1. Τι ακριβώς είναι η αλγεβρική ποσότητα ΣF_x ;

Η απάντηση.

Η αλγεβρική ποσότητα ΣF_x αναφέρεται σε ένα σύνολο δυνάμεων που ασκούνται στο ίδιο σώμα.

Αν καθεμιά από τις ασκούμενες σε ένα σώμα δυνάμεις την αναλύσουμε σε δύο κάθετες συνιστώσες F_x , F_y έτσι ώστε όλες οι F_x να έχουν την ίδια διεύθυνση (x), οπότε το ίδιο θα συμβαίνει και με τις F_y

ΣF_x θα είναι το άθροισμα των αλγεβρικών τιμών των συνιστωσών των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση x

ΣF_y θα είναι το άθροισμα των αλγεβρικών τιμών των συνιστωσών των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση y.

Με άλλα λόγια, το ΣF_x θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα των γεωμετρικών ΠΡΟΒΟΛΩΝ των διανυσμάτων σε άξονα x

Η αλγεβρική τιμή κάθε προβολής έχει πρόσημο που καθορίζεται από την κατεύθυνση του διανύσματος σε σχέση με την θετική ή αρνητική φορά του αντίστοιχου άξονα.

Η τιμή συνεπώς του ΣF_x καθορίζεται από το πώς είναι προσανατολισμένος ο άξονας.

2. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στην ποσότητα ΣF_x και στην τιμή της συνισταμένης;

Η απάντηση.

Αποδεικνύεται με βάση τη Γεωμετρία (θεώρημα των προβολών ή θεώρημα του Chasles ) ότι :

Το ΣF_x σε οποιονδήποτε άξονα του επιπέδου είναι ίσο με την αλγεβρική προβολή της ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗΣ αυτών των δυνάμεων στον ίδιο άξονα.

Από αυτό συμπεραίνεται ότι

εάν οι ασκούμενες δυνάμεις έχουν συνισταμένη θα είναι ΣF_x = 0 μόνο εφόσον ο άξονας x είναι κάθετος στη συνισταμένη.

εάν για τις ασκούμενες στο σώμα δυνάμεις, η συνισταμένη είναι μηδέν θα είναι ΣF_x = 0 για κάθε άξονα του επιπέδου.

Ισχύει επίσης ότι:

εάν οι ασκούμενες στο σώμα δυνάμεις ισοδυναμούν με ΖΕΥΓΟΣ θα είναι ΣF_x = 0 ΣF_x = 0 για κάθε άξονα του επιπέδου.

3. Τι εξασφαλίζεται με το να ισχύει ΣF_x = 0 και ΣF_y = 0 ;

Η απάντηση.

Εφόσον ισχύουν οι δύο εξισώσεις, οι ασκούμενες στο σώμα ομοεπίπεδες δυνάμεις

είτε α. έχουν συνισταμένη μηδέν είτε β. ισοδυναμούν με ΖΕΥΓΟΣ.

4. Τι ακριβώς είναι η αλγεβρική ποσότητα Στ_Α ;

Η απάντηση.

Η αλγεβρική ποσότητα Στ_Α αναφέρεται

σε ένα ΣΥΝΟΛΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ασκουμένων στο ίδιο σώμα και

σε ένα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ.

Το Στ_Α είναι το άθροισμα των αλγεβρικών τιμών των ροπών των δυνάμεων ως προς το συγκεκριμένο γεωμετρικό σημείο.

Η αλγεβρική τιμή κάθε ροπής είναι

το μέτρο της ροπής (γινόμενο μέτρου δύναμης επί απόσταση) με ΠΡΟΣΗΜΟ

το οποίο καθορίζεται από τη ΦΟΡΑ κατά την οποία η δύναμη «τείνει» να περιστρέψει το σώμα περί άξονα κάθετο στο επίπεδο των δυνάμεων.

5. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στην ποσότητα Στ_Α και στην τιμή της συνισταμένης;

Η απάντηση.

Για ένα σύνολο δυνάμεων, ασκουμένων στο ίδιο σώμα, ισχύει το θεώρημα του Varignon,

(θεώρημα των ροπών) το οποίο βασίζεται στον κανόνα του παραλληλογράμμου και αποδεικνύεται με γεωμετρία

Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών (η ολική ροπή, συμβολιζόμενη και με Στ_Α ) ως προς οποιοδήποτε γεωμετρικό σημείο (ενός συνόλου δυνάμεων ασκουμένων στο ίδιο σώμα) είναι ίσο με τη ροπή της συνισταμένης ως προς το ίδιο γεωμετρικό σημείο.

6. Ποια είναι το ιδιαίτερο στοιχείο ενός ζεύγους δυνάμεων;

Η απάντηση.

Με βάση το θεώρημα των ροπών:

α. Εάν η συνισταμένη των ασκουμένων δυνάμεων είναι μηδέν , η ολική ροπή Στ_Α ως προς οποιοδήποτε σημείο Α θα είναι μηδέν.

β. Εάν η συνισταμένη των ασκουμένων δυνάμεων δεν είναι μηδέν , η τιμές της ολικής ροπής ως προς κάθε σημείο θα ποικίλλουν διότι η τιμή αυτή θα είναι κάθε φορά ίση με τη ροπή της συνισταμένης. Μάλιστα η ολική ροπή ως προς τα σημεία που ανήκουν στον φορέα της συνισταμένης θα είναι μηδέν.

γ. Εάν η σύνθεση των ασκουμένων στο σώμα δυνάμεων καταλήγει σε «δύο αντιπαράλληλες δυνάμεις με ίσα μέτρα» Η ΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΘΑ ΕΧΕΙ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΤΙΜΗ, ΔΙΑΦΟΡΗ ΜΗΔΕΝΟΣ, ΩΣ ΠΡΟΣ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΗΜΕΙΟ . Θα είναι ίση με το γινόμενο της μιας από τις δυνάμεις επί την απόστασή των φορέων τους. Το σύστημα των δύο αντιπαράλληλων δυνάμεων με ίσα μέτρα λέγεται ΖΕΥΓΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

Γενικότερα το μηχανικό αποτέλεσμα ενός ζεύγους δυνάμεων δεν μπορεί να το προκαλέσει ΜΙΑ δύναμη, ούτε και η μηδενική. Το μηχανικό αυτό αποτέλεσμα είναι «η μεταβολή στη στροφική κινητική κατάσταση του σώματος».

7. Τι εξασφαλίζεται με το να ισχύει ΣF_{x =} = 0 ΣF_{y =}= 0 και Στ_Α = 0 ;

Η απάντηση.

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις ΣF_{x =} = 0 και ΣF_{y =}= 0 εξασφαλίζεται ότι οι ασκούμενες στο σώμα δυνάμεις είτε α. έχουν συνισταμένη μηδέν είτε β. ισοδυναμούν με ΖΕΥΓΟΣ.

Η εξίσωση Στ_Α = 0 αποκλείει την περίπτωση ύπαρξη ζεύγους, Οι τρεις συνεπώς εξισώσεις εξασφαλίζουν ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΜΗΔΕΝ . Το σώμα στο οποίο ασκούνται οι δυνάμεις θα διατηρήσει την κινητική του κατάσταση.

8. Εάν έχουμε ως δεδομένο ότι ένα rigid body είναι ακίνητο, ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς, οι ανεξάρτητες αλγεβρικές εξισώσεις είναι τρεις,

η ΣF_x = 0 η ΣF_{y =}= 0, και η Στ_Α = 0

Γιατί είναι τρεις και όχι δύο, τέσσερις, ή πέντε ; Γιατί είναι αυτές οι τρεις;

Η απάντηση.

Εφόσον το rigid body είναι ακίνητο η συνισταμένη είναι μηδέν, άρα η αλγεβρική ποσότητα ΣF_x είναι μηδέν για οποιονδήποτε άξονα του επιπέδου.

Εφόσον το σώμα είναι ακίνητο δεν υπάρχει ζεύγος, άρα η ποσότητα Στ_Α είναι μηδέν για οποιοδήποτε γεωμετρικό σημείο του επιπέδου.

Οι αλγεβρικές εξισώσεις που συνεπάγονται από το φαινόμενο ισορροπία είναι άπειρες. Από αυτές όμως οι ανεξάρτητες είναι τρεις διότι οι τρεις αυτές εξασφαλίζουν το «συνισταμένη ΜΗΔΕΝ» και «τη μη ύπαρξη ζεύγους».

9. Εάν έχουμε ως δεδομένο ότι ένα rigid body εκτελεί στροφική κίνηση περί άξονα,

- και στη γενική περίπτωση, σε κάποια χρονική στιγμή, έχει γωνιακή επιτάχυνση –

οι ανεξάρτητες αλγεβρικές εξισώσεις είναι τρεις,

η ΣF_x = 0 η ΣF_{y =}= 0, και η Στ_Α = Ια_γων Γιατί είναι αυτές οι τρεις;

Η απάντηση.

Εφόσον ένα rigid body εκτελεί στροφική κίνηση περί άξονα η συνισταμένη σύνθεση των ασκουμένων οδηγεί σε ΖΕΥΓΟΣ. Οι δύο εξισώσεις ΣF_x = 0 και ΣF_{y =}= 0

αποκλείουν το «συνισταμένη μηδέν» και, εφόσον υπάρχει ζεύγος, η αλγεβρική ποσότητα Στ_Α ( ολική ροπή) δεν είναι μηδέν . Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο για τη στροφική κίνηση η ολική ροπή (ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα της περιστροφής) είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας (ως προς τον άξονα περιστροφής) επί τη γωνιακή ταχύτητα της περιστροφής.

10. Εάν έχουμε ως δεδομένο ότι ένα rigid body εκτελεί μεταφορική κίνηση

- και στη γενική περίπτωση, σε κάποια χρονική στιγμή, έχει επιτάχυνση -

οι ανεξάρτητες αλγεβρικές εξισώσεις είναι τρεις,

η ΣF_{x =} ma η ΣF_{y =} 0, και η Στ_cm = 0 . Γιατί είναι αυτές οι τρεις;

Η απάντηση.

Εφόσον ένα rigid body σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση ( με επιτάχυνση α) καθένα από τα υλικά σημεία του ( μαζών m₁, m₂, m₃, . . .) έχει την ίδια επιτάχυνση (α) άρα η συνισταμένη των ασκουμένων δυνάμεων είναι και συνισταμένη των δυνάμεων ίδιας κατεύθυνσης m₁α, m₂α, m₃α . . . . ( που μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ασκούνται σε καθένα από τα υλικά σημεία του rigid body) άρα είναι μια δύναμη που περνά από το κέντρο μάζας και έχει μέτρο mα, όπου m (m = m₁+ m₂+ m₃ + . .) η μάζα του rigid body . Εφόσον λοιπόν «το αλγεβρικό άθροισμα των προβολών των ασκουμένων δυνάμεων είναι ίσο με την προβολή της συνισταμένης», εάν θεωρήσουμε έναν άξονα x με τη διεύθυνση της επιτάχυνσης θα είναι ΣF_{x =} mα , ενώ εάν θεωρήσουμε έναν άξονα y κάθετο στην επιτάχυνση (άρα και στη συνισταμένη) θα είναι ΣF_{y =} 0.

Από την άλλη σύμφωνα με το θεώρημα των ροπών «η ολική ροπή ως προς ένα σημείο είναι ίση με τη ροπή της συνισταμένης ως προς το σημείο αυτό» άρα η ολική ροπή ως προς το κέντρο μάζας (Στ_cm ) θα είναι μηδέν διότι η συνισταμένη περνάει από το κέντρο μάζας.

11. Η Γη στρέφεται γύρω από τον άξονα της. Ποιες δυνάμεις ασκούνται στη Γη και δεν σταματά να στρέφεται με τον ίδιο ρυθμό;

Η απάντηση.

Δεν χρειάζεται να ασκείται δύναμη ή ζεύγος για να στρέφεται ένα rigid body με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

Ο Νεύτων στον πρώτο νόμο της αδράνειας μας θυμίζει ότι η αδράνεια για ένα στρεφόμενο rigid body εκδηλώνεται με τη διατήρηση της γωνιακής του ταχύτητας. Η σβούρα δεν σταματάει να στρέφεται, εφόσον δεν ασκούνται δυνάμεις . . .

A top, whose parts by their cohesion are continually drawn aside from rectilinear motions, does not cease its rotation, otherwise than as it is retarded by the air. The greater bodies of the planets and comets, meeting with less resistance in freer spaces, preserve their motions both progressive and circular for a much longer time.

Isaac Newton, Principia, Axioms or laws of motion, Law 1.