Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Η θεωρητική επεξεργασία του φαινομένου (μηχανική) αρμονική ταλάντωση βασίζεται σε φυσικούς νόμους και στους ορισμούς δύο εννοιών. Οι νόμοι είναι ο δεύτερος νόμο του Νεύτωνα και η Διατήρηση της ενέργειας Οι έννοιες είναι η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Η ταχύτητα ορίζεται ως παράγωγος της θέσης υ = dx/dt και η επιτάχυνση a = dυ/dt ως παράγωγος της ταχύτητας . Αν θεωρήσουμε ως αφετηρία το ότι «κατά την αρμονική ταλάντωση υπάρχει δύναμη επαναφοράς ανάλογη προς τη απομάκρυνση (θέση) x ή , σε γλώσσα των συμβόλων, F = -Dx ο συνδυασμός της εξίσωσης με τον νόμο του Νεύτωνα και τους δύο ορισμούς F= ma υ = dx/dt a = dυ/dt = d^2x/dt^2οδηγεί στην md^2x/dt^2 + Dx = 0

Η θεωρητική επεξεργασία του φαινομένου ηλεκτρική (αρμονική) ταλάντωση βασίζεται σε φυσικούς νόμους και στους ορισμούς δύο εννοιών. Οι νόμοι είναι ο δεύτερος κανόνας του Kirchhoff, ο νόμος για το φαινόμενο αυτεπαγωγή και η Διατήρηση της ενέργειας Οι έννοιες είναι η διαφορά δυναμικού, η χωρητικότητα, το ηλεκτρικό φορτίο και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος. Η χωρητικότητα του πυκνωτή ορίζεται ως πηλίκο q/V C = q/ V, άρα η διαφορά δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή είναι V= q/ C. Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος ορίζεται με βάση το διακινούμενο ηλεκτρικό φορτίο ως I = dq /dt. Σε κάθε περίπτωση το διακινούμενο ηλεκτρικό φορτίο dq είναι ίσο με τη μεταβολή του φορτίου πυκνωτή Σύμφωνα με τον νόμο της αυτεπαγωγής η ηλεκτρεγερτική δύναμη που εμφανίζεται στο πηνίο είναι ι ίση με – Ldi/dt. Σύμφωνα με τον δεύτερο κανόνα του Kirchhoff, στο κλειστό κύκλωμα το άθροισμα των μεταβολών του δυναμικού είναι ίσο με μηδέν. Ο συνδυασμός των παραπάνω οδηγεί στην q/C + Ldi/dt = 0 άρα ( λόγω της I = dq /dt ) Ld^2q/dt^2 + q/C = 0 .

Η εξίσωση md^2x/dt^2 + Dx = 0 είναι μία διαφορική εξίσωση ( η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μία συνάρτηση) η λύση της οποίας είναι η συνάρτηση x = f(t). x = Aημ(√D/m t+θ) και αν συμβολίσουμε το √D/m με ω θα είναι x=Aημ(ωt+θ) Η επιλογή μιας τιμής για τη θ είναι δικό μας ζήτημα. Καθορίζεται δηλαδή από το «ποια χρονική στιγμή θέλουμε να θεωρούμε ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ. Αν ως Αρχή των χρόνων επιλέξουμε μία χρονική στιγμή με x = 0 και υ>0 η τιμή της θ θα είναι μηδέν οπότε x = Aημωt και υ = ωΑσυνωt Στα ελληνικά Προγράμματα Σπουδών η επιλογή αυτή προτείνεται ως «βασική» , σύμφωνα με την άποψη ότι είναι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ η απλούστερη αλλά και με την αντίληψη ότι στις αναπαραστάσεις των μαθητών ο ταλαντωτής κατά την αρχή των χρόνων βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. Για τον συμβολιζόμενο με ω συντελεστή της μεταβλητής t, τόσο στη συνάρτηση x = Aημωt όσο και σε αυτή για την ταχύτητα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι μια φυσική ποσότητα ίση με το γινόμενο του αριθμού 2π επί τη συχνότητα του φαινομένου. Στην ευρωπαϊκή γλωσσική παράδοση εμφανίζεται ως όρος τον οποίο στα ελληνικά θα μπορούσαμε να τον αποδώσουμε κυκλική συχνότητα. Στην αντίστοιχη αμερικανική παράδοση η απόδοσή του είναι γωνιακή συχνότητα. Εφόσον η τιμή αυτής της ποσότητας είναι ίση με √D/m ισχύει 2π/Τ = √D/m Τ = 2π√m/D Βασιζόμενοι επίσης στη Διατήρηση της ενέργειας μπορούμε να αναζητήσουμε σχέσεις ανάμεσα στην ταχύτητα και στη θέση του ταλαντωτή

Η εξίσωση Ld^2q/dt^2 + q/C = 0 είναι μία διαφορική εξίσωση η λύση της οποίας μπορεί να μας δώσει την εξέλιξη της τιμής του φορτίου του πυκνωτή. Εφόσον είναι ίδιας μορφής με την αντίστοιχη για τη μηχανική αρμονική ταλάντωση η λύση της θα είναι q =Q ημ(1/√LC t +θ) και αν συμβολίσουμε τον συντελεστή του t με ω (ω =1/√LC ) θα έχουμε q = Qημ(ωt+θ) Η επιλογή μιας τιμής για τη θ είναι δικό μας ζήτημα. Καθορίζεται δηλαδή από το «ποια χρονική στιγμή θέλουμε να θεωρούμε ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ. Αν ως Αρχή των χρόνων επιλέξουμε μία χρονική στιγμή με q = 0 και I>0 η τιμή της θ θα είναι μηδέν οπότε q =Qημωt και Ι=ωQσυνωt Αν ακολουθούσαμε την επιλογή αυτή οι συναρτήσεις για την περιγραφή των δύο φαινομένων θα είχαν την ίδια μαθηματική φόρμα. Ωστόσο στα ελληνικά Προγράμματα Σπουδών η επιλογή είναι διαφορετική. Θεωρούμε Αρχή των χρόνων τη στιγμή κατά την οποία το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο ( Q>0) και κύκλωμα δεν διαρρέεται από ρεύμα. Από τη σκοπιά της φυσικής, η επιλογή αυτή θεωρεί ότι το φαινόμενο «αρχίζει» με τη φόρτιση του πυκνωτή και είναι γεγονός ότι συνήθως έτσι παρουσιάζεται με την άποψη ότι έτσι γίνεται πιο κατανοητό από τους διδασκόμενους. Θυσιάζουμε δηλαδή τη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ομοιομορφία στο βωμό της καλύτερης κατανόησης του ΦΥΣΙΚΟΥ φαινομένου. Με αυτή την επιλογή θα είναι q =Qσυνωt οπότε – λόγω του ότι I = dq /dt – θα είναι Ι= - ωQημσυνωt. Για τον συμβολιζόμενο με ω συντελεστή της μεταβλητής t τόσο στη συνάρτηση q =Qσυνωt και σε αυτή για το ρεύμα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι μια φυσική ποσότητα ίση με το γινόμενο του αριθμού 2π επί τη συχνότητα του φαινομένου. Για την ποσότητα αυτή χρησιμοποιούμε τον όρο γωνιακή συχνότητα ή κυκλική συχνότητα. Εφόσον η τιμή της είναι ίση με 1/√LC ισχύει 2π/Τ = 1/√LC Τ = 2π/√LC Βασιζόμενοι επίσης στη Διατήρηση της ενέργειας μπορούμε να αναζητήσουμε σχέσεις ανάμεσα στην τιμή του φορτίου και στην τιμή του ρεύματος, σε μια οποιαδήποτε στιγμή.

Η διαφορική εξίσωση Ld²q/dt² + q/C = 0 που περιγράφει την «περιπέτεια της τιμής του φορτίου στην ηλεκτρική ταλάντωση

είναι της ΙΔΙΑΣ ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΟΡΦΗΣ με την md²x/dt² + Dx = 0 η οποία περιγράφει την «περιπέτεια της τιμής της θέσης στη μηχανική ταλάντωση

Έχουμε, με άλλα λόγια, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ περιγραφής σε δύο διαφορετικά φυσικά φαινόμενα.

Στη θέση της μάζας έχουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής και στη θέση της σταθεράς D το αντίστροφο της χωρητικότητας.

(συνέχεια) οι ΕΝΝΟΙΕΣ και η ΑΛΓΕΒΡΑ