Θεώρηση ΙΙ. Η οποιαδήποτε κίνηση ενός στερεού μπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία

α. μιας ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ κίνησης και β. μιας ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ κίνησης

α. Στη γλώσσα των εννοιών η μεταφορική κίνηση χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι -ανά πάσα στιγμή- όλα τα υλικά σημεία του στερεού έχουν ίσες ταχύτητες. Η κοινή αυτή ταχύτητα λέγεται και ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. Σε κάθε λοιπόν χρονική στιγμή το μεταφορικά κινούμενο σώμα έχει ΤΑΧΥΤΗΤΑ και –σε ανάλογη λογική- έχει και ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ.

β. Αυτά δεν ισχύουν για ένα στρεφόμενο στερεό. Η περιγραφή της στροφικής κίνησης (rotatory motion, mouvement rotatif, Drehbewegung, moto rotatorio) έχει ανάγκη τη γεωμετρική έννοια άξονας. Σε κάθε στιγμή η κίνηση αυτή αναφέρεται τόσο στο κινούμενο σώμα όσο και σε συγκεκριμένο άξονα. Κάθε υλικό σημείο του σώματος εκτελεί κυκλική κίνηση το κέντρο της οποίας βρίσκεται στον συγκεκριμένο άξονα. Είναι φανερό ότι τα υλικά σημεία του σώματος δεν έχουν την ίδια ταχύτητα. Η έννοια ‘’ταχύτητα ενός στρεφομένου σώματος’’ δεν μπορεί να υπάρξει. Το ίδιο συμβαίνει και με την έννοια ‘’επιτάχυνση ενός στρεφομένου σώματος’’ . Οι αντίστοιχες έννοιες/ διανυσματικά μεγέθη που έχουν επινοηθεί για την περιγραφή της στροφικής κίνησης είναι η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση . Σε κάθε λοιπόν χρονική στιγμή το στρεφόμενο σώμα έχει ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ και ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ.

Η τιμή (θ) μιας γωνίας -σε ακτίνια (συμβολίζεται rad)- δίδεται από τον λόγο s/R όπου s το μήκος του τόξου στο οποίο «βαίνει» όταν την κάνουμε επίκεντρη με οποιονδήποτε τρόπο και R η ακτίνα του κύκλου. θ = s/R .

Η έννοια ‘’γωνιακή ταχύτητα’’ (angular velocity, vitesse angulaire, Winkelgeschwinigkeit, Velocitá angolare) ορίζεται ως «γωνιακή ταχύτητα υλικού σημείου κινουμένου κυκλικά» και στη συνέχεια αποδίδεται σε στρεφόμενο στερεό σώμα.

Για τον ορισμό της συνδυάζονται

η γεωμετρική έννοια ‘’ΓΩΝΙΑ’’ και

η φυσική έννοια ΧΡΟΝΟΣ.

Θεωρούμε ένα σημειακό αντικείμενο σημείο να διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Ο και σε κάποια χρονική στιγμή να βρίσκεται στο σημείο Α. Κατά το χρονικό διάστημα που ακολουθεί το διάνυσμα ΟΑ (επιβατική ακτίνα) «διαγράφει» στο επίπεδο του κύκλου μια γωνία, ας υποθέσουμε θ. Εάν η κίνηση είναι ομαλή κυκλική η τιμή του διαγραφόμενου -από το αντικείμενο- τόξου άρα και της γωνίας -την οποία διαγράφει η επιβατική ακτίνα- είναι ανάλογη προς τον χρόνο. Η σχέση τόξου (s) και χρόνου(t) αποδίδεται με την εξίσωση s=υt, στην οποία το υ παριστάνει την ταχύτητα του αντικειμένου.

Αντίστοιχα, μπορούμε να έχουμε μια σχέση αναλογίας «γωνιακής θέσης και χρόνου» που θα αποδίδεται με την εξίσωση θ=ωt στην οποία το ω συμβολίζει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του αντικειμένου. Η εξίσωση αυτή, είτε με τη μορφή θ=ωt είτε με την ω=θ/t, θεωρείται εξίσωση ορισμού του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας.

Η γωνιακή ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του κύκλου και φορά προσδιοριζόμενη με τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Εάν συνδυάσουμε τις εξισώσεις θ= s/R, s=υt και θ=ωt θα προκύψει η -με ιδιαίτερο ενδιαφέρον εξίσωση- υ= ω R η οποία συσχετίζει

την ταχύτητα και τη γωνιακή ταχύτητα ενός υλικού σημείου σε κυκλική κίνηση ακτίνας R.

Εύκολα μπορούμε επίσης να καταλήξουμε στην εξίσωση ω=2π/Τ η οποία συσχετίζει τη γωνιακή ταχύτητα με την περίοδο της ομαλής κυκλικής κίνησης

Εφόσον η κίνηση δεν είναι ομαλή κυκλική το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ορίζεται από την εξίσωση ω=dθ/dt.

Η έννοια/διανυσματικό μέγεθος γωνιακή επιτάχυνση ενός ΥΛΙΚΟΎ ΣΗΜΕΙΟΥ ορίζεται με λογική αντίστοιχη προς εκείνη στην οποία βασίζεται ο ορισμός της έννοιας ‘’επιτάχυνση’’. Προκειμένου για ένα υλικό σημείο η γωνιακή ταχύτητα του οποίου μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό, η εξίσωση με την οποία ορίζεται το μέτρο -συμβολίζεται με α_γων - της γωνιακής επιτάχυνσης είναι η

α_γων = Δω/Δt.

Αποδεικνύεται ότι σχετίζεται με την επιτρόχια επιτάχυνση α_ε –την «συνιστώσα της επιτάχυνσης η οποία ευθύνεται για τις αυξομειώσεις της ταχύτητας- με τη σχέση α_ε=α_γωνR . Ως κατεύθυνση του διανύσματος α_γων ορίζεται η κατεύθυνση του διανύσματος Δω.

Εάν η γωνιακή ταχύτητα δεν μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό, το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης ορίζεται από την α_γων = dω/dt.

Ενώ για την περιγραφή της κυκλικής κίνησης ενός υλικού σημείου αντικειμένου η έννοια ‘’γωνιακή ταχύτητα’’ έχει σχετικά μικρή σημασία, για την περιγραφή της στροφικής κίνησης ενός στερεού η έννοια αυτή είναι μία από τις «πρωταγωνίστριες». Παίζει δηλαδή ένα ρόλο αντίστοιχο με εκείνον της ταχύτητας στην κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου είτε στη μεταφορική κίνηση ενός στερεού.

Η έννοια γωνιακή ταχύτητα στρεφόμενου στερεού αντιστοιχεί στην κοινή γωνιακή ταχύτητα όλων των υλικών σημείων από τα οποία θεωρούμε ότι αποτελείται το στερεό. Είναι μέγεθος διανυσματικό με διεύθυνση η οποία συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής και φορά η οποία καθορίζεται από τη «φορά της περιστροφής του στερεού» με βάση τον κανόνα του δεξιού χεριού. Περιγράφει το ‘’πόσο γρήγορα’’ αλλά και το ‘’προς τα πού’’ στρέφεται το σώμα.

Η έννοια γωνιακή επιτάχυνση στρεφόμενου στερεού αντιστοιχεί στην κοινή γωνιακή επιτάχυνση όλων των υλικών σημείων από τα οποία θεωρούμε ότι αποτελείται το στερεό.

Είναι μέγεθος διανυσματικό και εφόσον η περιστροφή γίνεται περί σταθερό άξονα η διεύθυνσή της συμπίπτει με τον άξονα. Περιγράφει το ’πόσο γρήγορα’’ μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα του σώματος καθώς και το αν συμβαίνει αύξηση ή για ελάττωση της τιμής της.

Οι μονάδες μέτρησης για τα μεγέθη γωνία, γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση είναι αντίστοιχα

το 1rad, το 1rad/s και το 1 rad/s².

Γωνιακή ταχύτητα ω = dθ/dt Γωνιακή επιτάχυνση α_γων = dω/dt