμε να μετράμε αριθμό εκπεμπομένων σωματιδίων ανά μονάδα χρόνου, να παίρνουμε δηλαδή τιμές για τον ρυθμό μεταβολής των αδιάσπαστων πυρήνων. Η απόλυτη τιμή του ρυθμού αυτού αποτελεί τη λεγόμενη ACTIVITY, έννοια την οποία στη γλώσσα μας αποδίδουμε με τον όρο ΕΝΕΡΓΟΤΗΤΑ.

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ. Αν καταγράψουμε τις τιμές της ενεργότητας ενός ραδιενεργού υλικού, ανά ίσους χρόνους, διαπιστώνουμε την μείωση των τιμών της. Είναι κάτι που το περιμέναμε. Ενδιαφέρον ωστόσο παρουσιάζει η παρατήρηση ότι ανά ίσους χρόνους η τιμή υποδιπλασιάζεται και αυτό μας οδηγεί στο να δημιουργήσουμε μια γραφική παράσταση τέτοια ώστε στον ένα άξονα να καταγράψουμε τις τιμές, όχι της ενεργότητας, αλλά του λογάριθμου της ενεργότητας και στον άλλο άξονα τον χρόνο. Διαπιστώνουμε έτσι ότι προκύπτει φθίνουσα γραμμική συνάρτηση. Τα εργαστηριακά δηλαδή δεδομένα μας αποκαλύπτουν ένα από τα «μυστικά» της ενεργότητας: ότι μειώνεται λογαριθμικά.

Οι ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ, με άλλα λόγια οδηγούν σε μία σχέση της μορφής lna = lna₀ - λt στην οποία το σύμβολο α παριστάνει την τιμή της ενεργότητας και το σύμβολο λ μία σταθερά η οποία πρόκειται να αποκαλέσουμε σταθερά διάσπασης.

2. Ο δρόμος των ορθολογιστών. Η λογική και τα Μαθηματικά.

Η ΦΥΣΙΚΗ ΣΚΕΨΗ. Για κάθε συγκεκριμένο πυρήνα η ραδιενεργός διάσπασή του υπακούει στους μεγάλους νόμους διατήρησης της ενέργειας-μάζας, του φορτίου και της ορμής. Αλλά μολονότι κάθε μεμονωμένη διάσπαση είναι πιθανή, το «πότε θα συμβεί η διάσπαση» ή το «κάθε πότε θα συμβαίνει» δεν προκύπτει από τους νόμους διατήρησης.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν ραδιενεργό δείγμα Ιωδίου-131 με χρόνο ημιζωής 8 ημέρες. Το μόνο προβλέψιμο είναι ότι σε 8 ημέρες οι μισοί από τους αδιάσπαστους πυρήνες του δείγματος θα έχουν διασπαστεί και αυτό μπορούμε ερευνητικά να το επιβεβαιώσουμε. Είναι όμως αδύνατον να προβλέψουμε ποιοι από τους πυρήνες θα διασπαστούν, όπως και το «κάθε πότε θα συμβαίνει διάσπαση». Ανάμεσα στους αρχικά αδιάσπαστους πυρήνες υπάρχουν μερικοί για τους οποίους «η καμπάνα θα χτυπήσει» σε κλάσμα δευτερολέπτου, ενώ κάποιοι άλλοι είκοσι μέρες μετά θα είναι ακόμα αδιάσπαστοι. Κανείς από τους πυρήνες δεν έχει κάποιο ειδικό χαρακτηριστικό – όπως λόγου χάριν η ηλικία- με βάση το οποίο να μπορεί η διάσπασή του να θεωρείται πιθανότερη από εκείνη των άλλων.

Η ΛΟΓΙΚΗ. Με αφορμή αυτό το τελευταίο μπορούμε να επιστρατεύσουμε τη ΛΟΓΙΚΗ μας, να υποθέσουμε ότι η διάσπαση κάθε πυρήνα συντελείται ανεξάρτητα από το συμβαίνει με τους υπόλοιπους και να αποδεχθούμε ότι ο ρυθμός της διάσπασης – το «πόσοι ανά μονάδα χρόνου θα διασπαστούν»- είναι ανάλογος προς τον αριθμό των πυρήνων που υπάρχουν αδιάσπαστοι.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αυτό, στη γλώσσα των μαθηματικών, διατυπώνεται με μία σχέση dN/dt = -λΝ, στην οποία το dN/dt παριστάνει τον ρυθμό ελάττωσης των αδιάσπαστων πυρήνων, μία αρνητική δηλαδή ποσότητα ίση με το αντίθετο της ενεργότητας ενώ το λ παριστάνει μία σταθερά που εκφράζει την (ανά μονάδα χρόνου) πιθανότητα διάσπασης και έχει τιμή ανεξάρτητη από το ιστορικό των πυρήνων του δείγματος.

Με λίγα μαθηματικά (ολοκλήρωση) από την dN/dt = -λΝ, καταλήγουμε στη σχέση Ν = Ν₀ e ^-λt ενώ ο συνδυασμός των δύο αυτών σχέσεων μας οδηγεί στην a = a₀ e ^-λt Βλέπουμε δηλαδή ότι τόσο η (περιγραφόμενη με την Ν = Ν₀e ^-λt ) ελάττωση του αριθμού των αδιάσπαστων πυρήνων όσο και η (περιγραφόμενη με την a = a₀e ^-λt ) ελάττωση της ενεργότητας εξελίσσονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Για έναν μαθηματικό αυτό είναι αναμενόμενο διότι η ενεργότητα σχετίζεται με την παράγωγο της συνάρτησης Ν = Ν₀e ^-λt και η

τελευταία αυτή συνάρτηση είναι φθίνουσα εκθετική.

Τέλος από τη συνάρτηση a = a₀e ^-λt προκύπτει η lna = lna₀ - λt .

Διαπιστώνουμε δηλαδή ότι -μολονότι κα τους δύο τους διασχίσαμε με τη βοήθεια των μαθηματικών-

ο δρόμος της ΛΟΓΙΚΗΣ μας οδήγησε στο ίδιο ακριβώς σημείο στο οποίο μας είχε φέρει ο δρόμος των εργαστηριακών ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ, στον λεγόμενο νόμο των ραδιενεργών διασπάσεων. Ν = Ν₀e ^-λt

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ φαινόμενα. ΙΔΙΑ Μαθηματικά

Εκθετικές συναρτήσεις του τύπου Ν = Ν₀ e ^-λt κάνουν συχνά την εμφάνισή της σε ζητήματα λειτουργίας του Κόσμου. Σε παρόμοια, λόγου χάριν, συνάρτηση καταλήγουμε κατά την περιγραφή του φαινομένου εκφόρτιση ενός πυκνωτή . κατά την οποία το φορτίο του πυκνωτή περιγράφεται με τη συνάρτηση q=q₀e ^-λt

Πρόκειται για μία μαθηματική ομοιότητα «κρυμμένη» πίσω από τη διαφορετικότητα των φαινομένων.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση η μαθηματική ομοιότητα οφείλεται στο ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε «ρυθμό μεταβολής μιας ποσότητας ανάλογο προς την τιμή της ποσότητας». Κατά την εκφόρτιση του πυκνωτή, σύμφωνα με τον κανόνα του Kirchhoff ισχύει V+ IR = 0 . Αλλά V = q/C, I = dq/dt οπότε dq/dt = -q/RC.

Η ομοιότητα με την dN/dt = -λΝ είναι εμφανής.

Κάτι ανάλογο ισχύει και κατά την περιγραφή του φαινομένου φθίνουσα ταλάντωση.