Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Το φαινόμενο Αρμονική ταλάντωση

στα Αναλυτικά προγράμματα

Ευρωπαϊκών χωρών .

Συμπεράσματα από τα σχολικά βιβλία.

ΓΑΛΛΙΑ – ΓΕΡΜΑΝΙΑ

7. ΓΑΛΛΙΑ FRANCE

Περιληπτικά

α. PHYSIQUE Cours Physiqhe Terminale D ΣΕΛ. 165

Mouvement rectiligne sinusoïdal ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗΣ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗΣ ΚΙΝΗΣΗ και ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ.

Το ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ . s = a sin(ωt + φ )

Η ευθύγραμμη ημιτονοειδής κίνηση μπορεί να προκύψει από την προβολή σε μία διάμετρο μιας ομαλής κυκλικής κίνησης .

β. PHYSIQUE ed. Hachette Cours Physiqhe Terminale D ΣΕΛ. 164

Ανάμεσα σε όλες τις περιοδικές κινήσεις η ημιτονoειδής κίνηση παίζει ένα ρόλο πρωταγωνιστή .

Αποδεικνύεται μαθηματικά ότι μια οποιαδήποτε περιοδική κίνηση μπορεί να αναχθεί

σε ένα σύνολο ημιτονοειδών κινήσεων, επιλεγμένων κατάλληλα .

Μπορούμε να δώσουμε μία απλή γεωμετρική αναπαράσταση στην έννοια φάση.

Η ευθύγραμμη ημιτονοειδής κίνηση μπορεί να προκύψει από την προβολή σε μια διάμετρο μιας ομαλής κυκλικής κίνησης . . . .

Πειραματική μελέτη. 1. Κυλινδρος καταγραφής 2. Διαδικασία με φως

γ. PHYSIQUE Terminal D col. Herbert et Durand ΣΕΛ. 126

1. Μηχανικοί ταλαντωτές. Oscillateurs mecahniques .

Θα μελετήσουμε έναν ιδιαίτερο μηχανικό ταλαντωτή , το κατακόρυφο ελαστικό εκκρεμές.

Το ελαστικό εκκρεμές είναι ένας μηχανικός ταλαντωτής σε μεταφορική κίνηση

αλλά υπάρχουν και μηχανικοί ταλαντωτές σε στροφική κίνηση.

2. Το μοντέλο ελαστικό εκκρεμές

2.1. Κινηματική μελέτη. Η ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑ

Ένα ελαστικό εκκρεμές συνίσταται από ένα κρεμασμένο σώμα στερεωμένο στο άκρο ενός ελατηρίου . Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση της ισορροπίας του τραβώντας το προς τα κάτω κατακόρυφα σε κατακόρυφη διεύθυνση και το αφήνουμε. Εκτελεί μια μεταφορική κίνηση ταλαντευόμενο γύρω από τη θέση ισορροπίας. Καταγράφουμε την κίνηση του στερεού με μία διάταξη σε χαρτί . Η κίνησή του είναι περιοδική. Μια συγκριτική μελέτη καταγραφής δείχνει ότι είναι και ημιτονοειδής .

2.2 . Δυναμική μελέτη . ΧΩΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ .

Η μελέτη γίνεται σε σχέση με κάποιο χωρικό σύστημα αναφοράς ( O , j ) συδεδεμένο με την αίθουσα του εργαστηρίου . Το σύστημα θεωρείται στερεό μάζας m Για όσο είναι ακίνητο –kx₀ +mg = 0 . Εφόσον βρίσκεται σε κίνηση ισχύει F = ma - k(x₀ +x) + mg = ma_cm . a_cm = - k/m. x .

Ο ταλαντωτής είναι ένας αρμονικός ταλαντωτής x ‘’ = - k/m.x

1.3 Κυκλική ιδιοσυχνότητα και ιδιοπερίοδος .

Η κινηματική μελέτη έδειξε ότι η κίνηση του S είναι ευθύγραμμη ημιτονοειδής . Σε σχέση με το Σύστημα Αναφοράς ( O , j ) για την τετμημένη x ισχύει

x = X_m cos ( ω₀t + φ) x = X_m συν ( ω₀t + φ) . Επιβεβαιώνουμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι και λύση της διαφορικής x ‘’ = - k/m.x. Για να ταυτοποιήσουμε τις εξισώσεις εξισώνουμε την ω₀ - την οποία ονομάζουμε κυκλική ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή - με √k/m. Εξ ορισμού έχουμε T= 2π/ω, οπότε και T = 2π√m/k .

ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ

α. PHYSIQUE Col. JEAN Laacourt Cours Physiqhe Terminale D ΣΕΛ. 165
Mouvement rectiligne sinusoïdal Le mouvement rectiligne sinusoïdal peut se déduire par projection sur une diamètre, d’ une mouvement circulaire uniform. Soit M un point qui decrit le cercle de rayon a , d’ une mouvement circulaire uniform avec la vitesse angulaire ω. A l’ instant t le vecteur OM fait avec la rayon fixe origine OA, un angle ωt + φ .	Ευθύγραμμη ημιτονοειδής κίνηση Η ευθύγραμμη ημιοτονοειδής κίνηση μπορεί να προκύψει από την προβολή σε μια διάμετρο μιας ομαλής κυκλικής κίνησης . Έστω Μ ένα σημείο που διαγράφει τον κύκλο ακτίνας r σε ομαλή κυκλική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω. Τη στιγμή t το διάνυσμα ΟΜ σχηματίζει με την σταθερή ακτίνα αναφοράς ΟΑ μία γωνία ωt + φ . . . s = a sin(ωt + φ)

β. PHYSIQUE ed. Hachette Cours Physiqhe Terminale D ΣΕΛ. 164
Parmi toutes les mouvements périodiques, le mouvement sinusoïdal joue un rôle primordial. En effet on etablir mathématiquement que une mouvement périodique quelconque peut se ramener a une somme de mouvements sinusoïdaux convenablement choisis	Ανάμεσα σε όλες τις περιοδικές κινήσεις η ημιτονoειδής κίνηση παίζει ένα ρόλο πρωταγωνιστή . Πράγματι αποδεικνύεται μαθηματικά ότι μια οποιαδήποτε περιοδική κίνηση μπορεί να αναχθεί σε ένα σύνολο ημιτονοειδών κινήσεων, επιλεγμένων κατάλληλα .
Il est possible de donner une répresentation géometrique simple a la phase. Le mouvement rectiligne sinusoïdal peut se déduire, par projection sur une diamètre, d’ une mouvement circulaire uniforme	Μπορούμε να δώσουμε μία απλή γεωμετρική αναπαράσταση στη φάση. Η ευθύγραμμη ημιτονοειδής κίνηση μπορεί να προκύψει από την προβολή σε μια διάμετρο μιας ομαλής κυκλικής κίνησης .
ParmiÉtude expérimental . 1. Cylindre enregistreur 2. Procede optique	Πειραματική μελέτη. 1. Κυλινδρος καταγραφής 2. Διαδικασία με φως

γ. PHYSIQUE Terminal D col. Herbert et Durand p. 126
Oscillateurs mecahniques Il existe des nombreux examples de solides animes de mouvements oscillants autour d’ une posιtion d’ equilibre. On les designes sous la terme general d’ oscillateurs mecaniques. Nous etudierons un oscillateur mecahnique particulier, le pendule elastique vertical, afin de mettre en evindance les lois qui regissent son mouvement. Le pendule elastique est un oscillateur mechanique en translation mais il existe egalement dew oscillateurs mechaniques en rotation.	Μηχανικοί ταλαντωτές. Υπάρχουν πολυάριθμα παραδείγματα σωμάτων τα οποία ενεργοποιούμενα εκτελούν παλινδρομικές κινήσεις γύρω από μια θέση ισορροπίας. Τα περιγράφουμε με τον γενικό όρο ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΤΕΣ . Θα μελετήσουμε έναν ιδιαίτερο μηχανικό ταλαντωτή , το κατακόρυφο ελαστικό εκκρεμέςπροκειμένου να οδηγηθούμε στους νόμους που ισχύουν στην περίπτωσή του. Το ελαστικό εκκρεμές είναι ένας μηχανικός ταλαντωτής σε μεταφορική κίνηση αλλά υπάρχουν και μηχανικοί ταλαντωτές σε στροφική κίνηση.
ÉTUDE DE PENDULE ELASITIQUE VERTICAL 1.1 Étude cinématique. Un pendule élastique vertical est constitue par un solide suspendu a ; extrémité d’ un ressort. Écartons ce solide de sa position d’ équilibre en le tirant vers la bas suivant la verticale et lachons-le. Il s’ anime d’ un mouvement de translation rectiligne en oscillant autour de sa position d’ équilibre . Enresisterons le mouvement du solide avec une dispositif coninue de papier. Le mouvement est périodique . Une étude comparative montre également qu’ il est sinusoïdal.	1. Το ελαστικό εκκρεμές . Μελέτη. 1.1. Κινηματική μελέτη. Η ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑ Ένα ελαστικό εκκρεμές συνίσταται από ένα κρεμασμένο σώμα α στερεωμένο στο άκρο ενός ελατηρίου . Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση της ισορροπίας του τραβώντας το προς τα κάτω κατακόρυφα σε κατακόρυφη διεύθυνση και το αφήνουμε. Εκτελεί μια μεταφορική κίνηση ταλαντευόμενο γύρω από τη θέση ισορροπίας. Καταγράφουμε την κίνηση του στερεού με μία διάταξη σε χαρτί . Η κίνησή του είναι περιοδική. Μια συγκριτική μελέτη καταγραφής δείχνει ότι είναι και ημιτονοειδής .
1.2 Étude dynamique. L’ étude est effectuée par raport a une repère d’ espace ( O , j ) lié a la salle d’ expérience. Le système considéré est le solid de mass m. Soit k la constant de de raideur du ressort. Lorsque la solide est immobile –kx0 +mg = 0 Lorsque la solide est en mouvement F = ma - k(x0 +x) + mg = macm . acm = - k/m. x L’ oscillateur est un oscillateur harmonique x ‘’ = - k/m.x	1.2 . Δυναμική μελέτη . ΧΩΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ . Η μελέτη γίνεται σε σχέση με κάποιο χωρικό σύστημα αναφοράς ( O , j ) συδεδεμένο με την αίθουσα του εργαστηρίου . Το σύστημα θεωρείται στερεό μάζας m . Ας είναι k η σταθερά σκληροτητας του ελατηρίου . Για όσο είναι ακίνητο –kx0 +mg = 0 . Εφόσον βρίσκεται σε κίνηση ισχύει F = ma - k(x0 +x) + mg = macm . acm = - k/m. x . Ο ταλαντωτής είναι ένας αρμονικός ταλαντωτής x ‘’ = - k/m.x
1.3 Pulsation et période propre L’ étude cinématique montre que le mouvement de S est rectiligne et sinusoïdal. Par rapport au repere d’ espace ( O , j ) l’ abscisse (τετμημένη) lineaire peut ecrire x = Xm cos ( ω0t + φ) . Verifions que cette expression est bien solution de l’ équation differentielle x ‘’ = - k/m.x Par identification des équations nouw obtenons l’ expession de ω0, appelée pulsation propre de l’ oscillateur ω0 = √k/m. Par definition on a T= 2π/ω d’ ou T = 2π√m/k	1.3 Κυκλική ιδιοσυχνότητα και ιδιοπερίοδος . Η κινηματική μελέτη έδειξε ότι η κίνηση του S είναι ευθύγραμμη ημιτονοειδής . Σε σχέση με το Σύστημα Αναφοράς ( O , j ) για την τετμημένη x ισχύει x = Xm cos ( ω0t + φ) x = Xm συν ( ω0t + φ) . Επιβεβαιώνουμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι και λύση της διαφορικής x ‘’ = - k/m.x. Για να ταυτοποιήσουμε τις εξισώσεις εξισώνουμε την ω0 - την οποία ονομάζουμε κυκλική ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή - με √k/m. Εξ ορισμού έχουμε T= 2π/ω, οπότε και T = 2π√m/k .

8. ΓΕΡΜΑΝΙΑ DEUTSCHLAND

Περιληπτικά

α. Physik GRIMSEHL II ΣΕΛ. 113 HARMONISCHE SWINGUNG.

Μηχανικές ταλαντώσεις . Mechanishen Schwingungen

Τι είναι μηχανική ταλάντωση .

Μία μηχανική ταλάντωση είναι μία κίνηση ( Eine mechanische Swingung ist eine Bewegung) η οποία λαμβάνει χώρα περιοδικά εκατέρωθεν μιας θέσης ευσταθούς ισορροπίας .

Τι λέγεται αρμονική ταλάντωση . Σε μια ταλάντωση που ισχύει F = - Ds - η ασκούμενη δύναμη είναι ανάλογη προς το Weg - έχουμε έναν νόμο γραμμικής δύναμης. Η κίνηση που υπακούει σε αυτόν τον νόμο δύναμης λέγεται ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Man nennt eine Schwingung nach einem solchen Kraftgesesetz eine HARMONISCHE SWINGUNG.

s = Rsinωt Η απόδειξη γινεται με βάση την κίνηση της προβολής. Παρουσιάζεται και η σχετική διάταξη με τη σκιά και η ταύτιση της κίνησης της προβολής με την κινηση σώματος σε άκρο κατακόρυφου ελατηρίου

Η ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή . Το απλό εκκρεμές

β. Physik Wissensspeicher Physik Σελ. 118

Τι είναι ταλάντωση . Η ταλάντωση ειναι μια φυσική process που περιγράφεται

με την περιοδική μεταβολή μιας φυσικής ποσότητας.

Λαμβάνει χώρα και μια περιοδική μετατροπή δύο μορφών ενέργειας απο τη μία στην άλλη .

ΕΞΊΣΩΣΗ y = y_max sin (ωt + φ)

Η έννοια ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΗ . Ένας ταλαντωτής τροφοδοτείται με ΕΝΕΡΓΕΙΑ

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ και ΜΗ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Harmonious and nichtharmnonische Swingungen

Στις αρμονικές ταλαντώσεις ισχύει y = y_max sin (ωt + φ). Στις μη αρμονικές η συνάρτηση θέσης δεν είναι ημιτονοειδής

ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ

α. Physik GRIMSEHL II ΣΕΛ. 113

Die harmonische Swingung.

Απόδοση στα ελληνικά Η ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Mechanishen Schwingungen 43 . Die harmonische Swingung. a. Eine mechanische Swingung ist eine Bewegung, di in periodische Folge um eine Glechgewichtslage verläuft. Bei dieser Schwingung ist nach F = - Ds die wirkende Kraft dem Weg proportional, wir haben en lineares Kraftgesetz . Man nennt eine Schwingung nach einem solchen Kraftgesesetz eine HARMONISCHE SWINGUNG. Die Bewegung der elastischen Schraubenfender ist eine harmonische Swingung. b. Das Weg-Zeit-Gesetz der harmonishen Swingung, Wir denken uns einen Körper auf einer Kreisbahn ( Hahbmesser r ) in lotrechter Ebene gleichförmig mit der Geschwindkeit υ0 bewegt. Seine Umlaufszeit ist dan T = (2πr)/υ0 . Ein Bündel Lichtstrahlen fällt waagerrecht parallel zur Kreisebene ein und läbt and einer senkrechten Wand ein Schattenbild des Körpers entstehen. Der Schlatten swingt auf einer Geraden . Ist die Schwingung harmonisch ?

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 43. Η αρμονική ταλάντωση α. Η μηχανική ταλάντωση ειναι μια περιοδική κίνηση γύρω από κάποια θέση ισορροπίας Στην ταλάντωση αυτή, σύμφωνα με την F = - Ds, ασκούμενη δύναμη ανάλογη με το Weg, έχουμε ένα γραμμικό νόμο δύναμης . Η κίνηση που υπακούει σε αυτόν τον νόμο δύναμης λέγεται ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ . Η κίνηση του ελαστικού εκκρεμούς είναι μία αρμονική ταλάντωση. β. Η σχέση θέσης-χρόνου της αρμονικής ταλάντωσης Ας φανταστούμε ένα σώμα σε κυκλική τροχιά r (ακτίνας) σε κατακόρυφο επίπεδο κινούμενο ομαλά με ταχύτητα υ0 . Η περίοδος της πειφοράς του είναι T = (2πr) /υ0. Μία δέσμη παράλληλων φωτεινών ακτίνων πέφτει στη διάταξη και στον κατακόρυφο τοίχο δημιουργείται μια εικόνα της σκιάς του σώματος. Η εικόνα της σκιάς παλινδρομεί μετακινούμενη στην ίδια ευθεία . Είναι η ταλάντωση αρμονική ;

β. Physik Wissensspeicher Physik Σελ. 118

HARMONISCHE SWINGUNG.	ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Eine harmonische Schwingung ist ein physikalischer Vorgang der durch die zeitlich periodischen Änderuhng einer physikalischer Grösse beschirieben wird. Bei ihr wandeln sich zwei verschiedene Energiearten periodisch ineinader um. Gleichung y = ymax sin(ωt + φ ) Entstehung Einem schwingungsfähigen System (Harmonischer Oszillator ) wird Enegrie zugeführt Voraussetzung Es sind zwei „ gekoppelte“ Energiespeicher erforderlich Harmonische und nichtharmnonische Swingungen Harmonische Swingung durch Sinus Funktion darstellbar y = ymax sin(ωt + φ ) Nichtharmnonische Swingung Nicht durch eine Sinus funktion darstellbar	Η αρμονική ταλάντωση είναι μια φυσική process που περιγράφεται με την περιοδική μεταβολή μιας φυσικής ποσότητας. Λαμβάνει χώρα και μια περιοδική μετατροπή δύο μορφών ενέργειας απο τη μία στην άλλη . ΕΞΙΣΩΣΗ y = ymax sin (ωt + φ) ΠΑΡΑΓΩΓΗ . Ένας αρμονικός ταλαντωτής τροφοδοτείται με ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΝΘΗΚΗ . Υπάρχουν δύο «συζευγμένες» μορφές απαιτούμενης ενέργειας. Αρμονικές και μη αρμονικές ταλαντώσεις Στις αρμονικές ταλαντώσεις ισχύει y = ymax sin (ωt + φ) . Στις μη αρμονικές η συνάρτηση θέσης δεν είναι ημιτονοειδής
Harmonischer Oszillator Ein harmonischer Oszillator ist ein physikalisches System, bei dem die Zeitentwicklung eines der Systemparameter einer Sinusfunktion folgen, also „harmonisch schwingen“ kann und damit der Differentialgleichung genügt. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind das Federpendel oder der Schwingkreis.	ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ . Ο αρμονικός ταλαντωτής είναι ένα φυσικό σύστημα στο οποίο οι παράμετροι μεταβάλλονται ως χρονικές συναρτήσεις ημιτόνου . Το σύστημα ταλαντώνεται αρμονικά και αυτό μπορεί να ικανοποιήσει τη διαφορική εξέισωση . Παραδείγμα αρμονικών ταλαντωτών είναι το σύστημα ελατήριο σώμα ή το συντονιζόμενο κύκλωμα

Σε ΦΙΛΑΝΔΙΑ, ΡΩΣΙΑ και ΠΟΛΩΝΙΑ