Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

 

Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Συντονισμός

 

Με τον όρο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ,  σε μια ΜΗΧΑΝΙΚΗ ταλάντωση,  εννοούμε ΔΥΟ ΦΑΙΝΌΜΕΝΑ

α. Το φαινόμενο κατά το οποίο η εξαναγκασμένη ταλάντωση αποκτά το μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΘΕΣΗΣ

β. Το φαινόμενο κατά το οποίο η εξαναγκασμένη ταλάντωση αποκτά το μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Στο Αναλυτικό Πρόγραμμα για τη διδασκαλία της Φυσικής στην Γ΄ Λυκείου προτείνεται η διδασκαλία

μόνο του πρώτου από τα φαινόμενα.

 

Με τον όρο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ,  σε μια ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ  ταλάντωση,  εννοούμε ΔΥΟ ΦΑΙΝΌΜΕΝΑ

α. Το φαινόμενο κατά το οποίο η εξαναγκασμένη ταλάντωση αποκτά το μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΦΟΡΤΙΟΥ

β. Το φαινόμενο κατά το οποίο η εξαναγκασμένη ταλάντωση αποκτά το μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ.

Στο Αναλυτικό Πρόγραμμα για τη διδασκαλία της Φυσικής στην Γ΄ Λυκείου προτείνεται η διδασκαλία

μόνο του δεύτερου από τα φαινόμενα.

 

1. Το ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ

Εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση

 

 

     Οι έννοιες . 

α. Η ιδιοσυχνότητα f0 = √(D/m)  του ταλαντωτή,  η συχνότητα της ελεύθερης αμείωτης ταλάντωσης την οποία θα εκτελούσε ο ταλαντωτής εάν δεν υπήρχαν τριβές. Για την αντίστοιχη κυκλική ιδιοσυχνότητα είναι    ω0 = √(D/m) 

β. Η συχνότητα f1 της ελεύθερης φθίνουσας ταλάντωσης την οποία θα εκτελούσε ο ταλαντωτής -στην πραγματικότητα- εάν τον ενεργοποιούσαμε και τον «αφήναμε» να εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση.

Για την αντίστοιχη κυκλική συχνότητα είναι  ω1 = √(D/m - b2/4m2)

γ.  Η συχνότητα fδ  του διεγέρτη 

δ. Η συχνότητα f του σώματος που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση η οποία είναι ΙΣΗ με τη συχνότητα του διεγέρτη

       Οι νόμοι . 

Ο δεύτερος νευτωνικός νόμος της κίνησης

                F0ημωt- bυ –Dx = ma

μας οδηγεί στη διαφορική εξίσωση

      d2x/dt2 +b/m dx/dt  + D/m  x =  F0ημωδt

η λύση της διαφορικής εξίσωσης μας δίνει τη συνάρτηση

          

         x = F0/G ημ(ωδt – δ)

      G2 = (mωδ2–D)2 +b2ωδ2    συνδ = bωδ2/G

Η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι δηλαδή μια

ΑΜΕΙΩΤΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

με συχνότητα ΙΣΗ με τη συχνότητα ωδ του διεγέρτη

και πλάτος  x0 =  F0/G        x0 =  F0/√(mωδ2–D)2 +b2ωδ2

 

α. ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

για μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ x0

Το φαινόμενο κατά το οποίο η εξαναγκασμένη ταλάντωση

αποκτά το μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΘΕΣΗΣ

Αν δούμε τη συνάρτηση ΠΛΑΤΟΥΣ – ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΕΓΕΡΤΗ

H τιμή του πλάτους γίνεται ΜΕΓΙΣΤΗ στη συχνότητα ω0 για την οποία η τιμή G του παρονομαστή γίνεται ελάχιστη        

G2 = (mωδ2–D)2 + b2ωδ2                        G2 = m2ωδ4+ (b2-2mD) ωδ2 +D2.

Αν θέσουμε ωδ2= y   θα είναι    G2 = m2y2+ (b2-2mD) y  + D2

Η τιμή της   m2y2+ (b2-2mD) y  + D2    γίνεται ελάχιστη στο σημείο που μηδενίζεται η παράγωγός της.

2m2y + b2-2mD = 0        y = D/m - b2/2m2    ωδ2= D/m - b2/2m2   

ωδ2= ω02- b2/2m2              fδ2= f02- b2/8π2m2 

 

[Maple Plot]  

 

Ο συντονισμός ως φαινόμενο κατά το οποίο

«η εξαναγκασμένη ταλάντωση  αποκτά το μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΘΕΣΗΣ» λαμβάνει χώρα εφόσον

η συχνότητα του διεγέρτη είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα ω0 του ταλαντωτή.

Σε ένα ταλαντωτή με μάζα 0,25 kg, σταθερά D = 200N/m και σταθερά απόσβεσης b = 2Ns/m

η ιδιοσυχνότητα f0 –σε αμείωτη ταλάντωση - είναι 4,5 Hz,

η συχνότητα fδ του διεγέρτη με την οποία επιτυγχάνεται μέγιστο πλάτος είναι  fδ   = 4,41 Hz,

η συχνότητα f1 της ελεύθερης φθίνουσας πραγματικής ταλάντωσης του ταλαντωτή f1   = 4,46 Hz

Μεγαλύτερη σταθερά απόσβεσης θα έχει ως συνέπεια μεγαλύτερη διαφορά ανάμεσα στις συχνότητες των  f0   και  fδ  

 

β. ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

για μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ  υ0 .

Η συνάρτηση ταχύτητας

Από την x = F0/G ημ(ωδt – δ) προκύπτει ότι

υ = ωδF0/Gσυν(ωδt – δ)

Το πλάτος της ταχύτητας είναι  υ0 = ωδF0/G

υ0 = ωδF0/√[(mωδ2–D)2 +b2ωδ2 ]

υ0 = F0/√[m2(1- ω02/ ωδ2)2 +b2]

Η εξίσωση μας δείχνει ότι το μέγιστο πλάτος ταχύτητας επιτυγχάνεται με κυκλική συχνότητα ωδ του διεγέρτη ΙΣΗ με την κυκλική ιδιοσυχνότητα ω0 του ταλαντωτή

                           ωδ = ω0             fδ =f0

Διαπιστώνουμε δηλαδή μια ΔΙΑΦΟΡΑ στα «δύο φαινόμενα συντονισμού».

Το μέγιστο πλάτος ( θέσης ) πραγματοποιείται με συχνότητα fδ του διεγέρτη ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ από την ιδιοσυχνότητα f0 του ταλαντωτή.

Το μέγιστο πλάτος ταχύτητας πραγματοποιείται με συχνότητα fδ του διεγέρτη ΙΣΗ με την ιδιοσυχνότητα f0 του ταλαντωτή ανεξάρτητα από την τιμή του b.

πλάτος ταχύτητας

συχνότητα διεγέρτη
 

 

 


2. Το ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ

Εξαναγκασμένη ηλεκτρομαγνητική ταλάντωση

 

Ο  δεύτερος κανόνας του Kirchhoff    

LdI/dt + q/C + IR = V0ημωt

μας οδηγεί στη διαφορική εξίσωση

d2q/dt2 + R/Ldq/dt  + 1/CL q =  V0ημωδt

η λύση της διαφορικής εξίσωσης μας δίνει τη συνάρτηση

q = V0/G ημ(ωδt – δ)

G2 = ( Lωδ2–1/C )2 + R2ωδ2  συνδ = Rωδ/G

     

Η εξαναγκασμένη ηλεκτρομαγνητική ταλάντωση είναι δηλαδή μια

ΑΜΕΙΩΤΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

με μέγιστη τιμή ηλεκτρικού φορτίου  q = V0/G η οποία εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη και από τα στοιχεία C, L, R του κυκλώματος

 

α. ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

για μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΦΟΡΤΙΟΥ q0

Ο συντονισμός ως φαινόμενο κατά το οποίο

«Σε μια εξαναγκασμένη ηλεκτρομαγνητική ταλάντωση  δημιουργείται  μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΦΟΡΤΙΟΥ »

εφόσον η συχνότητα του διεγέρτη είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα ω0 του ταλαντωτή.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Με μαθηματικά παρόμοια με εκείνα που χρησιμοποιήσαμε για τον συντονισμό για μέγιστο πλάτος σε εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση ,  μπορούμε να το αποδείξουμε ότι για την κυκλική συχνότητα ωδ του διεγέρτη για την οποία επιτυγχάνεται μέγιστο πλάτος φορτίου ισχύει      ωδ2= ω02- b2/2m2

 

β. ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

για μέγιστο ΠΛΑΤΟΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ  Ι0 .

 

Η συνάρτηση ρεύματος

Από την q = V0/G ημ(ωδt – δ)

προκύπτει ότι            i = ωδV0/Gσυν(ωδt – δ)

Το πλάτος του ρεύματος   Ι = ωδV0/G

Ι = ωδV0/√[( L ωδ2–C)2 + R2ωδ2 ]

Ι = V0/√[L2(1- ω02/ ωδ2)2 + R2]

Η συνάρτηση μας δείχνει ότι το μέγιστο πλάτος ρεύματος επιτυγχάνεται

με κυκλική συχνότητα ωδ του διεγέρτη ΙΣΗ με την κυκλική ιδιοσυχνότητα ω0 του ταλαντωτή

                           ωδ = ω0             fδ =f0

Και για την τιμή του μέγιστου πλάτους ρεύματος ισχύει   Ι = V0/R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.