Τρία προβλήματα Μηχανικής

Τα προβλήματα συνιστούν πνευματική ιδιοκτησία

και . . παράκληση να μην χρησιμοποιηθούν από αντιγραφείς.

1. Η ομογενής σφαίρα έχει ακτίνα 50 cm και μάζα 0,75 kg ενώ το εμπόδιο έχει ύψος 20 cm. Το ένα άκρο του οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 100 N/m προσδένεται στο εξωτερικό σημείο Γ της σφαίρας στο ύψος του κέντρου της ενώ το άλλο άκρου του συνδέεται με νήμα το οποίο μέσω τροχαλίας – όπως φαίνεται και στο σχήμα - συνδέεται με βαρίδι Σ μάζας 1 kg. Το νήμα δεν ολισθαίνει ως προς τη στρεφομενη τροχαλία της οποίας η μάζα είναι m = 3 kg και η ακτίνα r = 20 cm . Η μάζα του νήματος είναι αμελητέα όπως και η μάζα του ελατηρίου. Το σύστημα συγκρατείται ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος. Σε κάποια χρονική στιγμή την οποία θεωρούμε ως αρχή των χρόνων αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο.

Σας ζητούμε : α. Να αποδείξετε ότι το βαρίδι θα εκτελεί αρμονική ταλάντωση

β. Να υπολογίσετε την περίοδο Τ της ταλάντωσης αυτής

γ. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η σφαίρα θα αρχίσει να υπερπηδά το εμπόδιο

δ. Να προσδιορίσετε τη γωνιακή ταχύτητα και τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας τη χρονική στιγμή Τ/6

Να θεωρήσετε δεδομένη την εξίσωση Ι = ½ mr² για τη ροπή αδράνειας Ι της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής

2.Το αντικείμενο Σ₁ στο ένα άκρο του τεντωμένου νήματος κινείται πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο σε κυκλική τροχιά ακτίνας 20 cm με ταχύτητα 4 m/s . Το νήμα περνά από την οπή - σχήμα – και το άλλο του άκρο είναι δεμένο σε σημειακό αντικείμενο Σ₂ το οποίο με τη σειρά του συνδέεται μέσω άλλου νήματος με τρίτο σημειακό αντικείμενο Σ₃. Τέλος το Σ₃ συνδέεται με το άκρο κατακόρυφου ελατήριο σταθεράς 100 Ν /m, το άλλο άκρο του οποίου ειναι ακινητοποιημένο στο έδαφος.

Τα τρία αντικείμενα θεωρούνται σημειακά και οι μάζες τους είναι αντίστοιχα m₁ = 1 kg, m₂ = 6 kg m₃ = 1 kg.

Σας ζητούμε:

α. Να προσδιορίσετε τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο Σ₃.

β. Να προσδιορίσετε τη στροφορμή του Σ₁ ως προς το κέντρο της τροχιάς του

Σε κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει τα Σ₂ και Σ₃.

γ. Να αποδείξετε ότι το Σ₃ θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση.

δ . Να υπολογίσετε το πλάτος και την περίοδο Τ της ταλάντωσης.

ε. Τη χρονική στιγμή που το Σ₂ έχει ανέλθει κατά 4 cm, να προσδιορίσετε την ταχύτητά του.

3. Δύο όμοιες ράβδοι, καθεμιά από τις οποίες έχει μήκος 45/22 m και μάζα 0,9 kg, βρίσκοναι η μία πάνω στην άλλη ακίνητες σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Ο συντελεστής τριβής ολίσησθησης μεταξύ των δύο ράβδων είναι 0,2. Σε μία χρονική στιγμή την οποία θεωρούμε ως αρχή των χρόνων δύο σημειακά αντικείμενα – με την υφή «πλαστελίνης» -κινούμενα οριζόντια με ταχύτητες ίσων μέτρων και σε αντίθετες κατευθύνσεις πέφτουν και προσκολλώνται το ένα στην στο ένα άκρο της άνω ράβδου και το άλλο στο αντίθετο άκρο της κάτω. Αν η ταχύτητα καθενός έχει μέτρο 25 m/s και η μάζα του είναι 0,1 kg, σας ζητούμε να προσδιορίσετε:

α. την ταχύτητα που αποκτά κάθε συσσωμάτωμα ως προς το έδαφος

β. την επιτάχυνση κάθε συσσωματώματος ως προς το έδαφος

γ. τη χρονική στιγμή t₁ κατά την οποία η πάνω ράβδος θα αρχίσει να γέρνει προς τα κάτω

δ. το «πόσο» θα εξέχει η πάνω ράβδος από την κάτω ράβδο κατά τη τη χρονική στιγμή t₁.

ε. Την ελάττωση της κινητικής ενέργειας του συστήματος μέχρι τη χρονική στιγμή t₁.