( Rolling, Roulement, Rollen, Rotolazione)

η σκοπιά της ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ (η περιγραφή του φαινομένου)

Το φαινόμενο κύλιση (χωρίς ολίσθηση) μπορεί να περιγραφεί

1. Ως επαλληλία α. μιας μεταφορικής και β. μιας στροφικής κίνησης περί συγκεκριμένο άξονα

2. Ως στροφική κίνηση περί στιγμιαίο άξονα (διαφορετικό από τον προηγούμενο)

Να περιγράψουμε με τη βοήθεια των εννοιών την κίνηση ενός τροχού ποδηλάτου το οποίο «τρέχει» σε οριζόντιο δρόμο έτσι ώστε σε κάποια στιγμή η ταχύτητα των τμημάτων που κάνουν μεταφορική κίνηση να είναι υ_π. (Θεωρούμε ένα μοντέλο τροχού δύο διαστάσεων)

1. Ως επαλληλία.

Η κίνηση του τροχού μπορεί σε μπορεί να αναλυθεί α. σε μια μεταφορική κίνηση με την ταχύτητα υ_κ του κέντρου Κ του τροχού και β. σε μία στροφική –με γωνιακή ταχύτητα ω₁ - περί οριζόντιο άξονα διερχόμενο από το κέντρο Κ. Με βάση την αρχή της επαλληλίας , η ταχύτητα κάθε σημείου του τροχού θα είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα εκείνης (υ_Κ ) που θα είχε αν συμμετείχε μόνο στη μεταφορική κίνηση και εκείνης (υ_R ) που θα είχε αν συμμετείχε μόνο στη στροφική περί Κ κίνηση.

Αποδεικνύεται ότι – εφόσον η κύλιση γίνεται χωρίς ολίσθηση - τα μέτρα των υ_Κ και υ_R είναι ίσα. Η ταχύτητα συνεπώς του ανώτερου σημείου του τροχού θα είναι διπλάσια της υ_Κ.

υ_κ υ_R

Αξίζει τον κόπο να δείτε το παρακάτω applet . Είναι ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΟ.

http://ap.polyu.edu.hk/Our%20Applets/Rolling/Rolling.html

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/FreeRolling/FreeRolling.html

http://nzip.rsnz.org/es/applets13/rotationmotion_files/Image-rot4.jpg

http://nzip.rsnz.org/es/applets13/rotationmotion_files/Image-rot5.jpg

http://nzip.rsnz.org/es/applets13/rotationmotion_files/Image-rot3.jpg

2. Ως -καθαρή - στροφική κίνηση περί στιγμιαίο άξονα.

Κατά την κύλιση, σε κάθε στιγμή, ένα μόνο σημείο του τροχού -ας το ονομάσουμε Ο- ακουμπάει στο έδαφος, είναι το μοναδικό σημείο στήριξης, είναι το μοναδικό σημείο με μηδενική ταχύτητα. Σε κάθε στιγμή ο τροχός στρέφεται, με γωνιακή ταχύτητα ω₂ περί άξονα κάθετον στο επίπεδό του διερχόμενο από το μηδενικής ταχύτητας σημείο Ο. Η ταχύτητα ενός τυχαίου σημείου Δ θα είναι κάθετη στην «ακτίνα.(ΟΔ)» και ίση με το γινόμενο ω₂.(ΟΔ). Με τη διαφορετική λοιπόν αυτή θεώρηση της στροφικής κίνησης περί στιγμιαίο άξονα αποδεικνύεται ότι η ταχύτητα συνεπώς του ανώτερου σημείου του τροχού είναι διπλάσια από την ταχύτητα του κέντρου Κ. Αποδεικνύεται επίσης ότι ω₂ = ω₁ .

η σκοπιά της ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

οι ερωτήσεις

1. Κατά την ‘’κύλιση χωρίς ολίσθηση ‘’ ενός τροχού σε κεκλιμένο επίπεδο ποια από τα παρακάτω είναι σωστά ;

α. Τα σημεία επαφής του τροχού με τα κεκλιμένο επίπεδο έχουν ταχύτητα μηδέν.

β. Η επιφάνεια του κεκλιμένου επιπέδου ασκεί στον τροχό ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΡΙΒΗ.

γ. Η ενέργεια του τροχού (άθροισμα κινητικής και δυναμικής) διατηρείται σταθερή.

2. Ποιες εξισώσεις νευτωνικής ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ισχύουν κατά την ‘’κύλιση χωρίς ολίσθηση ‘’ ενός τροχού σε κεκλιμένο επίπεδο;

3. Ποιους άλλους νόμους μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε ένα πρόβλημα κύλισης;

οι απαντήσεις

1. Όλα είναι σωστά

2. Αν αναλύσουμε την κύλιση

σε κίνηση μεταφορική με επιτάχυνση a και

σε κίνηση στροφική περί άξονα Κ διερχόμενον από το κέντρο μάζας

ΣF_x = ma ΣF_y = 0 Στ_Κ = Ι_Κα_γων

(Στ_Κ είναι η ολική ροπή των ασκουμένων δυνάμεων ως προς το κέντρο μάζας του τροχού, ω΄ η γωνιακή επιτάχυνση της στροφικής περί Κ κίνησης και Ι_Κ η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς Κ )

Αν θεωρήσουμε την κύλιση στροφική κίνηση περί τον στιγμιαίο άξονα περιστροφής που διερχόμενο από το σημείο επαφής Ο

Στ_ο = Ι_ο α_γων

(Στ_ο είναι η ολική ροπή των ασκουμένων δυνάμεων ως προς το σημείο επαφής Ο, α_γων η γωνιακή επιτάχυνση της στροφικής περί Ο κίνησης και Ι_ο η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς Ο )

Για την αντιμετώπιση των σχετικών προβλημάτων χρειάζεται επίσης η εξίσωση που συσχετίζει τα μεγέθη επιτάχυνση (a) του κέντρου του τροχού και γωνιακή επιτάχυνση (ω΄) a = α_γωνR

3. Τη διατήρηση της ενέργειας δεδομένου ότι κατά την κύλιση χωρίς ολίσθηση η ενέργεια διατηρείται.

Σε αυτή την περίπτωση συνήθως χρειάζεται και η εξίσωση υ = ωR που συσχετίζει τη γωνιακή ταχύτητα της στροφικής κίνησης με την ταχύτητα του κέντρου μάζας.

Κατά την κύλιση χωρίς ολίσθηση μιας σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας διατηρείται σταθερό. Επιλέγουμε δύο κατάλληλες στιγμές (που μας εξυπηρετούν δηλαδή στη λύση του προβλήματος ) και γράφουμε

Κ₁ + U₁ = K₂ + U₂

Και η μεν (βαρυτική) ΔΥΝΑΜΙΚΗ ενέργεια θα είναι ίση με το γινόμενο «βάρος επί ύψος» .Το ύψος είναι «η απόσταση του ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ από μία οποιαδήποτε οριζόντια επιφάνεια»

Η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ενέργεια μπορεί να υπολογιστεί ως άθροισμα της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφοράς (½mυ²) και της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής, περί οριζόντιο άξονα διερχόμενο από το κέντρο Κ, ( ½Ι_κω² ).

Σε αυτή την περίπτωση συνήθως χρειάζεται και η εξίσωση υ = ωR που συσχετίζει τη γωνιακή ταχύτητα της στροφικής κίνησης με την ταχύτητα του κέντρου μάζας.

Δείτε το παρακάτω applet «Ένα στεφάνι, ένας δίσκος και μια σφαίρα, σε κεκλιμένο επίπεδο. Ποιο θα φθάσει κάτω πρώτο; » http://www3.ltu.edu/~s_schneider/physlets/main/rot_race.shtml

(Να σημειωθεί ότι η ροπή αδράνειας της στεφάνης είναι mR² του δίσκου ½ mR² και της σφαίρας ²/₅ mR², όπου m η μάζα και R η ακτίνα)

http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/images/start.gif